HSG huyện hạ hòa 2012 2013

bao gồm đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 trong nhiều năm trở lại đây, giúp các em học sinh chuẩn bị sẵn sàng cho các kì thi quan trọng như thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố. Mời các em cùng tham khảo.

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bµi (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Bµi (6 điểm) Cho biểu thức: �� 10  x2 � � x A  �2   : x   � �� x � �x   x x  �� a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A, biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bài (5 điểm) a Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b Cho a b c x y z x2 y z       Chứng minh rằng:    x y z a b c a b c Bài (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a  2a  3a  4a  Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a Chứng minh OM = ON b Chứng minh 1   AB CD MN c Biết SAOB= 20122 (đơn vị diện tích); SCOD= 20132 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Lưu ý: Thí sinh khơng sử dụng Máy tính cầm tay PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toỏn Bài 1: (3 điểm) a (1,5 3x2 7x + = 3x2 – 6x – x + = ®iĨm) = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b (1,5 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = ®iĨm) = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 x 1 b x  � x  x  2 4 � A  A  A  � x  c 1 �Z � x� 1;3 d A �Z � x a Rút gọn kq: A  Bµi điểm 1,5 1,5 1,5 1,5 Bài (5 điểm) a (2,5) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = � (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = � 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x  1)2 �0;( y  3) �0;( z  1) �0 Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) a b c ayz+bxz+cxy   0� 0 x y z xyz � ayz + bxz + cxy = x y z x y z    � (   )2  Ta có : a b c a b c 2 x y z xy xz yz �    2(   )  a b c ab ac bc 2 x y z cxy  bxz  ayz �   2 1 a b c abc x2 y z �    1(dfcm) a b c Từ : b (2,5) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 0,25đ 0,25đ 0,25đ Biến đổi để có A= a (a  2)  2a(a  2)  (a  2)  = (a  2)(a  2a  1)  (a  2)(a  1)  Vì a   a (a  1) 0a nên (a  2)(a  1) 0a (a  2)(a  1)  3a Dấu = xảy a  0  a 1 KL Bài (5 điểm 0,25đ B A M O N C D a, (1,5 điểm) b, (1,5 điểm) c, (2 điểm) OM OD ON OC   , AB BD AB AC OD OC  Lập luận để có DB AC OM ON   OM = ON  AB AB OM DM OM AM   Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) AB AD DC AD 1 AM  DM AD   1 Từ (1) (2)  OM.( ) AB CD AD AD 1 Chứng minh tương tự ON (  ) 1 AB CD 1 1   từ có (OM + ON) (  ) 2  AB CD AB CD MN S AOB OB S BOC OB S S    AOB  BOC  S AOB S DOC S BOC S AOD , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC 0,5đ Chứng minh S AOD S BOC 0,5đ 0,5đ Lập luận để có  S AOB S DOC ( S AOD ) Thay sè ®Ĩ cã 20122.20132 = (SAOD)2  Do SABCD= 20122 + 2.2012.2013 + 20132 = (2012 + 2013)2 = 40252 (đơn vị DT) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ...PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2012 – 2013 Mơn: Tốn Bài 1: (3 điểm) a (1,5 3x2 7x + = 3x2 – 6x – x + = ®iÓm) = 3x(x -2 ) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b (1,5... (x - 2)(3x - 1) b (1,5 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = ®iĨm) = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 x 1 b x  � x  x  2 4 � A  A  A  � x  c 1... 18x + 4z - 6y + 20 = � (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = � 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x  1)2 �0;( y  3) �0;( z  1) �0 Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 Vậy