Đề HSG Toán 9 huyện Hạ Hòa 2011201241805

Phòng GD&ĐT hạ hoà Kỳ thi học sinh giỏi lớp Năm học 2011 2012 môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Ngày thi: tháng 12 năm 2011 Câu (6 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tö: ( a  b  c )3  a  b3  c 2) Rót gän biĨu thøc sau: A   10    10   C©u (4 điểm) Tìm số nguyên dương a,b,c thoả mÃn đồng thời điều kiện: a b c  a  b  c vµ 1   1 a b c C©u (8 điểm) Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC 1   2 R r a 8R3r b) Chøng minh: S ABCD  2 ; (Kí hiệu S ABCD diện tích tứ giác ABCD) (R  r ) a) Chøng minh: C©u 4.(2 ®iÓm) Cho A  5n2  26.5n  82n1 ; với n  N Chứng minh: A chia hết cho 59 (Cán coi thi không giải thích thêm) Câu Câu 6điểm Phần 1) 3đ hướng dẫn chÊm Néi dung 3 3 Ta cã: (a  b  c)  a  b  c  (a  b  c)3  a  b   3ab(a  b)  c3     3 (a  b  c)  a  b  c   3(a  b)c(a  b  c)  3ab(a  b)    = 3(a  b) c(a  b  c)  ab   3(a  b)(a  c)(b  c) 2) 3đ Đặt B = 10   10  ,B>0 0,5 0,5 Ta cã B   10    10   (4  10  )(4  10  ) B   16  (10  5)   1     1   , V× B > B   B VËy A     Câu2 4điểm Có a b c a  b  c  a  b  c  b  a  c  a  b  c  b(a  b  c)  b  a  c  ac a  b  b(a  b  c)  ac  (a  b)(b  c)    b  c http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 NÕu a = b a, c dương.Ta có 1        2c  a  ac  (a  2)(c  1)  a b c a c Vì a,b,c nguyên dương nên ta có trường hợp sau: a   a   b a   1)   2)  a c3b c   c  c   NÕu b = c b,c dương.Ta có 1 1       2a  b  ab  (b  2)(a  1)  a b c a b Vì a,b,c nguyên dương nên ta có trường hợp sau: b  b   b   c 1)  a b3c 2)   a   a   a Vậy cặp số nguyên dương (a;b;c) thoả m·n lµ (3;3;3) vµ(2;4;4)vµ (4;4;2) 1 ฀ ฀ ฀  ฀ABO  900  EBA ฀  ฀ABO  900  EBA Ta cã BAI mµ BAI ฀  900 ,đường cao BM.Theo hệ thức tam giác vuông ta XÐt  EBK cã EBK B E M O C A I K D cã 1 1   2 BE BK BM a 1 Nªn    (Đpcm) R r a Xét AOB AMI cã ฀AOB  ฀AMI  90 vµ ฀A chung AOB ฀ AMI AO AM AM AB AB    AO   AB AI AI 2R BM AB AB  Chøng minh t­¬ng tù ta ®­ỵc BO  BK 2r AB Ta cã S ABCD  AO.OB  Rr Mµ theo định lí Pi ta go tam giác vuông AOB ta cã 1 4R r  AB  OA2  OB  AB     AB  2 r  R r R Mµ BK = r, BE = BI = R; BM = C©u (2 điểm) Tứ giác ABCD hình thoi nên AC đường trung trực đoạn thẳng BD,BD ®­êng trung trùc cđa AC.Do vËy nÕu gäi M,I,K lµ giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AB với AB,AC,BD ta có I,K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB,ABC Từ ta có KB = r IB = R.Lấy điểm E ®èi xøng víi ®iĨm I qua M, Ta cã BEAI hình thoi (vì có hai đường chéo EI AB vuông góc với cắt trung điểm đường) Câu3 8điểm 8R3r Từ ta cã: S ABCD  2 (R  r ) A  5n2  26.5n  82n1  25.5n  26.5n  64n.8  51.5n  8.64n n n  59.5n  8.64n  8.5n  59.5  5n )  A  59   8.(64    59  (64 5) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 1 1 1 ... 5n2  26.5n  82n1  25.5n  26.5n  64n.8  51.5n  8.64n n n  59. 5n  8.64n  8.5n  59. 5  5n )  A  59   8.(64    59  (64 5) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com... nguyên dương (a;b;c) thoả mÃn (3;3;3) và(2;4;4)và (4;4;2) 1 ฀  ฀ABO  90 0  EBA ฀  ฀ABO  90 0  EBA Ta cã BAI mµ BAI ฀ 90 0 ,đường cao BM.Theo hệ thức tam giác vu«ng ta XÐt  EBK cã EBK B E... E M O C A I K D cã 1 1   2 BE BK BM a 1 Nªn    (Đpcm) R r a Xét AOB AMI cã ฀AOB  ฀AMI  90 vµ ฀A chung AOB ฀ AMI AO AM AM AB AB    AO   AB AI AI 2R BM AB AB  Chøng minh t­¬ng