UBND HUYỆN KRÔNG NÔ PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC Môn Thi : TOÁN Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 : ( 2 điểm ) : Cho A = xx x −−+ + 11 1 - 11 1 2 −+− − xx x a)Tìm điều kiện để biểu thức A có nghóa . b)Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x . Bài 2 : ( 2 điểm ) Cho hai số a , b thoả mãn điều kiện 2a + 3b = 5 . Chứng minh rằng 2a 2 + 3b 2 ≥ 5 Bài 3 : ( 2 điểm ) Cho hàm số y = 2mx – 2m –1 ( m ≠ 0 ) a) Xác đònh m để đồ thò hàm số đi qua gốc toạ độ O . b) Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đồ thò hàm số với các trục Ox , Oy . Xác đònh m để diện tích tam giác AOB bằng 4 ( đvdt ) c) Chứng minh rằng đồ thò hàm số luôn đi qua một điểm cố đònh . Bài 4 : Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau : A = 169 2 +− xx + 2 93025 xx +− Bài 5 ( 2 điểm ) Chứng minh rằng : 4 nếu 2 0≤≤ m 224 +−+ mm + 224 +−− mm = 2 2−m nếu m > 6 Bài 6 : ( 2 điểm ) Giải phương trình sau : x + 4 1 2 1 +++ xx = 1 Bài 7 : ( 2 điểm ) Cho biểu thức : S = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd trong đó ab – bc = 1 a) Chứng minh rằng S ≥ 3 b) Tính giá trò của tổng ( a + b ) 2 + ( b + d) 2 khi biết S = 3 Bài 8 : ( 3 điểm ) Cho hai đường tròn ( O ; R ) và ( O’ ; r’ ) tiếp xúc ngoài tại A kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC ( B ∈ (O) ; C ∈ (O’) ) a) Tính BC b) Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O ( D ≠ A ) . Chứng minh rằng ba điểm B , O , D thẳng hàng . c) Tính BA biết R = 16 cm ; r’ = 9 cm . Bài 9 : ( 2 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có BC = a , CA = b , BC = c . Chứng minh rằng : a) sin 2 A ≤ cb a + . b) sin 2 A . sin 2 B . sin 2 C ≤ 8 1 Bài 10 : ( 1 điểm ) Cho ∆ ABC vuông tại A có AB = c , AC = b và đường phân giác trong góc A là AD = d . Chứng minh rằng : d 2 = b 1 + c 1 ( Giám thò coi thi không giải thích gì thêm ) UBND HUYỆN KRÔNG NÔ PHÒNG GIÁO DỤC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008 Môn Thi : TOÁN Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 : ( 2 điểm ) : a) tìm đúng điều kiện ( 0,75 điểm ) 1-x ≥ 0 1+x ≥ 0 x ≠ 0 1- x 2 ≥ 0 ( 0,25 điểm ) x ≤ 1 (0,25 điểm ) x ≠ 0 ( 0,25 điểm) x+1 ≠ x−1 x ≠ 1 -1 x≤ < 1 2 1 x− ≠ 1 - x b) 1,25 điểm A = xx x −−+ + 11 1 - 11 1 2 −+− − xx x = 22 )1()1( )11(1 xx xxx −−+ −+++ - 222 2 )1()1( )11)(1( xx xxx −−− −+−− 0,25điểm A = )1(1 11 2 xx xx −−+ −++ - 22 2 211 )11)(1( xxx xxx −+−− −+−− 0,25 điểm A = x xx 2 11 2 −++ - )1(2 )11)(1( 2 xx xxx − −+−− 0,25 điểm A = x xxxx 2 )11(11 22 −+−−−++ = 1 0,25 điểm Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào x 0,25 điểm Bài 2 : ( 2 điểm ) p dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – Ski (ax + by) 2 ≤ ( a 2 + b 2 ) (x 2 + y 2 ) Ta có : 5 2 = (2a + 3b ) 2 = ( 2 . 2 a + 3 . 3 b ) 2 ≤ ( 2 + 3 ) ( 2a 2 + 3b 2 ) => 2a 2 + 3b 2 5 ≥ Dấu đẳng thức xảy ra 2 2a = 3 3b 2a + 3b= 5 a = b = 1 Bài 3 : ( 2 điểm ) a) Đồ thò đi qua gốc toạ độ suy ra x = 0 , y = 0 thay vào hàm số y = mx – 2m – 1 ta có : -2m – 1 = 0 m = - 2 1 b) A là giao điểm của đồ thò với trục Ox ta có y = 0 thay vào hàm số ta được x = m m 12 + B là giao điểm của đồ thò với trục Oy ta có y = 0 thay vào hàm số ta được y = -2m – 1 Vậy A m m 12 + ; 0 ; B ( 0 ; -2m-1 ) Diện tích tam giác là : S = 2 1 OA . OB = 2 1 A X . B X = 2 1 m m 12 + 12 −− m = m m 2 )12( 2 + Ta có S = 4 ( 2m + 1 ) 2 = 8 m ( 2m – 1 ) 2 = 0 m = 2 1 c) Giả sử đồ thò hàm số đi qua điểm M( x 0 , y 0 ) với mọi m . Ta có : y 0 = mx 0 -2m-1 y 0 + 1 = m (x 0 - 2 ) Với mọi m x 0 - 2 = 0 y 0 + 1 = 0 x 0 = 