Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A x x x x với x 4 a b c 1 b) Cho a , b , c , d , e , f số thực khác , thỏa mãn d e f a b2 c2 d e f B 2 0 d e f a b c Tính giá trị biểu thức Câu 2: (4,0 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên n cho n 14n 256 số phương b) Cho a số tự nhiên lớn không chia hết cho 8n 4n Chứng minh a 3a chia hết cho , với số tự nhiên n Câu 3: (6,0 điểm) a) Giải phương trình x x 2014 2014 x y z 2 b) Giải hệ phương trình xy z 4 2 c) Cho a , b , c số thực thỏa mãn a b c 1 abc a b c ab ac bc 0 Chứng minh Câu 4: (3,0 điểm) a) Cho hình bình hành ABCD , điểm M , N theo thứ tự thuộc cạnh AB BC cho AN CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác góc AKC AB AC Biết BC 4 bán kính b) Cho ABC vng A đường trịn nội tiếp ABC Tính số đo góc B góc C ABC Câu 5: (3,0 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý ( D khác B C ) Đường tròn tâm O1 qua D tiếp xúc với AB B , đường tròn tâm O2 qua D tiếp xúc với AC C , hai đường tròn cắt điểm thứ hai E a) Chứng minh D di động cạnh BC đường thẳng DE ln qua điểm cố định b) Giả sử ABC cân A , chứng minh tích AD AE khơng phụ thuộc vào vị trí điểm D cạnh BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A x x x x với x 4 a b c 1 b) Cho a , b , c , d , e , f số thực khác , thỏa mãn d e f d e f 0 a b c a b2 c B d e f Tính giá trị biểu thức Lời giải a) Với x 4 , ta có A x 4 x 2 x 4 x 4 x 4 x 4 x 2 x 4 Xét trường hợp: Với x 8 , ta có A x x 2 x Với x , ta có A x x 4 b) Với a , b , c , d , e , f số thực khác , ta có: a b c a b c 2ab 2bc 2ca 1 d e f de ef fd d e f a b c 2abc f d e a b2 c d e f 2 2 2 1 0 d e f def c a b d e2 f , a b c B Vậy a b c 1 d e f Câu 2: (4,0 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên n cho n 14n 256 số phương b) Cho a số tự nhiên lớn không chia hết cho 8n 4n Chứng minh a 3a chia hết cho , với số tự nhiên n Lời giải 2 a) Đặt n 14n 256 k , với k Khi Mà n 14n 256 k n k 305 n k n k 305 305 1.305 1 305 5.61 61 n k n k , với k Ta xét trường hợp sau: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com n k 1 n 160 TH1: n k 305 k 152 n k 305 n 146 k 152 TH2: n k n k 5 n 40 TH3: n k 61 k 28 n k 61 n 26 n k k 28 TH4: Vì n k số tự nhiên nên chọn n 40 n 160 n n a n 3a n a8 n 1 a n 1 a8 1 a 1 b) Ta có a8 1 a n a8 a 1 a 1 a8 n n a8 a8 n n n n n 1 a 1 a a a 1 a8 n n n n 1 a 1 a a a 1 a 1 a 1 B a 1 C a 1 a 1 B 3C a 1 a 1 a 1 B 3C a 1 a 1 D Vì a số tự nhiên lớn không chia hết ta xét trường hợp sau: a 5k 1 1 5 a8 n 3a n 5 TH1: a 5k , TH2: a 5k , a 5k 3 1 5 a8 n 3a n 5 TH3: a 5k , a 5k 1 5 a8 n 3a n 5 a 5k 1 5 a 8n 3a n 5 TH4: a 5k , 8n 4n Vậy a 3a chia hết cho , với số tự nhiên n Câu 3: (6,0 điểm) a) Giải phương trình x x 2014 2014 x y z 2 b) Giải hệ phương trình xy z 4 2 c) Cho a , b , c số thực thỏa mãn a b c 1 abc a b c ab ac bc 0 Chứng minh Lời giải a) Điều kiện: x 2014 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com t 0 t x 2014 Đặt t x 2014 , x t 2014 2 t x 2014 Ta có hệ phương trình sau: 1 vế theo vế ta được: Lấy 1 2 t x t x x t 0 x t t x 1 0 t x 1 ta Với t x thay vào 8057 8057 x x x x 2014 0 2 (loại t 0 ) (nhận) 1 ta Với t x thay vào 2 x x 2013 0 x 1 8053 8053 x 2 (loại t 0 ) (nhận) 1 x 8057 8053 x 2 Vậy phương trình có nghiệm S 2 z S x y P z 4 b) Đặt P xy Hệ phương trình cho trở thành X z X z 0 1 Khi x , y nghiệm phương trình 2 z z z z z Ta có Phương trình 1 có nghiệm 0 z 0 z 1 ta X X 0 X 2 Thay z vào phương trình phương trình 1 có nghiệm x y 2 , z x 2 y 2 z Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 2 2 2 c) Ta có a b c 1 a 1 b c a 1 a 0 Tương tự ta có b 0 , c 0 a b c 0 a b c ab ac bc abc 0 1 Khi Mặt khác 1 a b c 2 0 a b c a b c 0 a b c a b c 2ab 2bc 2ca 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a b c ab ac bc 0 2 (vì a b c 1 ) a b c ab ac bc 0 Lấy 1 vế theo vế ta được: abc a b c ab ac bc 0 (đpcm) Câu 4: (3,0 điểm) a) Cho hình bình hành ABCD , điểm M , N theo thứ tự thuộc cạnh AB BC cho AN CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác góc AKC AB AC Biết BC 4 bán kính đường b) Cho ABC vng A trịn nội tiếp ABC Tính số đo góc B góc C ABC Lời giải a) Kẻ DI AN I , DH MC H 1 S ADN DI AN S DMC DH MC 2 Ta có , S ADN S DMC S ABCD Mà Suy DI AN DH MC DI DH Khi ta có IDK HDK (cạnh huyền - cạnh góc vng) IKD HKD hay KD tia phân giác góc AKC (đpcm) b) Gọi I , H , K tiếp điểm đường tròn nội tiếp ABC với cạnh AB , AC , BC Ta có AB AC AI IB AH HC AI AH BK KC 8 1 AB AC BC AB AC 1 AB AC AB AC 8 3 AB AC 2 BC 24 16 , kết hợp với AB AC suy AB 2 , AC 6 AB sin C 30 B BC C Khi , 60 Từ Câu 5: (3,0 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý ( D khác B C ) Đường tròn tâm O1 qua D tiếp xúc với AB B , đường tròn tâm O2 qua D tiếp xúc với AC C , hai đường tròn cắt điểm thứ hai E Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh D di động cạnh BC đường thẳng DE qua điểm cố định b) Giả sử ABC cân A , chứng minh tích AD AE khơng phụ thuộc vào vị trí điểm D cạnh BC Lời giải A O I a) Kéo dài ED cắt I AB tiếp tuyến O1 ABD BED AC tiếp tuyến O2 ACD CED ABD ACD BEC BEC BAC 180 O O Suy tứ giác ABEC nội tiếp AIE ACE ACD DCE CED DCE IDC B AI //BC I cố định Vậy đường thẳng DE qua điểm I cố định (đpcm) b) Ta có AB IC (do AI //BC ) Mà ABC cân A nên AB AC AC IC I A A , D , E thẳng hàng AD AE AB (vì ABE ∽ ADB ) D C E Vậy AD AE khơng phụ thuộc vào vị trí điểm D cạnh BC (đpcm) …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC