HSG Toán cấp huyện toán 9 12 13

PHÒNG GD&ĐT CƯ JÚT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN - LỚP TRƯỜNG THCS PHẠM VĂN ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề ( Đề thi có 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức   2x + x − 2x x + x − x   1 A= − + ÷Với x > 0; x ≠ ; x ≠ ÷ :  1− x x  1+ x x 1− x  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = 17 − 12 c) So sánh A với A Bài 2: (4,0 điểm) Thu gọn biểu thức a) A = + 10 + + − 10 + ( 12   15 + − ÷ − 3−   +1 b) B =  Bài 3: (3,0 điểm) a) Giải phương trình ) + 11 x − 3x + + x + = x − + x + 2x − b) Cho hàm số f(x) = ( x3 + x − ) 2012 Tính f(a),với a = 3 + 17 + 3 − 17 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm M cho MC = Kẻ đường thẳng vuông góc với AC C , cắt tia BM K , kẻ BE ⊥ CK MA a) Chứng minh tứ giác ABEC hình vuông b) Chứng minh : 1 = + 2 AB BM BK c) Biết BM = 6cm Tính cạnh tam giác MCK Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh AC, AB, cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác · BPC.Tính BPE Bài 6: (1,5 điểm) Cho hai số dương a b thỏa mãn a b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = 1 + + a b a+b - Hết - Họ tên thí sinh:………………………… Chữ ký giám thị 1:……………………… Số báo danh Chữ ký giám thị 2:……………………… : ………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)   2x + x − 2x x + x − x     A = − + x > 0;x ≠ ;x ≠ ÷  ÷ ÷:  1− x ÷ x  1+ x x   1− x   x 2x + x −  x − 1+ x  2x + x − x −  = : +  x 1− x 1− x 1+ x 1+ x 1− x + x     x x +1 x −1  x −1  x + x −1  = : + x x −  1− x 1+ x 1+ x 1− x + x      x −1  x = :  x −  + ÷ ÷ x x −   1− x 1− x + x   ( = = ( ) ( ( ) ( )( )( )( ( ) ( ) x −1 x x ( ( ) x −1 ( ) : x −1 : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ( 1− x ) ( 1− ) ( 1− x ) ( 1− x −1 ( 1− x + x + x 1− x : ) x+x ) = ) ) ) ) ) 0.5 0.5 0.25 0.25 x+x 0.25 1− x + x x 0,25 b) Tính giá trị A x = 17 − 12 (1 điểm) ( ( 3− 2 ) = − 2 15− 10 5( 3− 2) = = =5 Tính x = 17 − 12 = 3− 2 A= ( ) 1− 3− 2 + 17 − 12 3− 2 c) So sánh A với A (1 điểm) ) ⇒ x= 3− 2 2 = 3− 2 0.5 3− 2 1− x + x = x+ −1 x x 1 > với x > 0;x ≠ ;x ≠ Chứng minh x + x ⇒A = x+ − 1> 1⇒ A > 1⇒ A − 1> ⇒ A A − > x Biến đổi A = ( ⇒ A − A > 0⇒ A > A Bài (4 điểm) a) A = + 10 + + − 10 + 0.5 ) 0.25 0.25 0.5 ( ) A2 = + 10 + + 64 − 10 + + − 10 + 0.5 = 16 + 64 − 40 − 0.25 = 16 + 24 − 0.25 = 16 + (2 −2 ) 0.5 = 12 + = ( 10 + ) 0.25 ⇒ A = 10 + 0.25 ( 12   15 + − ÷ − 3−   +1 b) B =  ( ) ( ) ( ) + 11 ) 15 − + 12 +   + 11 = + − 2   2 −1 −2 −    = 3 − + + − +  + 11   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( =( = − + + − 12 − )( − 