2 y 0 = -1 Vậy đồ thò hàm số đi qua điểm cố đònh M ( 2 ; -1 ) Bài 4 : ( 2 điểm ) A = 169 2 +− xx + 2 93025 xx +− = 2 )13( −x + 2 )35( x− = 13 −x + x35 − p dụng a + b ba +≥ . Dấu “=” xảy ra khi a.b ≥ 0 A = 13 −x + x35 − ≥ xx 3513 −+− = 4 = 4 Vậy khi A = 4 3 1 ≤≤ x 3 5 Bài 5 : ( 2 điểm ) 007A Điều kiện VT có nghóa : m-2 ≥ 0 => m ≥ 2 (1). Đặt t = 2−m => m = t 2 + 2 Hay VT = 2−m + 2 + 22 −−m . Nếu 2−m - 2 0 ≤ => m 6 ≤ . Kết hợp với (1) ta có : VT = 2−m + 2 – ( 2−m - 2 ) = 4 Nếu 2−m -2 > 0 => m > 6 thì VT = 2 2−m 4 nếu 62 ≤≤ m Tóm lại :VT = 2 2−m nếu m>6 Bài 6 : ( 2 điểm ) Giải phương trình sau : x + 4 1 2 1 +++ xx = 1 đk - 4 1 x≤ < 1 x + 4 1 4 1 2 1 .2) 4 1 ( ++++ xx = 1 x+ 2 ) 2 1 4 1 ( ++x = 1 x + 4 1 +x + 2 1 = 1 x + 4 1 + 4 1 +x + 4 1 = 1 4 1 +x = 2 1 x + 4 1 = 4 1 => x = 0 Bài 7 : ( 2 điểm ) a) ( ad – bc ) 2 + ( ac + bd ) 2 = a 2 d 2 +b 2 c 2 +a 2 c 2 +b 2 d 2 = (a 2 +b 2 ) (c 2 +d 2 ) Vì ab – bc = 1 Nên 1 + ( ac + bd ) 2 = (a 2 +b 2 ) (c 2 +d 2 ) (1) p dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai vế không âm ta có : a 2 +b 2 + c 2 +d 2 ))((2 2222 dcba ++≥ S ))((2 2222 dcbabdac ++++≥ (2) Từ (1) và (2) suy ra S 2 )(12)( bdacbdac ++++≥ Đặt x = ac + bd Ta có : S 22 )12( xx ++≥ = (1 + x 2 ) + 4x 2 1 x+ +4x 2 + 3 = ( 2 1 x+ +2x) 2 +3 Từ đó : S 2 2 2 )21( xx ++≥ +3 3 ≥ . Do đó S 3≥ . b) S 3≥ a 2 +b 2 = c 2 +d 2 2 1 x+ + 2x = 0 Từ 2 1 x+ +2x = 0 => x<0 ; 2 1 x+ = -2x Tính được x = ± 3 1 Vì x< 0 nên giá trò x = - 3 1 Bài 8 ( 2 điểm ) a) IO ⊥ IO’ ( tia phân giác của hai góc kề bù ) Suy ra OIO’ = 90 0 Tam giác IOO’ vuông , đường cao AI . Suy ra AI 2 = OA . O’A = R . r Do đó BC = 2 . IA = 2 rR. b) Các tam giác cân O’AC và OAD có các góc ở đáy bằng nhau suy ra OD // O’C Ta lại có OB // O’C Vậy B , O , D thẳng hàng . c) Xét tam giác vuông BDC theo hệ thức lượng ta có : 2 1 BA = 2 1 BD + 2 1 BC = 2 4 1 R + rR.4 1 = rR rR .4 2 + Suy ra BA = rR rR + 2 = 5 3.16.2 = 1,92 cm 2 Bài 9 : ( 2 điểm ) A B D C a) Vẽ AD là đường phân giác của tam giác ABC . Vẽ BH là đường cao của tam giác ABD . Tam giác ABC có AD là phân giác nên : AB BD = AC DC => AB BD = ACAB DCBD = + = ACAB BC + Vậy AB BD = cb a + . Do đó BH vuông góc với AN nên BH ≤ BD b) Tam giác HAB vuông tại H nên sin BAH = AB BH => sin 2 A = AB BH ≤ AB BD = cb a + Tương tự ta có sin 2 B = ac b + , sin 2 C = ab c + . Do đó sin 2 A . sin 2 B . sin 2 C ))()(( bacacb cba +++ ≤ Theo bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có : b +c ≥ 2 bc ; a+c ac2≥ ; b + a ba2≥ Nên 8 1 ))()(( ≤ +++ bacacb cba . Vậy sin 2 A . sin 2 B . sin 2 C 8 1 ≤ . Bài 10 : ( 2 điểm ) A B C D Vẽ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC ( E ∈ AB , F ∈ AC ) Tứ giác AFDE là hình chử nhật ( Vì Â = E = F = 90 0 ) Có tia AD là phân giác của góc ADE tứ giác AFDE là hình vuông DE = DF = 2 2.AD = 2 2.d S DAB∆ + S DAC∆ = S ABC∆ 2 1 . DE .AB 6 + 2 1 DF. AC = 2 1 AB . AC => 2 2.d c + 2 2.d b = bc => d 2 = b 1 + c 1 . . A B C D Vẽ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC ( E ∈ AB , F ∈ AC ) Tứ giác AFDE là hình chử nhật ( Vì Â = E = F = 90 0 ) Có tia AD là phân giác của góc ADE tứ giác AFDE là hình vuông DE = DF =. d 2 = b 1 + c 1 ( Giám thò coi thi không giải thích gì thêm ) UBND HUYỆN KRÔNG NÔ PHÒNG GIÁO DỤC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008 Môn Thi : TOÁN Thời gian : 120 phút. ≠ A ) . Chứng minh rằng ba điểm B , O , D thẳng hàng . c) Tính BA biết R = 16 cm ; r’ = 9 cm . Bài 9 : ( 2 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có BC = a , CA = b , BC = c . Chứng minh rằng : a)