HSG Toán cấp huyện toán 9 huyen yen lac 2012

PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN Năm học 2012-2013 ( Thời gian làm 150 phút không kể phát đề) Câu 1: a,Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x − y = 2013 b, Chứng minh rằng, tổng bình phương p số nguyên liên tiếp ( p số nguyên tố, p > 3) chia hết cho p Câu 2: a, Trên mặt phẳng, xét lưới ô vuông 1×1 Chứng minh không tồn tam giác có đỉnh mút lưới b, Cho a; b; c > thỏa mãn điều kiện a3c + b3 a + c3b = abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = b c a + + a + ab b + bc c + ca Câu 3: + − x2  ( + x ) −   a, Rút gọn biểu thức M = + − x2 b, Giải phương trình x3 + x − x = − ( 1− x)   Câu 4: Từ điểm A đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB AC với B, C tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N cho BN=2ON Đường trung trực đoạn thẳng CN cắt OA M Tính tỉ số AM AO Câu 5:  y = ( x + ) ( − x ) a, Giải hệ phương trình  2  y − x − xy + 16 x − y + 16 = b, Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh SinA + SinB + SinC < ( cos A + cos B + cos C ) ………………………… Hết ……………………………… PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN Năm học 2012-2013 Câu Nội dung 2 1(2đ) a, Vì x − y lẻ suy x lẻ Đặt x = 2m + , m ∈ Z , thay vào phương trình ta 2m ( m + 1) − y = 1006 (1) Từ (1) suy y chẵn Đặt y=2n+1, n ∈ Z Thay vào (1) , ta m ( m + 1) = 2n + 503 , suy m(m+1) lẻ ( vô lý) Vậy phương trình nghiệm nguyên b, Giả sử p số nguyên liên tiếp a + 1, a + 2, a + 3, , a + p , ( a ∈ Z ) 2 2 2 Đặt A = ( a + 1) + ( a + ) + + ( a + p ) ⇒ A = pa + ( + + + p ) a + ( + + + p ) A = pa + p ( p + 1) a + ( p ( p + 1) ( p + 1) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ) ⇒ A = p  6a + ( p + 1) a + ( p + 1) ( p + 1)  Mp 0,25 Do p số nguyên tố, p>3 suy (p,6)=1 Vậy A chia hết cho p 0,25 2(2đ) B M N C P A a, Giả sử tồn tam giác ABC có đỉnh nút lưới Xét hình chữ nhật bao quanh tam giác ABC ( đỉnh A,B,C nằm cạnh hình chữ nhật) Ta chọn cho đỉnh hình chữ nhật trùng với đỉnh tam giác ABC, hình vẽ Vì cạnh HCN số nguyên, suy S( AMNP ) ∈ Q , S( AMB ) ∈ Q , S( NCB ) ∈ Q , S( ACP ) ∈ Q Suy S( ABC ) = S( AMNP ) − S( AMB ) − S( NCB ) − S( ACP ) ∈ Q (*) Gọi cạnh tam giác a S( ABC ) a2 = 0,25 0,25 0,25 Vì a = AM + MB ∈ Z , nên S( ABC ) ∉ Q mâu thuẫn với (*) Suy ĐPCM b, Áp dụng BĐT AM-GM, ta có 0,25 0,25 a 3c + b3 a + c 3b a b c ( a + b + c ) a c + b a + c b = abc ⇔ = = + + ≥ = a+b+c abc b c a a+b+c 1 32 9 P= + + ≥ ≥ = 2 2 a b c a b c  a b c  +a +b + c  + + ÷+ ( a + b + c )  + + ÷ b c a c a c a  b  b 0,5 3 a = b = c = − ≤ x ≤ 3(2đ) a, ĐKXĐ Vậy GTNN P= 0,25 0,25 Ta có + − x = + x + − x + − x = + x + − x ( 1+ x) ( 1− x) − -Suy M = ( = ( )( + x − − x + − x2 1+ x + 1− x )( )( ) 0,25 0,25 + x − − x + − x2 + − x2 )= 2x 0,25 b, Ta có x3 + x − x = − ⇔ x3 − ( x3 − x + 12 x − ) = 0,25 ⇔ x3 = ( x − ) ⇔ x = x − 0,25 3 ( + + 16 ⇒x= =− 1− 4(2đ) ) 0,5 B K N A M O C Gọi K trung điểm BN Ta có OA trung trực đoạn BC Do M thuộc OA nên MB=MC Do M thuộc trung trực CN nên MC=MN Suy MB=MN Do M thuộc trung trực BN, suy MK ⊥ BN Vì OB ⊥ BA ( Tính chất tiếp tuyến) ⇒ MK / / AB Xét tam giác OBA, theo định lí Ta-Lét ta có AM BK = = AO BO 5(2đ) Biến đổi PT thứ hai ta 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 y − ( x + ) y − x + 16 x + 16 = ⇔ ( y − x − ) ( y + x − ) = 2  y = 5x + ⇔ y = 4− x - Với y=5x+4, thay vào PT đầu ta ( 5x + 4) 0,25  x=− ⇒ y=0  = ( 5x + ) ( − x ) ⇔  x = ⇒ y = -Với y=4-x, thay vào phương trình đầu ta ( − x) 0,25 x = ⇒ y = = ( 5x + 4) ( − x ) = ⇔  x = ⇒ y =   Vậy nghiệm hệ phương trình ( x, y ) = ( 0; ) , ( 4;0 ) ,  − ;0 ÷   b, Gọi (O;R) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H,K,L tương ứng 0,25 trung điểm BC,CA,AB B L A O H K C 1· Ta có µA = BOC ( tam giác BOC cân O OH đường cao) ⇒ sin A = sin HOC = HC BC BC OH OH = = = ; cos A = cos HOC = OC 2OC R OC R Ta cần chứng minh AB+BC+CA HK = AB BC AC ; OL + OK > KL = ; OH + OL > HL = 2 Suy AB+BC+CA