11 ) )( ( ) )( ( ) ) ) + 11 + 11 ( x − 1) ( x − 2) + x + = ( x − 1) ( x − 2) ≥ x− 2+  x + ≥ ⇔ x≥ Điều kiện  x − ≥ ( x − 1) ( x + 3) ≥  ( 1) ⇔ ⇔ ( x− ( )( x − 1− ) ( x − 1− − x + ( x − 1) ( x + 3) ( 1) ) x − 1− =  x − − 1=  x−1= x− − x+ = 0⇔  ⇔ ⇔ x=2  x − − x + =  x − = x − 3 + 17 + 3 − 17 0.25 0.5 0.25 ) x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = b)Từ a= 0.5 0.5 0.25 = − 112 = −115 Bài (3điểm) Giải phương trình a) x2 − 3x + + x + = x − + x2 + 2x − ⇔ 0.5 0.5 0.5 0.25 ⇒ a3 = ( 3 + 17 + 3 − 17 ) 0.25 ⇔ a = + 3 + 17 3 − 17 ( 3 + 17 + 3 − 17 ⇔ a = − 6a ) 0.25 0.25 ⇔ a + 6a − = Vậy : f ( a ) = ( a + 6a − ) 2012 = ( a + 6a − + 1) 2012 = 12012 = 0.25 Bài (8 điểm) A K M 0.5 B C E N a) Ta có ∠A = ∠C = ∠E = 900 AB=AC( Do ∆ ABC vuông cân A) Nên : Tứ giác ABEC hình vuông b) Kẻ đường thẳng vuông góc với BM B cắt EC N Xét ∆ ABM ∆ EBN ta có : ∠ A= ∠ E = 900 AB = BE(cạnh hình vuông ABEC) ∠ ABM = ∠ EBN( phụ ∠ EBM) 0.5 0.25 Vậy ∆ ABM = ∆ EBN (g.c.g) ⇒ BM = BN Áp dụng hệ thức lượng vào ∆ vuông BNK ta có : 1 = + 2 BE BN BK Mà : AB = BE ; BM = BN 1 ⇒ = + 2 AB BM BK MC = ⇒ MA = 3MC ; AB = AC = MC MA Đặt MC = x ⇒ MA = 3x ; AB = 4x Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác vuông ABM 2 AB + AC = BM ⇒ ( x ) + ( 3x ) = 62 c) Từ ⇔ 25 x = 36 ⇔ x = 24 ⇒ MC = (cm); AB = x = = (cm) 5 Vì CK //AB nên ∆ MCK đồng dạng ∆ MAB MK KC CM ⇒ = = = MB AB CA 24 ⇒ MK = 2(cm); KC = : = (cm) 5 0.75 0.25 0.5 0.5 0.75 0.75 0.25 0.25 0.5 0.25 Bài (1,5 điểm ) 0.25 Kẻ EF ⊥ AC F, DG ⊥ BC G Theo giả thiết S( ADPE ) = S( BPC ) ⇒ S( ACE ) = S( BCD ) µ Mà AC = BC ⇒ EF = DG µA = C Suy ∆AEF = ∆CDG ⇒ AE = CG · · Do ∆AEC = ∆CDB (c − g − c) ⇒ DBC = ECA · · · · · ⇒ BPE = PBC + PCB = PCD + PCB = 600 0.5 0.5 0,25 Bài (1,5 điểm) Vì ab=1,a>0,b>0 theo BĐT Côsi ta có : 1 + + a b a+b a+b = + ab a+b a+b  a+b  = + + ÷ a+b  B= a+b =3 a+b a = b a = b = 1( nhan)  = ⇔ a + b ⇔ a = b =1 ⇔ a = b = − 1( loai ) =   a+b 0.25 0.5 0.5 ≥ ab + Bmin Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tương đương Điểm toàn không làm tròn 0.25 ... 0.25 ⇔ a + 6a − = Vậy : f ( a ) = ( a + 6a − ) 2 012 = ( a + 6a − + 1) 2 012 = 120 12 = 0.25 Bài (8 điểm) A K M 0.5 B C E N a) Ta có ∠A = ∠C = ∠E = 90 0 AB=AC( Do ∆ ABC vuông cân A) Nên : Tứ giác ABEC...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2 012- 2 013 MÔN TOÁN LỚP Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)   2x + x − 2x x + x − x ... − 0.25 = 16 + 24 − 0.25 = 16 + (2 −2 ) 0.5 = 12 + = ( 10 + ) 0.25 ⇒ A = 10 + 0.25 ( 12   15 + − ÷ − 3−   +1 b) B =  ( ) ( ) ( ) + 11 ) 15 − + 12 +   + 11 = + − 2   2 −1 −2 −   