De dap an toan thi HSG lop 9 huyen 20122013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/02/2013 (Đề thi gồm 01 trang)  x −2 x +  x2 − 2x + − ÷ Câu 1: (3 điểm) Cho A =  ÷  x −1 x + x +  a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: x − x − x − x − = 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + ( x + y )( x − y ) = 45 c) Giải hệ phương trình:  ( x − y )( x + y ) = 85 Câu : (4 điểm) a) Cho a + b + c = , tính giá trị biểu thức: 1 + 2 + 2 2 b +c −a a + c − b a + b2 − c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số chính phương P= Câu : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N ∈ (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi theo a R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  x 10 y 10  16 Q =  +  + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x  Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu ý a HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ A = − x ( x − 1) A > ⇔ − x ( x − 1) > ⇔ x ( x − 1) < b c  x > (vì x > x − ) ⇔ ⇔ < x − x − x − 0.5đ  x + >   x + x − > 0.25đ x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ x + > x > 0.5đ 0.25đ ⇔   x + < −3  x < −5 Kết luận nghiệm bất phương trình ( x + y )( x − y ) = 45 ( x − y )( x + y ) = 45 (1) ⇔ Biến đổi  ( x − y )( x + y ) = 85 ( x − y )( x + y ) = 85 (2) c a b Từ hệ ta có x – y > Nhân hai vế (1) với 17 nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) ⇔ 4x2 + 17xy + 4y2 = Nếu y = thì x = => không thỏa mãn hệ Nếu y ≠ , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2 đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = (t+4)(4t+1) = t = - hoặc t = - 1/4 x = -4y hoặc y = - 4x thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y) ∈ {(4;-1);(1;-4)} 1 P= 2 + 2 + 2 b +c −a a + c − b a + b2 − c2 1 = 2 + + 2 2 b + c − (b + c) a + c − ( a + c) a + b − ( a + b) 1 a+b+c = + + = =0 (voi : abc ≠ 0) −2bc −2ac −2ab −2abc A = n + n + số chính phương nên A có dạng A = n + n + = k (k ∈ N * ) (dk : abc ≠ 0) 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 1đ 1đ ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23 0.5đ 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔   2k − 2n − = 0.5đ (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k + 2n + = 23 k = ⇔ ⇔  k − 2n − = n = a Vậy với n = thì A số chính phương C ∆ABC = AB+BC+CA M B = AB+BP+PC+CA P = (AB+BM)+(CN+CA) O A (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM C (t/c tt cắt nhau) N = OA2 − OM = a − R Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy P di chuyển cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi C ∆ABC = a − R 0.75đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình - Chứng minh mà hình vẽ hình vẽ sai không công nhận (không có điểm) (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần) = S ∆BIA Trình bày c/m: S ∆BID = S ∆BIC Trình bày c/m: S ∆BIC b 0.5đ A 1.0đ => S ∆BID = S ∆BIA = S ∆ABD 0.5đ Trình bày c/m: S ∆ABD = S ∆ABC => S ∆BID 36 S ∆ABC = =1 36 36 E 0.5đ I B D C Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình - Chứng minh mà hình vẽ hình vẽ sai không công nhận (không có điểm) ĐK: x≠0, y≠0  x 10 y 10  16   + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) +  y x   1  x 10 y 10 =  + + + 1 + ( x 16 + y 16 + + 1) − (1 + x y ) − 2 y x  0.5đ Q= 0.5đ Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:   x 10 y 10  + + + 1 ≥ x y 2 y x  16 ( x + y 16 + + 1) ≥ x y 4 0.25đ 0.25đ => Q ≥ x y + x y − − x y − x y − = − Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = Chú ý: HS giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa 0.5đ 0.5đ ... TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu ý a HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x ≥ 0,... < x + 2x +  2 x − > − x − x − 0.5đ  x + >   x + x − > 0.25đ x2+4x+4 >9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ x + > x > 0.5đ 0.25đ ⇔   x + < −3  x < −5 Kết luận nghiệm... (1) với 17 nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9( x - y)(x2 +y2) ⇔ 4x2 + 17xy + 4y2 = Nếu y = thi x = => không thỏa mãn hệ Nếu y ≠ , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho