070 đề HSG toán 9 hưng yên 2014 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC : 2014 - 2015 Mơn thi: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Ngày thi 19 tháng 03 năm 2015 _ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (3,0 điểm) Cho x     10 Tính giá trị biểu thức 1   A  x  x3  x  x  2015 Câu II (4,0 điểm) Cho Parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y  mx  (m tham số thực) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB  10 Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 5x2  xy  y  x  y  40  Câu III (5,0 điểm) Giải phương trình x3  x  40 5 x  x3  y 15 y  14    y  x  Giải hệ phương trình  x3  xy  15 x    Câu IV (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB  5a AD  2a (a > 0) M điểm cạnh AB (M khác A khác B) Gọi H, K hình chiếu vng góc M AC DC Chứng minh điểm B, C, K, H, M thuộc đường tròn Xác định tâm O đường tròn AH  MK Tính theo a MH Khi AK tiếp tuyến đường tròn (O) Tính AM theo a Câu V (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  19a  19b  19c     b2  c2  a2 HẾT - HƯỚNG DẪN CÁCH LÀM BÀI Câu I : x  2   10  2  1 1 42   1  2  Thay x  vào A ta có   A  x  x3  x  x  2015  3   3 1  2  1  1 2   1      2   2 1 2015    1   1 3 1   12015  Câu II: Hoành độ giao điểm (P) (d) x2  mx   x2  mx   Ta có   m2  ( m2   ) nên đồ thị hàm số (P) (d) cắt hai điểm phân biệt)  x1  x2  m Theo hệ thức Viète ta có   x1  x2  1 Gọi A (x1; y1) B (x2; y2) giao điểm (P) (d) ta có:  x1  x2    y1  y2  AB     x1  x2   x12  x2 2  2  10  10   x1  x2   x1 x2   x1  x2    x1  x2   10 2 2 2   x1  x2   x1 x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2   10      m   m  m   10  m  5m    m  m  6m       m2   m2    m2    m  1 Ta có x  xy  y  x  y  40   x  y  xy  x  y   x  xy  y  41   x  y  1   x  y   41 2   x  y  1   x  y   42  52 2 x  y 1  x     2x  y   y 1 TH1: x  y 1   x  TH2:  (loại)   2x  y  Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (2; 1) Câu III: ĐK:  x2     x  x3 Ta có: 5 x  x  40  x  8x   x2  40   x y   x3    x   x  5   0  x    x  x   x  20  x    x    x   x  3x  20     x3    x   x  2  x  2 2 2 2 TH1: x    x2  ĐK: x    x2    x2   x  20  x  2 x2 TH2: x   x2  3x2  20   x   x  3x  20    x   x  x  120 x  400  13x  100 x2  400  (vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x =  x3  y 15 y  14    y  x  Ta có:    x  xy  15 x   Ở phương trình (1) ta có:  x3  y 15 y  14   y  x 1  2   x3  3x  y  15 y  y  14  x3  3x  y  y  12 y   y   x  3x   y      y    x  y  (*) Từ (2) (*) ta có hệ phương trình: x2 y x  y2     4 x  xy  15 x   4 x  x   x    15 x   x2 y x2 y      4 x  x  3x   8 x  12 x  x    1  x   x  1  5     y  5   x   y   1  5   Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  2   Câu IV: Xét tứ giác MHCB ta có MHC  MBC  90  MHC  MBC  180  Tứ giác MHCB nội tiếp đường tròn đường kính MC (1) Xét tứ giác MKCB ta có MKC  MBC  90  MKC  MBC  90  Tứ giác MKCB nội tiếp đường tròn đường kính MC (2) Từ (1) (2) suy năm điểm B, C, K, H, M thuộc đường tròn đường kính MC  Tâm O trung điểm MC Xét ABC AHM có MHM  MBC  90 CAB chung  ABC đồng dạng AHM  AB BC mà MK = BC  AH MH  AB  MK  AB  AH  MK mà AB  5a AH MH  AH  MK  5a MH MH Giả sử AK tiếp tuyến (O) Dễ dàng ta có tứ giác MKCB hình chữ nhật nên O nằm đoạn BK Xét ABK vuông K đường cao KM ta có AM  MB  MK  AM   AB  AM   AD  AM  5a  AM  4a  AM  5a  AM  4a   AM  4a  AM  a  AM  4a   AM   AM  4a   a   AM  4a     AM  a    AM  4a    AM  a   AM  4a Vậy AM= 4a AM = a Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ab  ac  bc  a   b2  c2  b2  a  c   a  b2  c2   a  b  c    ab  ac  bc      a  b  c   abc  19a  19b  19c  b c   a 1 b 1 c 1   a    16      3   2 2 2  2  1 b 1 c 1 a  1 b 1 c 1 a   1 b 1 c 1 a  a b c a 1 b 1 c 1 Đặt A  B      2 1 b 1 c 1 a  b2  c  a T Ta lại có: b c  ab2 bc ca ab bc ac  a a bc  A  a bc           2  2 2 2  1 b 1 c 1 a  1 b 1 c 1 a  A  a  b  c  (*)  a 1 b 1 c 1  b) a  b  c   B  a  b  c      2   1 b 1 c 1 a  a) a  ab  a    b b  bc  b    c c  a 2c  c    a    b2  c2  a2 ab  b bc  c a c  a a  b  c       b2  c2  a2 2 abc  B  a b  c  3  2 abc (**) B  2  Từ (*) (**) ta có: 3   abc 3 16 A  3B  16   a  b  c        2 2   35 39  T    a  b  c    33 2 Vậy giá trị nhỏ T 33 Dấu “=” xảy a  b  c  ...  Thay x  vào A ta có   A  x  x3  x  x  2015  3   3 1  2  1  1 2   1      2   2 1 2015    1   1 3 1   12015  Câu II: Hoành độ giao điểm (P) (d) x2  mx... tứ giác MHCB ta có MHC  MBC  90   MHC  MBC  180  Tứ giác MHCB nội tiếp đường tròn đường kính MC (1) Xét tứ giác MKCB ta có MKC  MBC  90   MKC  MBC  90   Tứ giác MKCB nội tiếp đường... a  c   a  b2  c2   a  b  c    ab  ac  bc      a  b  c   abc  19a  19b  19c  b c   a 1 b 1 c 1   a    16      3   2 2 2  2  1 b 1 c 1 a  1