225 đề HSG toán 7 hồ khắc vũ quảng nam

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VĨNH LỘC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 11/04/2017 Bài (4,0 điểm) 1    a) Tính giá trị biểu thức A    3,5  :  4    7,5 7    2.84.27  4.69 b) Rút gọn biểu thức B  7  27.40.94 c) Tìm đa thức M biết rằng: M   5x  xy   x  xy  y Tính giá trị M x, y thỏa mãn  x  5 2012  3 y  4 2014 0 Bài (4,0 điểm) 1  x  b) Tìm x, y, z biết: x  y;4 y  5z x  y  z  11 a) Tìm x : c) Tìm x, biết :  x   n1   x  2 n11 với n số tự nhiên Bài (4,0 điểm) a) Tìm độ dài cạnh tam giác có chu vi 13cm Biết độ dài đường cao tương ứng 2cm,3cm,4cm b) Tìm x, y nguyên biết : xy  x  y  ABC ( AB  AC , B  600 ) Hai phân giác AD CE ABC M BC kẻ đường vng góc với đường phân giác AI tai H, cắt AB P, Bài (6,0 điểm) Cho tam giác cắt I, từ trung điểm cắt AC K a) Tính AIC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK  6cm, AH  4cm c) Chứng minh IDE cân Bài (2,0 điểm) Chứng minh 10 số vô tỉ ĐÁP ÁN Bài 1    a) A    3,5  :  4    7,5 7     7   25 22  15    :    3 2  35 43 15 245 15  :    42 43 490 645 155    86 86 86 211.36. 22  33  2.84.272  4.69 213.36  211.39 b) B  7     27.40.94 214.37  210.38.5 210.37. 24  3.5  c) M   x  xy   x  xy  y   x  xy   M  x  xy  y  x  xy  x  11xy  y Ta có :  x  5 2012  3 y  4 2014 0  x  52012  2012 2014  x   y  0 Ta có:      2014  y    Mà  x  5 2012  3 y  4 2014    x  5   x  2012   x  2 Vậy    2014  y     y  1  2012  3 y   2014 0   x  2   y  1     4  25 110 16 1159 5 Vậy M     11 .           3   36 2 Bài a) 1  x  x 1 1    x  5 TH1: x 1  x 30 TH2: x 1 1 11  x   6 30 Vậy  11  x   ;    30 30  x y x y  hay  15 10 y z y z x y z y  z   hay  Vậy   10 15 10 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x  y  z 11 10      , suy x  5, y  ; z  15 10 15  10  33 3 b) Ta có : x  y  c)  x  2   x  2 n 1 n 11  x  2   x  2  n 1 10   x   1   x       TH1:  x   n1 n1 n11   x  2 x  1  x  1 10 10 TH2:   x     x        x   1  x  3 Vậy x  2; x  1; x  3 Bài a) Gọi độ dài ba cạnh tam giác x, y, z  cm  x, y, z   Theo ta có: x  y  z  13 x y z   Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Và x  y  z  2S ABC  x y z x  y  z 13       x  6, y  4, z  6   13 b) xy  x  y  xy  x  y  x  y  1  y     y  1 x  1   5.1  1.5  5   1  Xét trường hợp tìm  , y   1;3 ;  3;1 ;  2;0  ;  0; 2  Bài A F E K I B D H M P a) Ta có ABC  600  BAC  BCA  1200 AD phân giác BAC suy IAC  BAC CE phân giác ACB  ICA  BCA Suy IAC  ICA  1200  600 Vậy AIC  1200 C b) Xét AHP AHK có: PAH  KAH ( AH phân giác BAC ) AH chung; PHA  KHA  900  AHP  AHK ( g.c.g )  PH  KH (hai cạnh tương ứng) Vậy HK  3cm Vì AHK vng H , theo định lý Pytago ta có: AK  AH  HK  42  32  25 Suy AK  5cm c) Vì AIC  1200 , : AIE  DIC  600 Trên cạnh AC lấy điểm F cho AF  AE Xét EAI FAI có: AE  AF , EAI  FAI , AI chung Vậy EAI  FAI (c.g.c)  IE  IF (hai cạnh tương ứng ) (1) AIE  AIF  600  FIC  AIC  AIF  600 Xét DIC FIC có: DIC  FIC  600 ; IC chung; DIC  FIC  DIC  FIC  g.c.g   ID  IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy IDE cân I Bài Giả sử 10 số hữu tỷ a  10  (a, b số tự nhiên, b b khác 0;  a, b   1) a2  10  a  10b2 b  a  a2  10b2  b2  b Vậy  a, b   1nên 10 số vô tỷ TRƯỜNG THCS HIỀN QUAN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Tìm số x, y, z biết: ĐỀ CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC : 2015-2016 Mơn thi: Tốn a)  x  1  8 b) c) x  x  d )12 x  15 y  20 z x  y  z  48  x  5x  Câu a) Tìm số dư chia 22011 cho 31 b) Với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho Chứng minh rằng: 4a  a  b chia hết cho c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y  74 Câu a  b2 a a b  a) Cho tỉ lệ thức  Chứng minh ta có tỉ lệ thức b  c2 c b c b) Trên bảng có ghi số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau: lấy hai số thay vào hiệu chúng, làm đến số bảng dừng lại Hỏi làm để bảng lại số khơng ? Giải thích ? Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABE ACF vuông cân A Từ E F kẻ đường vng góc EK FN với đường thẳng HA a) Chứng minh rằng: EK  FN b) Gọi I giao điểm EF với đường thẳng HA Tìm điều kiện tam giác ABC để EF  AI Câu a) Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ bốn số a, b, c, d Hỏi S đạt giá trị lớn b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC  600 Chứng minh BC  AB2  AC  AB AC ĐÁP ÁN Câu a)  x  1  8  x   2  x  1 b)  x  5x  Điều kiện x  9  x  x  12 x  12 x 1    (tm) 9  x   x  x  x  x  x  0.DK : x  x   x x     (tm) x  x y z x y z x  y  z 48 d )12 x  15 y  20 z         4 5 12 12  x  20; y  16; z  12 c)   Câu a) Ta có: 25  32  1 mod31   25  402  1 mod31  22011   mod31 Vậy số dư chia 22011 cho 31 b) Vì a ngun dương nên ta có 4a  1 mod3  4a    mod3 Mà 4a    mod   4a  Khi ta có 4a  a  b  4a   a   b  2007  2010 Vậy với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho 4a  a  b chia hết cho 74 c) Từ x  y  74  x  74  x  mà x nguyên  x 0;1;4;9  x   y  10(ktm) 2 Mặt khác ta có x   75  x  y   2 x   y    x, y    3,2  ;  3, 2  ;  3;2  ,  3, 2  Câu a a b a  a   b  a b2 a  b2 a) Ta có:            c b c c c c b c b  c2 a  b2 a a b  Vậy có tỉ lệ thức  ta có tỉ lệ thức b c b  c2 c 2 b) Gọi S tổng tất số ghi bảng 2008.2009 Ta có S      2008   1004.2009 số chẵn Khi lấy hai số a, b thay vào hiệu hai số tổng S bớt  a  b    a  b   2b số chẵn Nên tổng phải số chẵn Vậy bảng khơng thể cịn lại số Câu N F I E K A B H a) Chứng minh KAF  HBA(ch  gn)  EK  AH Chứng minh NFI  HCA(ch  gn)  FN  AH Suy EK  FN b) Chứng minh KEI  NFI (c.g.c)  EI  FI  EF C EF ( gt )  AI  EI  FI  IEA  IAE IAF  IFA  EAF  900  BAC  900 Vậy EF  AI tam giác ABC vuông A Câu a) Giả sử a  b  c  d  Ta có: S  a  b  b  c  c  d  a  c  a  d  b  d  S  a bbccd  a c a d bd Mà AI   S  3a  b   c  3d  Mà c  3d   S  3a  b Mặt khác a  b  c  d   a  Suy S  3a  b  2a  a  b  2.1   c  3d  a   Dấu xảy a  b  c  d    b  c  d  a   Vậy S lớn bốn số a, b, c, d có số cịn số b) A H B C Kẻ BH  AC Vì BAC  600  ABH  300  AH  AB Áp dụng định lý Pytago ta có: AB2  AH  BH BC  BH  HC  BC  AB  AH  AC  AC AH  AH  BC  AB  AC  AH AC (2) (1) Chứng minh tương tự câu a có: OE  BC  OD  OE  OED cân O Chứng minh được: OEM  ODN Chứng minh được: OEM  ODN  c.g.c   OM  ON (dfcm) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4,0 điểm) a) Thực phép tính: 212.35  46.92 510.73  252.492  125.7   59.133    1 1 1         72 74 n 2 n 798 7100 50 Bài (3,0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x   y   x  xz  b) CMR: b) Cho đa thức : f ( x)  ax  bx  c Biết f  0  0; f 1  2017; f  1  2018 Tính a, b, c Bài (3,0 điểm) b2  a b  a a c  a) Cho  Chứng minh rằng: a  c2 a c b b) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1,2,3 Bài (8,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD  AC Trên đường vng góc với AB B lấy điểm E cho BE  AD (E C nằm nửa mặt phẳng bở AB) 1) Tam giác CDE tam giác 2) Trên cạnh AC lấy điểm F cho CF  AD Gọi giao điểm BF CD O Chứng minh COF  450 3) Trên BF lấy điểm P cho FCO  OCP Kẻ FH  CP  H  CP  Chứng minh: a) HO tia phân giác FHP b) Chứng minh: OH  OC  HF  CF Bài (2,0 điểm) Tìm x, y  biết: 36  y   x  2018 ĐÁP ÁN Bài a) E  212.35  46.92  3  84.35  510.73  252.492 125.7   59.133 12 212.35  212.34 510.73  54.7   1     12 12  9  12    13   1 59.73.9 212.34.2    56  2429  12     59.73.9 6250 1 1 1 b) Đặt A     n2  n   98  100 7 7 7 Ta có: 1 1 49 A     n4  n2   96  98 7 7 1  50 A   100   A  50 Bài a) Sử dụng tính chất A  2  0; y   0; x  xz  nên x   y   x  xz  3 Dấu xảy x  ; y   ; z   b) Tính f (0)  c  c  f (1)  a  b  c  a  b  c  2017  a  b  2017 Suy : x  f  1  a  b  c  2018  a  b  2018 Từ tính a  4035 ;b   2 Bài a c   c  ab c b b  c b2  ab b  a  b  b Khi đó:    a  c a  ab a  a  b  a a) Từ b2  c b b2  a b  a     Hay a2  c2 a a2  c2 a b) Gọi chữ số cần tìm a, b, c Suy : Số chia hết cho 18 nên chia hết cho   a  b  c  Lại có:  a  b  c  27 suy a  b  c nhận giá trị 9,18,27 a b c abc abc Theo ta có:    mà a  nên  , suy 6 a  b  c  18 a b c Suy     a  3, b  6, c  Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số cuối chẵn Vậy số cần tìm 396;936 Bài E B P D O A M H F C 1) Chứng minh DBE  CAD(c.g.c)  DE  DC (1); BDE  ACD; DEB  CDA Mặt khác : DBE vng B có BDE  DEB  900 Do đó: BDE  CDA  900  CDE  900  CDE vuông D (2) Từ (1) (2) suy CDE vuông cân D 2) CDE vuông cân D  DEC  DCE  450 Chứng minh BE / / AC  EBC  FCB Chứng minh: BEC  CFB (vì có BE  CF (cùng AD), EBC  FCB BC cạnh chung)  BCE  CBF  BF / /CE Khi DCE  COF (vì hai góc so le ) mà DCE  450  COF  450 3) a) AFH góc ngồi đỉnh F HFC nên:  AFH  FHC  900  2OCF  450  OCF  Mà AFO góc ngồi đỉnh F OFC  AFO  COF  FCO  450  FCO , AFO  AFH , hay FO tia phân giác AFH CFH có đường phân giác góc C đường phân giác góc F cắt O, nên đường phân giác góc ngồi đỉnh H CHF phải qua O  HO tia phân giác FHP 3b) Qua H kẻ đường thẳng vng góc với OF I cắt AC M Chứng minh FIM  FIH ( g.c.g )  MI  HI , FM  FH Do đó: OM  OH (quan hệ đường xiên – hình chiếu) Từ suy ra: OH  OC  HF  CF Bài 36  y   x  2018   y  8. x  2018   36 2  x  2018 2   2 Vi y    x  2018     x  2018 2   Với  x  2018   y  28(ktm)  x  2020 Với  x  