Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010 Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: a +1 a −1 P= − + a ÷ a− ÷ a −1 ÷ a +1 a P a) Rút gọn b) Tính giá trị của Câu 2: P tại )( ) −1 2− (1,5 điểm) Giải phương trình: Câu 3: ( a = 2+ (2,5 điểm) Cho x − x − − x − = x, y là các số dương x y + ≥2 y x a) Chứng minh: M= b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 4: x y xy + + y x x + y2 (3,0 điểm) O AB = R M nằm nửa đường tròn tâm đường kính ( A B không trùng với và ) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn AB, Ax Ax BM có bờ là đường thẳng kẻ tiếp tuyến Đường thẳng cắt tại · I; E, F; O IAM IB tia phân giác của cắt nửa đường tròn tại cắt tại H , K BE AI AM đường thẳng cắt tại cắt tại F , E, K , M a) Chứng minh điểm cùng nằm một đường tròn HF ⊥ BI b) Chứng minh O M ∆AMB c) Xác định vị trí của nửa đường tròn để chu vi đạt giá R? trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo Cho điểm Câu 5: M (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word (2 x, y x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) − y = 11879 biết rằng: ……………….HẾT…………… mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………….….Sớ báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010 Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: a +1 a −1 P= − + a ÷ a− ÷ a −1 ÷ a +1 a P a) Rút gọn P b) Tính giá trị của ( )( a = 2+ tại ) −1 2− Lời giải a) Điều kiện ( P= = a ≥ a > a ≠1 ⇔ a ≠ a ≠0 ) ( a +1 − a + a ( a − 1) a P = 4a Vậy a= b) = a (1 + a − 1) = 4a a ( + ) ( − ) ( + ) ( ( + ) ( = ) a − + a ( a − 1) a − a −1 a ( ) ( + 3) ( −1 = )( ) ) −1 ) −1 = ( + 3) ( − 3) = 2+ 2− = Vậy Câu 2: a= đó P = 4a = (1,5 điểm) Giải phương trình: Điều kiện x − x − − x − = Lời giải x ≥1 x − x −1 − x −1 = ⇔ ⇔ ( ) x −1 −1 − x −1 = x −1 −1 − x −1 = (1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x −1 ≥ ⇔ x −1 ≥ ⇔ x ≥ Khi (1) ⇔ x − − − x − = Khi Phương trình vô nghiệm ≤ x −1 < ⇔ ≤ x −1 < ⇔ ≤ x < ( 1) ⇔ (1) ⇔ − x =1 Vậy Câu 3: : Ta có (2,5 điểm) Cho : Ta có x − − x − = ⇔ −2 x − = ⇔ x = là nghiệm của phương trình đã cho x, y là các số dương x y + ≥2 y x a) Chứng minh: M= b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y xy + + y x x + y2 Lời giải a) Vì x > 0, y > nên x >0 y Áp dụng bất đẳng thức và a + b ≥ ab dấu "=" xảy ⇔a=b x y x y + ≥2 =2 y x y x ta có Vậy y >0 x x y + ≥2 y x ⇔ x y = ⇔ x2 = y ⇔ x = y y x Dấu "=" xảy (vì x > 0, y > 0) x y 3a a a= + M =a+ = + + y x a 4 a b) Đặt , ta có x y 3a a= + ≥2 ≥ y x Vì nên ; Ta có a a 1 + ≥ = = a a M =a+ Do đó Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 3a a = + + ≥ +1 = a 4 a 2 word mơn tốn: M= ; ⇔a=2⇔ x= y TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng Câu 4: và chỉ x= y (3,0 điểm) O AB = R M nằm nửa đường tròn tâm đường kính ( A B khơng trùng với và ) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn AB, Ax Ax BM có bờ là đường thẳng kẻ tiếp tuyến Đường thẳng cắt tại · I; E, F; O IAM IB tia phân giác của cắt nửa đường tròn tại cắt tại H, K BE AI AM đường thẳng cắt tại cắt tại F , E, K , M a) Chứng minh điểm cùng nằm một đường tròn HF ⊥ BI b) Chứng minh M c) Xác định vị trí của nửa đường tròn O ∆AMB để chu vi đạt giá trị lớn nhất và tìm R? giá trị đó theo Cho điểm M Lời giải a) Ta có M, E nằm nửa đường tròn đường · · FMK = 90° FEK = 90° AB kính nên và F , E, K , M FK Vậy điểm cùng nằm đường tròn đường kính A ∆HAK AH = AK b) Ta có cân tại nên (1) ∆AFB FK ⊥ AB K là trực tâm của nên ta có FK // AH Suy (2) · · · ·AFK = FAK · FAH = ·AFK FAH = FAK Do đó mà (gt) AK = KF , AH = KF Suy kết hợp với (1) ta được (3) HF // AK AKFH AK ⊥ IB Từ (2) và (3) ta có là hình bình hành nên Mà HF ⊥ IB suy ∆AMB = C∆AMB = MA + MB + AB MA + MB c) Chu vi của lớn nhất chỉ AB lớn nhất (vì khơng đởi) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức ( MA + MB ) ( a + b) ≤ ( a + b2 ) dấu "=" xảy ⇔a =b , ta có ≤ 2( MA2 + MB ) = AB AB MA + MB Nên đạt giá trị lớn nhất bằng và chỉ AB MA = MB M hay nằm giữa cung C∆AMB M AB Vậy nằm giữa cung thì đạt giá trị lớn nhất Khi đó C∆AMB = MA + MB + AB = AB + AB = (1 + 2) AB = R(1 + 2) Câu 5: (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: (2 x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) − y = 11879 Lời giải Đặt A = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) , ta có x A là tích của số tự nhiên x A 2x liên tiếp nên chia hết cho Nhưng không chia hết cho 5, đó A chia hết cho Nếu y ≥1 (2 , ta có x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − y chia hết cho mà 11879 y ≥1 y = không chia hết không thỏa mãn, suy Khi đó, ta có (2 x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − y = 11879 ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − = 11879 ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) = 11880 ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) = 9.10.11.12 ⇔ x = Vậy x = 3; y = là hai giá trị cần tìm …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2 010 Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: a +1 a −1 P= − + a ÷ a− ÷ a −1 ÷... ) − = 11879 ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) = 11880 ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) = 9 .10. 11.12 ⇔ x = Vậy x = 3; y = là hai giá trị cần tìm …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038