HSG toan 9- cap huyen

Së GD&§T thanh hãa Kú thi chän häc sinh giái cÊp hun Phßng GD&§T lang ch¸nh N¨m häc 2010-2011 M«n : to¸n 9 --- Thêi gian lµm bµi 150' I.Ma trËn ®Ị Møc ®é Chđ ®Ị NhËn biÕt Th«ng hiĨu VËn dơng Tỉng tnkq tl tnkq tl tnkq tl Ph©n thøc ®¹i sè 1 3 1 3 C¨n bËc hai. 1 1 4 5,75 5 6,75 H»ng ®¼ng thøc 2 2,5 1 0,75 3 3,25 §êng trßn 3 7 3 7 Tỉng 4 6,5 8 13,5 12 20 II.§Ị bµi Bµi 1: (3 ®iĨm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tư a) 3 4 − x b) 1 −+− xyxxy c) ( )( )( )( ) 356321 ++++− xxxx Bµi 2: ( 4®iĨm) Cho biểu thức : Q = x x x x xx x 1 . 1 2 12 2 +         − − − ++ + với x > 0 và x ≠ 1 a) Rót gän Q b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trò là số nguyên Bµi 3: (3 ®iĨm) a) TÝnh nhanh : 20112010 12010 2 3 + − = A b) Chøng minh r»ng: 12 1000 − chia hÕt cho 3 c) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 1 32 = − − x x Bài 4: (7 điểm) Từ điểm M ở ngoài đờng tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB với (O). Vẽ đờng kính AC, tiếp tuyến tại C của đờng tròn (O) cắt AB ở D. Giao của MO và AB là I. Chứng minh rằng : a) Tứ giác OIDC nội tiếp. b) Tích AB.AD không đổi, khi M di chuyển. c) OD vuông góc với MC. Bài 5: (3 điểm) Cho == =++ =++ c z b y a x cba cba 1 1 222 Chứng minh rằng: 0 =++ xzyzxy III. Đáp án và biểu điểm chấm Câu Nội dung Điểm 1 3 a) 3 4 x = ( ) ( ) ( )( ) 333 22 2 2 2 += xxx 0,75 b) 1 + xyxxy = ( ) ( ) ( )( ) 1.111. +=+ yxxxxyx 0,75 c) ( )( )( )( ) 356321 ++++ xxxx = ( )( ) 356565 22 ++++ xxxx Đặt t = xx 5 2 + ( )( ) 3566 ++ tt = ( )( ) 111 2 += ttt Thay t = xx 5 2 + ( )( ) 1515 22 +++ xxxx 1,5 2 4 a) Q = x x xx x x x 1 . )1)(1( 2 )1( 2 2 + + + + = xx x x x 1 . 1 2 1 2 + + = xxx xx xx xx 1 . )1)(1( )1)(2( )1)(1( )1)(2( + + + + = )1)(1( )22()22( + ++ xxx xxxxxx = )1( 2222 +++ xx xxxxxx = 1 2 )1( 2 = x xx x 0,5 0,5 0,5 0,5 b) Q = 1 2 − x nguyên ⇔ x -1 là ước của 2 ⇔    ±=− ±=− 21 11 x x Do đó x lớn nhất ⇔ x – 1 = 2 ⇔ x = 3 2 3 3 a) 20112010 12010 2 3 + − = A = ( ) ( ) 200912010 120102010 12010201012010 2 2 =−= ++ ++− 1 b) Ta cã 12 1000 − = 1414 500 −−  hay 12 1000 − 3 1 c) §iỊu kiƯn x¸c ®Þnh cđa ph¬ng tr×nh lµ:    >− ≥− 01 032 x x ⇔    > ≥ 1 5,1 x x 5,1 ≥⇔ x 2 1 32 = − − x x 4 1 32 = − − ⇔ x x ( ) 1432 −=−⇔ xx 5,0 12 =⇔ =⇔ x x kh«ng tháa m·n ®iỊu kiƯn 5,1 ≥ x VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiƯm 1 0,25 0,25 0,25 0,25 4 7 - H×nh vÏ ®óng B H C I O D M A 0,5 a) DC lµ tiÕp tun cđa (O) nªn DC ⊥ AC , hay = 90 0 (1) MỈt kh¸c MO ⊥ AB t¹i I ( do ) , hay =90 0 (2) Tõ (1),(2) ⇒ Tø gi¸c OIDC néi tiÕp ®ỵc 1,5 b) Tam gi¸c ACD vu«ng ë C , ®êng cao BC. ¸p dơng hƯ thøc l- ỵng , ta cã: AB.AD=AC 2 :kh«ng ®ỉi (®pcm) 2 c) Ta có: MAO ACD (g-g) CD AO AC MA = mà AO =OC =R Nên CD CO AC MA = Mặt , MAO = OCD = 90 0 MAC OCD (c-g-c) ACM = ODC mà MCD = AMC (do DC//MA) MAC CHD Hay H = MAC 90 0 Tức là OD MC 0,5 1 0,5 0,5 0,5 5 3 == =++ =++ c z b y a x cba cba 1 1 222 Đặt k c z b y a x === ,akx = ,bky = ckz = Khi đó =++ xzyzxy ( ) acbcabkbckackabk ++=++ 2222 Từ ( ) 11 2 =++=++ cbacba hay ( ) acbcabcba +++++ 2 222 =1 ( ) 121 =+++ cba Do đó: ( ) 02 =++ cba Vậy 0 =++ xzyzxy 0,5 1 0,5 0,5 0,5 Giáo viên ra đề: Mai Thị Yến