2018     y2   y   y  2016 Với  x  2018   x  2018  y  36  y  Vậy  x; y   2020;2 ;  2016;2 ; 2018;6 PHÒNG GD VÀ ĐT YÊN MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS LÊ HÒNG PHONG LỚP – NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Bài Tính giá trị biểu thức: A  a  b   x  y    a  y  b  x  abxy  xy  ay  ab  by  Bài Chứng minh rằng: Nếu với a  ; b  2; x  ; y   a1  a2  a9 thì: a1  a2   a9 3 a3  a6  a9 A, B C Các diện tích A B tỉ lệ với 5, diện tích B C tỉ lệ với 8; A B có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27m B C có chiều rộng Chiều dài mảnh đất C 24m Hãy tính diện tích mảnh đất Bài Có mảnh đất hình chữ nhật Bài Cho biểu thức: 4x  3x  x  A ;B  x2 x3 a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên x để hai biểu thức có giá trị nguyên ABC, AB  AC Trên tia đối tia BC, CB lấy theo thứ tự hai điểm BD  CE Bài Cho tam giác cân D E cho a) Chứng minh tam giác ADE tam giác cân b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tia phân giác DAE c) Từ B C vẽ BH , CK theo thứ tự vuông góc với AD, AE Chứng minh BH  CK d) Chứng minh đường thẳng AM , BH , CK gặp điểm ĐÁP ÁN Bài  a  b   x  y    a  y  b  x  abxy  xy  ay  ab  by  a   x  y   b   x  y   a b  x   y b  x   abxy  xy  ay  ab  by  A  ax  ay  bx  by  ab  ax  by  xy abxy  xy  ay  ab  by   ay  bx  ab  xy  xy  ay  ab  by 1   abxy  xy  ay  ab  by  abxy  xy  ay  ab  by  abxy Với 1 a  ; b  2; x  ; y   A   1 3  2  .1 Bài Ta có:  a1  a2   a9 nên suy ra: a1  a2  a3  3a3 (1) a4  a5  a6  3a6 (2) a7  a8  a9  3a9 (3) Cộng vế với vế 1 ,  2 ,  3 ta được: a1  a2   a9  3 a3  a6  a9  Vì a1  a2   a9  nên ta được: a1  a2   a9 3 a3  a6  a9 Bài Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng mảnh đất S A , d A , rA , SB , d B , rB , SC , dC , rC Theo ta có: A, B, C theo thứ tự S A SB  ;  ; d A  d B ; rA  rB  27(m); rB  rC ; dC  24(m) S B SC Hai hình chữ nhật A B có chiều dài nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với chiều rộng Ta có: rA  12m S A rA r r r r 27    A B A B  3  S B rB 45 rB  15m  rC Hai hình chữ nhật B C có chiều rộng nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với chiều dài Ta có: SB d B 7d 7.24    dB  C   21(m)  d A SC d C 8 Do đó: S A  d A.rA  21.12  252(m2 ) S B  d B rB  21.15  315(m2 ) SC  dC rC  24.15  360(m2 ) Bài 4x  4 x  2  1  4 x2 x2 x2 Với x  x   a) Ta có: A  Để A nguyên x  1 x  nguyên  x  U (1)    x2  x   1  x  x  x  x  x  3  2 B   3x  x3 x3 x3 Với x   x   Để B nguyên nguyên  x  U    1; 2 x3 Do x  5, x  1, x  4, x  Vậy để B nguyên x 5;1;4;2 b) Từ câu a suy để A, B nguyên x  Bài A K H D M C B E O a) ABC cân nên ABC  ACB  ABD  ACE Xét ABD ACE có: AB  AC ( gt ); ABD  ACE (cmt ); DB  CE ( gt )  ABD  ACE (c.g.c)  AD  AE  ADE cân A b) Xét AMD AME có: MD  ME ( DB  CE; MB  MC ); AM chung; AD  AE (cmt )  AMD  AME (c.c.c)  MAD  MAE Vậy AM tia phân giác DAE c) Vì ADE cân A (cm câu a) nên ADE  AED Xét BHD CKE có: BDH  CEK (do ADE  AED); DB  CE ( gt )  BHD  CKE (ch  gn)  BH  CK d) Gọi giao điểm BH CK O Xét AHO AKO