112 HSG 14 QUANG NAM NHU THUY DUNG

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A  x  x   x  x  với x  a b c   1 b) Cho a , b , c , d , e , f số thực khác , thỏa mãn d e f a2 b2 c2 d e f B     0 d e f a b c Tính giá trị biểu thức Câu 2: (4,0 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên n cho n  14n  256 số phương b) Cho a số tự nhiên lớn không chia hết cho 8n 4n Chứng minh a  3a  chia hết cho , với số tự nhiên n Câu 3: (6,0 điểm) a) Giải phương trình x  x  2014  2014 x  y  z   b) Giải hệ phương trình  xy  z  2 c) Cho a , b , c số thực thỏa mãn a  b  c  abc    a  b  c  ab  ac  bc   Chứng minh Câu 4: (3,0 điểm) a) Cho hình bình hành ABCD , điểm M , N theo thứ tự thuộc cạnh AB BC cho AN  CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác góc AKC  AB  AC  Biết BC   bán kính b) Cho ABC vng A đường trịn nội tiếp ABC Tính số đo góc B góc C ABC Câu 5: (3,0 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý ( D khác B C ) Đường tròn tâm O1 qua D tiếp xúc với AB B , đường tròn tâm O2 qua D tiếp xúc với AC C , hai đường tròn cắt điểm thứ hai E a) Chứng minh D di động cạnh BC đường thẳng DE qua điểm cố định b) Giả sử ABC cân A , chứng minh tích AD AE khơng phụ thuộc vào vị trí điểm D cạnh BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A  x  x   x  x  với x  a b c   1 b) Cho a , b , c , d , e , f số thực khác , thỏa mãn d e f d e f   0 a b c a2 b2 c2 B   d e f Tính giá trị biểu thức Lời giải a) Với x  , ta có  x  4  A  x4 2  x  4  x4 4  x4 2 x4 4   x42    x4 2  Xét trường hợp:  Với x  , ta có A  x    x    x   Với  x  , ta có A  x     x   b) Với a , b , c , d , e , f số thực khác , ta có: a b c  a b c a b c 2ab 2bc 2ca   1     1      1 d e f d e f de ef fd d e f  a b c 2abc  f d e  a b2 c2 d e f  2 2 2       1   0   d e f def  c a b  d e f , a b c B  Vậy Câu 2: (4,0 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên n cho n  14n  256 số phương b) Cho a số tự nhiên lớn không chia hết cho 8n 4n Chứng minh a  3a  chia hết cho , với số tự nhiên n Lời giải 2 a) Đặt n  14n  256  k , với k  ¥ n  14n  256  k   n    k  305   n   k   n   k   305 Khi Mà 305  1.305   1  305   5.61   5   61  n   k    n   k  , với k ¥ Ta xét trường hợp sau: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com     n 7  k 1  n  160   TH1: n   k  305 k  152  n   k  305  n  146   n   k     k  152 TH2:  n7k   n  40   TH3: n   k  61 k  28 n   k  61 n  26   n   k     k  28 TH4:  Vì n k số tự nhiên nên chọn n  40 n  160 n n a8 n  3a n    a n  1   a n  1   a8   1   a   1     b) Ta có n 1 n2 n 3 n 1 n 2 n 3   a8  1  a    a    a    1   a  1  a    a    a    1     n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 4 8 4 4   a  1  a  1  a    a    a    1   a  1  a    a    a    1       a  1  a  1 B   a  1 C   a  1  a  1 B  3C    a  1  a  1  a  1 B  3C    a  1  a  1 D Vì a số tự nhiên lớn không chia hết ta xét trường hợp sau:  a    5k  1  1 M5   a n  3a n   M5   TH1: a  5k  , a    5k    1 M5   a8 n  3a n   M   TH2: a  5k  ,  TH3: a  5k  ,  a    5k  3  1 M5   a8n  3a n   M5   a    5k    1 M5   a8 n  3a n   M    TH4: a  5k  , 8n 4n Vậy a  3a  chia hết cho , với số tự nhiên n Câu 3: (6,0 điểm) a) Giải phương trình x  x  2014  2014 x  y  z   b) Giải hệ phương trình  xy  z  2 c) Cho a , b , c số thực thỏa mãn a  b  c  abc    a  b  c  ab  ac  bc   Chứng minh Lời giải x   2014 a) Điều kiện:  t    t  x  2014 Đặt t  x  2014 , Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  t  2014 2 t  x  2014 Ta có hệ phương trình sau:      1 vế theo vế ta được: Lấy  1  2 t   x t  x  x  t    x  t   t  x  1    t  x    1 ta Với t   x thay vào x  x  2014  x  8057  8057 x 2 (loại t  ) (nhận)   1 ta Với t  x  thay vào x  x  2013  x 1  8053 1  8053 x 2 (loại t  ) (nhận)  8057 1  8053 x 2 Vậy phương trình có nghiệm S   z  S  x  y   P   z  4  P  xy b) Đặt  Hệ phương trình cho trở thành  X    z  X   z     1 y Khi x , nghiệm phương trình x     z   Ta có Phương trình  1 2 z  4   z  4z     z  2       z     z  2 có nghiệm  1 ta X  X    X  Thay z  2 vào phương trình  phương trình  1 có nghiệm x  y  , z  2 x   y   z  2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  2 2 2 c) Ta có a  b  c   a   b  c  1  a    a  Tương tự ta có  b  ,  c    a    b    c     a  b  c  ab  ac  bc  abc   1 Khi Mặt khác  1 a  b  c   1  a  b  c   a  b  c      a  b  c   a  b  c  2ab  2bc  2ca     a  b  c  ab  ac  bc   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 2 (vì a  b  c  ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com   a  b  c  ab  ac  bc    Lấy  1    vế theo vế ta được: abc    a  b  c  ab  ac  bc   (đpcm) Câu 4: (3,0 điểm) a) Cho hình bình hành ABCD , điểm M , N theo thứ tự thuộc cạnh AB BC cho AN  CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác góc AKC  AB  AC  Biết BC   bán kính đường b) Cho ABC vng A trịn nội tiếp ABC Tính số đo góc B góc C ABC Lời giải a) Kẻ DI  AN I , DH  MC H 1 S ADN  DI AN SDMC  DH MC 2 Ta có , S ADN  S DMC  S ABCD Mà Suy DI AN  DH MC  DI  DH Khi ta có IDK  HDK (cạnh huyền - cạnh góc vng) · ·  IKD  HKD hay KD tia phân giác góc AKC (đpcm) b) Gọi I , H , K tiếp điểm đường tròn nội tiếp ABC với cạnh AB , AC , BC Ta có AB  AC  AI  IB  AH  HC  AI  AH  BK  KC    1    AB  AC       BC  AB AC    1   AB  AC  AB AC     8 3  AB AC    , kết hợp với  BC   24  16   AB  AC suy AB   , AC   AB  sin C    o µ  30o B µ BC C  Khi ,  60 Từ Câu 5: (3,0 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý ( D khác B C ) Đường tròn tâm O1 qua D tiếp xúc với AB B , đường tròn tâm O2 qua D tiếp xúc với AC C , hai đường tròn cắt điểm thứ hai E a) Chứng minh D di động cạnh BC đường thẳng DE qua điểm cố định Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Giả sử ABC cân A , chứng minh tích AD AE khơng phụ thuộc vào vị trí điểm D cạnh BC Lời giải  O  I a) Kéo dài ED cắt · AB tiếp tuyến  O1   ·ABD  BED · AC tiếp tuyến  O2   ·ACD  CED o · · ·  ·ABD  ·ACD  BEC  BEC  BAC  180  O Suy tứ giác ABEC nội tiếp · · · ·  ·AIE  ·ACE  ·ACD  DCE  CED  DCE  IDC  AI //BC  I cố định Vậy đường thẳng DE qua điểm I cố định (đpcm) » º b) Ta có AB  IC (do AI //BC ) » » » º Mà ABC cân A nên AB  AC  AC  IC  I  A  A , D , E thẳng hàng  AD AE  AB (vì ABE ∽ ADB ) Vậy AD AE không phụ thuộc vào vị trí điểm D cạnh BC (đpcm) …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... kiện:  t    t  x  2 014 Đặt t  x  2 014 , Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  t  2 014 2 t  x  2 014 Ta có hệ phương trình sau:... cho n  14n  256 số phương b) Cho a số tự nhiên lớn không chia hết cho 8n 4n Chứng minh a  3a  chia hết cho , với số tự nhiên n Lời giải 2 a) Đặt n  14n  256  k , với k  ¥ n  14n  256... x  2 014  2 014 x  y  z   b) Giải hệ phương trình  xy  z  2 c) Cho a , b , c số thực thỏa mãn a  b  c  abc    a  b  c  ab  ac  bc   Chứng minh Lời giải x   2 014 a)