UBND HUYệNYÊNLạC PHòNG GD & đt Đề CHíNH THứC đề thi giao LƯU hsg LớP CấP HUYệN năm học 2014-2015 Môn : Toán Thời gian:120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Cõu 1(2,5 im): Cho biu thc a) (0,75 im) Tỡm iu kin xỏc nh v rỳt gn P b) (0,75 im) Vi x>0 thỡ P khụng nhn nhng giỏ tr no? c) (1,0 im) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P cú giỏ tr nguyờn Cõu 2: (2 im): Cho biu thc Chng minh rng: a) (1,0 im) Nu a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc thỡ M >1 b) (1,0 im) Nu M=1 thỡ hai ba phõn thc ó cho ca biu thc M bng 1, phõn thc cũn li bng -1 Cõu 3(2 im): a) (1,0 im) Cho n l tng ca hai s chớnh phng CMR n2 cng l tng ca hai s chớnh phng b) (1,0 im) Cho a thc A = ax + bx + c Xỏc nh h s b bit rng chia A cho x-1, chia A cho x+1 u cú cựng mt s d Cõu 4(2,5 im): a) (1,0 im) Gi H l hỡnh chiu ca nh B trờn ng chộo AC ca hỡnh ch nht ABCD, M v K theo th t l trung im ca AH v CD Tớnh s o ca gúc BMK b) (1,5 im) Cho tam giỏc ABC nhn trc tõm H, trờn on BH ly im M v trờn trờn on CH ly im N cho CMR AM = AN Cõu 5(1 im): a)(0,5im) Cho a, b, c >0 CMR: b) (0,5 im) Cho a giỏc u gm 1999 cnh Ngi ta sn cỏc nh ca a giỏc bng hai mu xanh v Chng minh rng tn ti ba nh c sn cựng mt mu to thnh mt tam giỏc cõn UBND HUYệNYÊNLạC PHòNG GD & đt HƯớNG DẫN CHấM đề thi giao LƯU hsg LớP năm học 2014-2015 Môn : Toán Cõu 1: a) KX: x b) Ta cú x>0 thỡ => = >0 >0 Vy x>0 thỡ P khụng nhn nhng giỏ tr t -1 n 1, P c) Ta cú P cú giỏ tr nguyờn x-3 U(6) = { T ú tớnh c x{ ( Chỳ ý loi x= - 3) Cõu 2a) Vỡ a,b,c l di ba cnh ca tam giỏc nờn a, b, c>0 v a+b-c>0 ; a+c-b>0; c+b-a>0 t ; ; Ta cn chng minh M =A +B+C> hay (A -1) +(B-1) +(C+1)>0 Ta cú Suy (A -1)+(B-1)+(C+1) = = = = = = = >0 (ỳng) T ú suy M-1 >0 ỳng vỡ a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc hay M >1 b) M =1 M = Ta xột ba trng hp TH1: Nu a-b+c =0 Thỡ A-1=0; B-1= =0; C+1=0; Suy A=1; B=1;C=-1 TH2: Nu b-c+a =0 Thỡ A+1 = 0; C-1= B-1=0; Suy A=-1; B=1;C=1 TH3: Nu c-a+b =0 Thỡ A-1 0; C-1= B+1= 0; Suy A=1; B=- 1;C=1 Nh vy trng hp no cng cú hai ba phõn thc A, B, C bng 1, phõn thc cũn li bng -1 Cõu 3a) t N = a2 + b2 v[is a, b N Khi ú N2=a42a2b2 +b2+4a2b2 =(a2b2)2+(2ab)2 l tng ca hai s chớnh phng b) Gi s A = ax2 + bx + c = (x-1).P +R (1) A = ax2 + bx + c = (x+1).Q +R (2) Cho x=1 thỡ t (1) ta cú: a+b+c=R Cho x=-1 thỡ t (2) ta cú: a-b+c=R Do ú a+b+c=a-b+c 2b=0 => b=0 Cõu 4a : Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vuông góc A BD ; I J thứ tự trung điểm đoạn thẳng DH BC Tính số đo ca góc AIJ Lời giải Từ hình vẽ ( xác ) ta dự đoán góc AIJ = 900.Dựa vào yếu tố trung điểm mà đề cho mà vẽ thêm hình tạo liên kết I J Cách : ( hình 1,2) Vẽ hình phụ khai thác yếu tố trung điểm B A J I H D C B A B A O P J I P H D C Hì nh D J I H C Hì nh (Hỡnh 1) Gọi P trung điểm AH => PI l ng trung bỡnh ca tam giỏc AHD => PI//AD m AD AB hì IP AB P trực tâm ABI Từ tứ giác BPIJ h.b.h , BP // IJ mà BP AI nên JI AI Cõu 4b) Gi P,Q ln lt l chõn ng cao k t B v C Tam giỏc vuụng AMC cú ng cao MP => AM2=AP.AC Tam giỏc vuụng ANB cú ng cao NQ => AN2=AQ.AB Xột tam giỏc APB v AQC cú: Gúc A chung Gúc APB=AQC=90 => tam giỏc ng dng => AP.AC=AQ.AB => AM2=AN2 => AM=AN Cõu 5a) S dng bt ng thc AM-GM vi a,b,c>0, ta cú: p dung BT Cauchy Ta Schwarz cú: Suy Tng t: Tng t: Cng v vi v cỏc BT trờn ta cú: = => PCM Cõu 5b Cho a giỏc u gm 1999 cnh Ngi ta sn cỏc nh ca a giỏc bng mu xanh v Chng minh rng phi tn ti nh c sn cựng mt mu to thnh mt tam giỏc cõn Gii Ta cú a giỏc 1999 cnh nờn cú 1999 nh Do ú phi tn ti nh k l P v Q c sn bi cựng mt mu mu (Theo nguyờn tc Dirichle) Vỡ a giỏc ó cho l a giỏc u cú s nh l, nờn phi tn ti mt nh no ú nm trờn ng trung trc ca on thng PQ Gi s nh ú l A Nu A tụ mu thỡ ta cú tam giỏc APQ l tam giỏc cõn cú nh A, P, Q c tụ cựng mu Nu A tụ mu xanh Lỳc ú gi B v C l cỏc nh khỏc ca a giỏc k vi P v Q Nu c nh B v C c tụ mu xanh thỡ tam giỏc ABC cõn v cú nh cựng tụ mu xanh Nu ngc li, mt hai nh B v C m tụ mu thỡ tam giỏc BPQ hoc tam giỏc CPQ l cỏc tam giỏc cõn cú nh c tụ mu ... => AM2=AP.AC Tam giỏc vuụng ANB cú ng cao NQ => AN2 =AQ.AB Xột tam giỏc APB v AQC cú: Gúc A chung Gúc APB=AQC=90 => tam giỏc ng dng => AP.AC=AQ.AB => AM2 =AN2 => AM =AN Cõu 5a) S dng bt ng thc AM-GM... A, P, Q c tụ cựng mu Nu A tụ mu xanh Lỳc ú gi B v C l cỏc nh khỏc ca a giỏc k vi P v Q Nu c nh B v C c tụ mu xanh thỡ tam giỏc ABC cõn v cú nh cựng tụ mu xanh Nu ngc li, mt hai nh B v C m tụ... cỏc nh ca a giỏc bng hai mu xanh v Chng minh rng tn ti ba nh c sn cựng mt mu to thnh mt tam giỏc cõn UBND HUYệN YÊN LạC PHòNG GD & đt HƯớNG DẫN CHấM đề thi giao LƯU hsg LớP năm học 2014-2015 Môn