SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2014-2015 Mơn:TỐN Ngày thi:04/03/2015 Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5 điểm) x4 x x ( x 2) x : Cho biểu thức A = x 2 4 x x 2 Với x không âm,khác a,Rút gọn A b,Chứng minh A < với x khơng âm,khác c,Tìm x để A số nguyên Câu (5 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a, x 5x 12 x 3x x x y z b, xy yz zx 11 xyz Câu (2 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x 3xy y y yz z z 3zx x Câu (7 điểm) Cho đường tròn O, dây cung BC cố định.Điểm A cung nhỏ BC, A không trùng với B, C điểm cung nhỏ BC.Gọi H hình chiếu A đoạn thẳng BC;E,F thứ tự hình chiếu B C đường kính AA′.Chứng minh rằng: a, Hai tam giác HEF ABC đồng dạng với b, Hai đường thẳng HE AC vng góc với c, Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm cố định A chuyển động cung nhỏ BC Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A,độ dài cạnh huyền 2015 Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách không lớn HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (5 điểm) x4 x x ( x 2) x : Cho biểu thức A = 4 x x 2 x 2 Với x không âm,khác a,Rút gọn A b,Chứng minh A < với x khơng âm,khác c,Tìm x để A số nguyên Giải x x x ( x 2)2 x a) : x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 x 4 x 2 x 2 x 2 x4 x 2 x 4 x 2 x 2 x x4 x 2 x2 x 4 x 2 x 2 x4 x x4 b) Ta giả sử: x 1 x4 x x 1 x x4 Suy 0 0 x4 x4 Vì x 1 x4 0 x đúng, suy điều phải chứng minh Câu (5 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a, x 5x 12 x 3x x Đặt a = x 5x 12 ; b = x 3x => a2 – b2 = 2x +10 => x+5 = Thay vào phương trình ta được: a+b= a2 b2 2(a + b) – (a2 – b2) = (a+b)(2 – a + b) = a + b > nên – (a – b) = hay a – b = Giải ta tìm x = -1; x = a2 b2 x y z b, xy yz zx 11 xyz x y z xy yz zx 11 => z (6 z ) 11 z xy (vì : z 0) z Giải ta có hệ phương trình có nghiệm hốn vị (1;2;3) Câu (2 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x 3xy y y yz z z 3zx x A= 2( x y) xy 2( y z ) yz 2( z x) zx ( x y) = (x + y)2 4 => x 3xy y ≥ (x + y) dấu “=” xảy x = y Tương tự: (y + z) dấu “=” xảy y = z y yz z ≥ z 3zx x ≥ (z + x) dấu “=” xảy z = x Ta có: 2(x + y)2 – xy ≥ 2(x + y)2 - A = x 3xy y y yz z z 3zx x ≥ (x + y + z) = Vậy minA = x = y = z = Câu (7 điểm) Cho đường tròn O, dây cung BC cố định Điểm A cung nhỏ BC, A không trùng với B, C điểm cung nhỏ BC.Gọi H hình chiếu A đoạn thẳng BC; E,F thứ tự hình chiếu B C đường kính AA′.Chứng minh rằng: a, Hai tam giác HEF ABC đồng dạng với b, Hai đường thẳng HE AC vng góc với c, Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm cố định A chuyển động cung nhỏ BC a) Chứng minh: HEF ~ ABC Tứ giác ABHE nội tiếp =>ABH = HEF hay ABC = HEF Tứ giác AHFC nội tiếp =>ACH = AFH hay ACB = EFH Vậy HEF ~ ABC b) Chứng minh: HE AC Ta có: ABC = HEF mà ABC = AA/C (cùng chắn cung AC) nên HEF = AA/C => HE //A/C Do A/C AC nên HE AC c) Ta có: Tứ giác AHFC nội tiếp đt đk AC nên trung trực HF qua trung điểm G AC mà DG // AB nên DG qua trung điểm K BC Tương tự: trung trực JI HE qua trung điểm K BC BC cố định nên K cố định Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF qua trung điểm K cố định A di động cung nhỏ BC Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, độ dài cạnh huyền 2015 Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách khơng lớn Giải: Chia cạnh huyền BC thành 2015 đoạn thẳng Từ điểm chia vẻ đường thẳng song song với hai cạnh AB AC ta 2015 tam giác vng cân có cạnh huyền (2014 + 2013 + …+ 1) hình vng có đường chéo Do tam giác ABC có tất 2015 + (2014x2015)/2 = 2031120 hình (vừa hình vng có đường chéo vừa tam giác vng cân có cạnh huyền 1) Như vây 2031121 điểm tồn hai điểm nằm hình Với hai điểm khoảng cách khơng lớn =//= ... thẳng song song với hai cạnh AB AC ta 2015 tam giác vng cân có cạnh huyền (2014 + 2013 + …+ 1) hình vng có đường chéo Do tam giác ABC có tất 2015 + (2014x2015)/2 = 2031120 hình (vừa hình vng có... cân đỉnh A, độ dài cạnh huyền 2015 Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách khơng lớn Giải: Chia cạnh huyền BC thành 2015 đoạn thẳng Từ điểm chia vẻ