bao gồm đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 trong nhiều năm trở lại đây, giúp các em học sinh chuẩn bị sẵn sàng cho các kì thi quan trọng như thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố. Mời các em cùng tham khảo.
phòng giáo dục đào tạo hơng khê kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện Năm học 2011 - 2012 Môn to¸n LíP Khóa ngày 17.18.19 – - 2012 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ®Ị chÝnh thøc Bài 1: Cho biểu thức: A = ( x + x − 12 ) + x + 11x + 30 x2 + − 2x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị x để A = 3) Tìm giá trị nhỏ A Bài 2: 1) Cho số thực a, b thỏa mãn a102 + b102 = a101 + b101 = a100 + b100 Tính giá trị biểu thức: P = a2012 + b2012 x + 14 − = + 2) Giải phương trình: x +6 x +1 x + x + Bài 3: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt O Một đường thẳng qua A cắt đoạn BC M cắt đường thẳng CD N Trên AB lấy I cho BI = CM Chứng minh: a) Tam giác IOM đồng dạng với tam giác BOC b) IM // BN Bài 4: Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Một đường thẳng qua I cắt tia BC đoạn AC, AB A’, B’, C’ Chứng minh rằng: BC AC AB + = IA ' IB ' IC ' Bài 5: Cho ba số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c + + ≤ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c HƯỚNG DẪN Bài Hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x ∈ R A= = ( x + x − 12 ) + x + 11x + 30 x2 + ( x + ) ( 3x − x + 1) x +6 − 2x = Điểm 3đ x + 19 x + − x − 12 x x2 + = 3x − x + A = ⇔ x − x + = ⇔ ( x + 1) ( 3x − ) = 2đ x = −1 x +1 = ⇔ ⇔ x = x − = 2 1 1 2 A = 3x − x + = x − x + ÷ = x − ÷ + ≥ 3 3 3 Vậy GTNN A x = 1/3 Ta có a + b = ( a + b ) ( a + b ) − ab ( a + b ) Theo giả thiết a102 + b102 = a101 + b101 = a100 + b100 nên ta có: = a + b – ab ⇔ (a – 1)(b – 1) = ⇔ a = b = Do P = ĐKXĐ: ∀x ∈ R 102 102 101 101 100 100 2đ 2đ x + 14 x −4 − = + ⇔ 3+ − − − =0 x +6 x +1 x + x + x + x +1 x + x + x2 − ⇔ +1− +1− +1− =0 x +6 x +1 x +3 x +5 x2 − x2 − x2 − x2 − ⇔ + + + =0 x + x2 + x2 + x2 + 1 ⇔ ( x2 − 4) + + + ÷= x + x +1 x + x + 2 2đ ⇔ x − = ⇔ x = ±2 B A I O D M N C C’ B BI CM MN = = ⇒ IM / / BN AB AD AN 3đ 2.5đ Ta có AI phân giác góc B’AC’ tam giác AB’C’ nên: A a)Ta có ∆BIO = ∆CMO(cgc) · · · ⇒ BOI = COM , OI = OM ⇒ MOI = 900 suy ∆MOI vng cân ⇒∆IOM ∆BOC b) Ta có: I AB ' AC ' = (1) B'I C 'I B’ 0.25đ BI phân giác góc A’BC’ nên: C A’ BA ' BC ' = (2) A' I C ' I CI phân giác ngồi góc A’CB’ tam giác A’CB’ nên: 0.25đ 0.5đ CB ' CA ' CB ' CA ' = ⇒ − = (3) B ' I A'I B ' I A' I Cộng đẳng thức (1), (2) (3) vế theo vế ta được: BC AC AB + = IA ' IB ' IC ' a b c a b c P= + + = + + 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a +1 b +1 c +1 1 = − + + ÷ a +1 b +1 c +1 1 mà ( a +1 + b +1 + c +1) + + ÷≥ a +1 b +1 c +1 1 9 ⇒ + + ≥ ⇒P ≤ − = a +1 b +1 c +1 4 Dấu xảy a = b = c = 1/3 Ghi chú: Các cách giải khác đầy đủ xác cho điểm tối đa 0.5đ 2đ