PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHÂU THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ Năm học 2011- 2012 - Mơn thi: TỐN Thời gian : 150 phút (khơng kể phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨ C Câu (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có chữ số xy , biết hai chữ số đơn vị 2 xxyy = xx + yy b) Biết a – b = 7.Tính giá trị biểu thức A = a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1) Câu (4 điểm) a) Cho ba số thực a, b, c Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca + 2 (a − b)2 (b − c) (c − a) + + 12 2011 b) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 4x2 – 3x + Câu (4 điểm) a) Giải phương trình 4x +1 – 3x − = + 2011 4x x+3 x + my = 3m mx − y = m − b) Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 – 3x + y > Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có cạnh BC cố định điểm A thay đổi (O) Các đường cao BD, CE tam giác cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, H nằm đường tròn b) Tia AO kéo dài cắt (O) F Chứng minh A thay đổi (O) đường thẳng HF ln qua điểm cố định c) Giả sử AB > AC.Chứng minh AB2 + CE2 > AC2 + BD2 d) Đường phân giác góc A cắt BC K (O) L Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn AK với AO Chứng minh (I ; IA) tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với BC K Câu (2 điểm) Cần dùng bìa hình tròn có bán kính để phủ kín tam giác có cạnh 3, với giả thiết khơng cắt bìa? -Hết - PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHÂU THÀNH Đề thức Câu (4 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Thi chọn học sinh giỏi cấp huyện lớp THCS Năm học 2011-2012 Nội dung Điểm 2.0 a) Điều kiện ≤ x, y ≤ x, y ngun Ta có : xxyy = xx + yy ⇔ 1100x +11y = (11x)2 + (11y)2 ⇔ 11(100x + y) = 112(x2 + y2) ⇔ 99x + (x + y) = 11(x2 + y2) ⇒ (x + y) M11 ⇒ x + y =11 (vì ≤ x + y ≤ 18) Kết hợp với giả thiết x – y = y – x = Từ (x ; y) (3 ; 8), (8 ; 3) Thử lại có : 2.0 (x ; y) = (8 ; 3) thỏa mãn Vậy số cần tìm 83 b) A = a2(a + 1) – b2(b –1) + ab – 3ab(a – b + 1) = a3 + a2 – b3 + b2 + ab –3a2b + 3ab2 – 3ab = (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) + (a2 – 2ab + b2) = (a – b)3 + (a – b)2 =(a – b)2(a – b + 1) = 72(7 + 1) = 392 (4 đ) (a − b)2 (b − c) (c − a) + + 12 2011 2 ⇔ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ (a − b) + (b − c) + (c − a) 12 2011 2 ⇔ 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ≥ (a − b) + (b − c) + 2(c − a) 2011 2 ⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ (a − b) + (b − c) + 2(c − a) 2011 2 ⇔ 5(b − c) + 2009(c − a) ≥ (đúng với a, b, c) 2011 a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca + 1 b) M = x − ÷ + x + ÷+ 2010 ≥ x × + 2010 = 2011 (BĐT 4x 2 4x Cauchy) 1 Khi x = , ta có M = 2011 Vậy Min M = 2011 ⇔ x = × 2 (4 đ) a) ĐKXĐ 4x + ≥ 0, 3x – ≥ Suy x ≥ Từ x + > Nhận xét thấy (4x + 1) – (x – 2) = x + nên nhân hai vế phương trình (1) với biểu thức liên hợp với vế trái (biểu thức ln dương) xuất nhân tử chung x + Ta có : x+3 ( x + + 3x − ) ⇔ (x + 3)( x + + 3x − –5) = ⇔ x + + 3x − = (do x + > 0) (1) ⇔ x + = Giải cách bình phương hai vế (2) ta được: (2) 2.0 2.0 2.0 4x + + 3x – + (4x + 1)(3x − 2) = 25 ⇔ 7x – + (4x + 1)(3x − 2) = 25 ⇔ (4x + 1)(3x − 2) = 26 –7x ⇒ x2 – 344x + 684 = (ĐK: 26 ≤ x≤ ) ⇔ (x – 2)(x –342) = ⇔ x = (chọn) x = 342 (loại) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b) Dùng phương pháp ta tính x = m ; y = 2.0 m > Do đó: m2 – 3m + > ⇔ m < (6 đ) · · a) Vì AEH = ADH = 90Ο nên điểm A, đường tròn đường kính AH b)Vì AF đường kính (O) nên BA Mà CH ⊥ BA nên BF // CH Tương giác BHCF hình bình hành Vậy HF (là điểm cố định) c) Ta có : AB2 + CE2 > AC2 + BD2 ⇔ AB2 – BD2 > AC2 – CE2 ⇔ AD2 > AE2 (định lý Pytago) ⇔ AD > AE (*) ∆ ABD ∆ ACE (g-g) ⇒ E, D, H nằm 1,5 · ABF = 90Ο Hay BF ⊥ tự CF // BH Suy tứ qua trung điểm BC AD AB = >1 Vậy (*) AE AC 1,5 1,5 d) Vì A, I, O thẳng hàng nên (I ; IA) tiếp xúc với (O) A · · · Ta có OIK (góc ngồi tổng hai góc khơng kề) = 2.OAK = FOL » AL phân giác góc A) ⇒ IK // OL Mà OL ⊥ AB ( L trung điểm BC 1,5 ⇒ IK ⊥ BC Vậy (I ; IA) tiếp xúc với BC K (2 đ) A Giả sử ∆ ABC tam giác có cạnh Chia cạnh tam giác ABC thành ba phần Nối điểm chia đoạn thẳng K song song với cạnh Tam giác ABC chia thành tam giác có cạnh Gọi I, J, K điểm cạnh BC, CA, J AB cho BI = CJ = AK = Ba đường tròn bán kính 1, tâm tương ứng I, J, K phủ kín B C tam giác ABC (mỗi hình tròn phủ kín I ba tam giác nhỏ) Như dùng ba bìa phủ kín tam giác ABC * Số bìa phải dùng 3, ngược lại có hai ba đỉnh tam giác ABC thuộc hình tròn bán kính Điều khơng thể xảy cạnh tam giác ABC bẳng 2.0 ... +11y = (11x)2 + (11y)2 ⇔ 11(100x + y) = 112(x2 + y2) ⇔ 99 x + (x + y) = 11(x2 + y2) ⇒ (x + y) M11 ⇒ x + y =11 (vì ≤ x + y ≤ 18) Kết hợp với giả thi t x – y = y – x = Từ (x ; y) (3 ; 8), (8 ; 3) Thử...PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHÂU THÀNH Đề thức Câu (4 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Thi chọn học sinh giỏi cấp huyện lớp THCS Năm học 2011-2012 Nội dung Điểm 2.0 a) Điều kiện ≤ x,... – 3a2b + 3ab2 – b3) + (a2 – 2ab + b2) = (a – b)3 + (a – b)2 =(a – b)2(a – b + 1) = 72(7 + 1) = 392 (4 đ) (a − b)2 (b − c) (c − a) + + 12 2011 2 ⇔ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ (a − b) + (b − c)