có: OA cạnh chung; AH  AK ( AD  AE, DH  KE (doBHD  CKE ))  AHO  AKO(ch  cgv) Do OAH  OAK nên AO tia phân giác KAH hay AO tia phân giác DAE , mặt khác theo câu b) AM tia phân giác DAE Do AO  AM , suy ba đường thẳng AM , BH , CK cắt O ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN TRƯỜNG LÊ HỒNG PHONG Năm học 2018-2019 Bài (3 điểm) Tính giá trị biểu thức 201610  201611 M 201610  201611 Bài (2 điểm) 1 1 1       1000 1000.999 999.998 998.997 3.2 2.1 Bài (4 điểm) Tìm x, y biết: Tính nhanh : N a)52 x1  52 x3  125.24 b) x  y  xy  x : y  y   Bài (2 điểm) Biết rằng: bz  cy cx  az ay  bx   Chứng minh : x : y : z  a : b : c a b c Bài (2 điểm) Cho A  x  3x   2 x  x  Chứng tỏ giá trị biểu thức A không âm với giá trị x Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC Kẻ đường cao BD vng góc với AC  D  AC  Chứng minh rằng: 3BD2  AD2  CD2  AB2  BC  CA2 ABC cân Bài (4 diểm) M , N trung điểm đoạn thẳng AH  MN H CK vng góc với đường thẳng MN K Chứng minh rằng: Cho tam giác có ba góc nhọn Gọi AB, AC Kẻ a) AH  CK b) BC  2MN ĐÁP ÁN Bài 201610.1  2016  2017 M  201610.1  2016  2015 Bài N 1 1 1          1000  1000.999 999.998 998.997 3.2 2.1   1 1 1 1 1              1000  999 1000 998 999 997 998 2  1  499   1   1000  1000  500 Bài a) Ta có: 52 x1  52 x3  53.24  52 x3  52  1  53.24  52 x3  53  x    x  b) Ta có: x  y  xy nên x  xy  y  y  x  1  x : y  x  Mà x  y  x : y , đó: x   x  y  y  1 1 Do đó: x   x  x  x  1  x   Vậy x   ; y  1 2 Bài Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: bz  cy cx  az ay  bx abz  acy bcx  abz acy  bcz      a b c a2 b2 c2 abz  acy  bcx  abz  acy  bcx  0 a  b2  c2 z y x z x y z   ;     c b a c a b c  x : y : z  a :b :c Bài Vì x4  0,3x2   x4  3x2   Từ 2 x  x   x  x   A  x4  3x2   x4  x2   x2  với x Vậy giá trị A không âm với x Bài B A Giả sử D C ABC thỏa mãn: 3BD2  AD2  CD2  AB2  BC  CA2 (1) Trong tam giác vuông DAB có AD2  BD2  AB2 Trong tam giác vng DBC có BD2  CD2  BC Suy 3BD2  AD2  CD2  2BD2  AD2  BD2  CD2  AB2  BC (2) Từ (1) (2) ta có: Vậy tam giác Bài 2AB2  BC  AB2  BC  CA2  AB2  CA2  AB  CA ABC cân A A M H N B K D C a) Xét NHA NKC có: AN  CN ( gt ); HNA  KNC (đối đỉnh); AHN  CKN   900   NHA  NKC  AH  CK b) Trên tia đối tia NM lấy D cho ND  NM Xét NAM NCD có: AN  CN , ANM  CND, NM  ND , từ NAM  NCD(c.g.c)  AM  CD, NAM  NCD , AM / /CD Mà CBM , MCD vị trí so le nên CMB  MCD Xét MCB CMD có: BM  CD; CMB  MCD, MC chung  MCB  CMD(c.g.c)  BC  MD Mà MD  2MN nên BC  2MN ... LỘC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-20 17 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 11/04/20 17 Bài (4,0 điểm) 1    a) Tính giá trị biểu thức A    3,5  :  4    7, 5 7? ??    2.84. 27. ..  7, 5 7? ??     7   25 22  15    :    3 2  35 43 15 245 15  :    42 43 490 645 155    86 86 86 211.36. 22  33  2.84. 272  4.69 213.36  211.39 b) B  7     27. 40.94...  24   x   100 25  17 ? ?7  ? ?7 d )  x  0,6  :    x   :  10  3  3 17 17 20  x   x   4 5 5 12  x  4:  Bài Ta có: a b c abc     10 35? ?7  a b c  10  a  30;