Đề thi HSG Toán 9 vòng 2

Phòng giáo dục Bình xuyên Kỳ thi học sinh giỏi THCS Vòng 2 năm học 2006-2007 ------------------------- Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán. Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ----------------------------- Câu 1: (Không dùng máy tính) Cho biểu thức: A = 2 168 1 4444 x x xxxx + ++ Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 2: (Không dùng máy tính). Hãy so sánh hai số sau đây: x = + ++ + 322 32 322 32 và y = ++ + 5310 53 5310 53 + Câu3: Cho hệ phơng trình: x- my = 2 - 2m mx + y = 1 + 3m (I) với m là tham số. 1, Giải hệ (I) khi m = 1 2, Gọi (x 0 , y 0 ) là nghiệm của hệ (I). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x 0 2 + y 0 2 - 2 x 0 khi m thay đổi. Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lợt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng: 1, Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình vuông. 2, Nếu tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình vuông. Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh bất đẳng thức sau: ++ cba ab +bc + ca Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng giáo dục Bình xuyên Kỳ thi học sinh giỏi THCS Vòng 2 năm học 2006-2007 ------------------------- Hớng dẫn chấm thi Môn: Toán. ----------------------------- Câu ý Nội dung Điểm 1 A = 2 2 168 44444444 x xx xxxx + +++++ = x x xx x x xx 4 2424 ) 4 ( )24()24( 2 22 ++ = ++ . Điều kiện: 0 0 4 04 x x x x x > 4 Trờng hợp 1: Nếu 4 x -2 0 4 < x 8. Khi đó: A = 4 4 4 4224 = ++ x x x x xx Trờng hợp 2: Nếu 4 x -2 > 0 x > 8. Khi đó: A = 4 2 4 2424 = ++ x x x x xx . *Xét A = 4 4 x x = 4 + 4 16 x với x Z ta thấy A Z 84 164 x x = = = 44 24 14 x x x = = = 8 6 5 x x x *Xét A = 4 2 x x và x Z . Trớc hết, nếu 4 x là số vô tỉ thì A 2 cũng là số vô tỉ nên không thỏa mãn, do đó 4 x = q p với p,q Z + và (p; q) = 1. Khi đó A = k p q q p Z p q q p q p q p =++= + 8 2 8 2 )4(2 2 2 (k Z) 2p 2 +8q 2 = kpq. Từ đó ta thấy 2p 2 chia hết cho q mà (p,q) =1 q 2 = = 2 1 q q . Tơng tự ta cũng có: 8q 2 chia hết cho p mà (p,q) =1 p 8 p = 1; 2; 4; 8. Vì (p,q) = 1 nên chỉ cần thử các tình huống: + q =2 và p = 1 thì x không phải là số nguyên. + q =1 mà x > 8 nên p = 4; 8 thỏa mãn. Khi đó x = 20; 68 Vậy A Z khi x = 5; 6; 8; 20; 26. 2 Rút gọn x: + ++ + = + ++ + == 2 2 )13(2 )13( 3242 324 3242 324 2 2 2 x x + 2 2 )13(2 )13( = 132 )13( 2 ++ + + )13(2 )13( 2 + = )13(3 )13( 2 + + + )13(3 )13( 2 = 3 13 + + 2 2 2 2 3 13 === x Rút gọn y: 2 y = ++ + 52620 53 52620 53 + 153 53 153 53 )15(52 53 )15(52 53 22 + + = + ++ + = = 11 26 11 6 44 24 )153)(153( )153)(53()153)(53( === + ++ y So sánh 11 26 < 2 y < x. 2 3 1, 2, Khi m =1 hệ trở thành = = =+ = 2 2 4 0 y x yx yx Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 2) Do (x 0 ; y 0 ) là nghiệm của hệ phơng trình nên ta có hệ: 2 B A C D M N P Q ( ) ( ) +=+ = )2(211 )1(211 00 00 myxm mmyx Bình phơng hai vế của (1) cộng từng vế với bình phơng hai vế của (2) ta đợc [ ] [ ] =++ 2 00 2 00 )1()1( yxmmyx (1- 2m) 2 + (1+ 2m) 2 (m 2 + 1) [ ] 22 0 )1( yx + 2 82 m+= (x 0 -1) 2 + y 2 0 = 1 28 2 2 + + m m mà A = x 2 0 + y 2 0 - 2x 0 A = (x 0 -1 ) 2 + y 2 0 1. Vậy A = 1 28 2 2 + + m m - 1 = 1 17 2 2 + + m m A = 1 6)1(7 2 2 + + m m = 7 - 1 6 2 + m . Để A min 1 6 2 + m lớn nhất m 2 + 1 nhỏ nhất. Mặt khác m 2 + 1 1. Dấu = khi m = 0. Vậy (m 2 + 1) min = 1 A = 1 khi m = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 1 khi m = 0 khi đó ( x 0 ; y 0 )=(2;1). 4 1, 2, Tứ giác ABCD là hình vuông AB = BC = CD =DA AM + MB = BN + NC = CP + PD = DQ + QA (do AM = BN = CP = DQ). Tam giác vuông AQM = Tam giác vuông BNM = Tam giác vuông CPN = Tam giác vuông DQP(c-g-c) suy ra MQ = NM = PN = QP (1) và =+ = o MNBNMB MNBQMA 90 Suy ra )2(90 90 oo NMQNMBMNBNMBQMA ==+=+ Từ (1) và (2) Tứ giác MNPQ là hình vuông. 3 2 1 Tứ giác MNPQ là hình vuông Tứ giác ABCD là hình vuông. Ta chỉ cần chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật là đủ (vì với điều kiện AM = BN = CP = DQ và MNPQ là hình vuông ta suy ra tứ giác ABCD là hình vuông). Giả sử tứ giác ABCD không là hình chữ nhật Trong 4 góc của tứ giác có ít nhất 1 góc tù, giả sử góc A > 90 0 Hạ QH vuông góc với AB H nằm ngoài đoạn AM. (do gócA > 90 0 ) AM < MH (3) Hạ NK vuông góc với AB, ta thấy tam giác vuông HMQ = Tam giác vuông KNM Do MQ = NM và góc HMQ = góc KNM (cùng phụ với góc KMN) HM = KN, mà MH > AM (theo (3)) KN BN Do đó AM < BN (vô lí do giả thiết AM = BN) Vậy điều giả sử sai Tứ giác ABCD là hình chữ nhật Tứ giác ABCD là hình vuông. 5 ++ cba ab +bc + ca ++ cba 222 2ab +2bc + 2ca a 2 + ++++ ccbba 222 22 a 2 + b 2 +c 2 +2ab +2bc + 2ca a 2 + ++++ ccbba 222 22 (a + b + c) 2 = 9 (*) áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: aaaaaaaaa 3 .32 3 222 =++=+ Tơng tự, ta cũng có: bbb 32 2 =+ ; ccc 32 2 =+ Do đó a 2 + ++++ ccbba 222 22 3.(a + b + c) =3.3= 9 Vậy là (*) đợc chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. 1 ---------------------Hết------------------ A B C D H KM Q N . ccbba 22 2 22 a 2 + b 2 +c 2 +2ab +2bc + 2ca a 2 + ++++ ccbba 22 2 22 (a + b + c) 2 = 9 (*) áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: aaaaaaaaa 3 . 32 3 22 2 =++=+. = 20 ; 68 Vậy A Z khi x = 5; 6; 8; 20 ; 26 . 2 Rút gọn x: + ++ + = + ++ + == 2 2 )13 (2 )13( 324 2 324 324 2 324 2 2 2 x x + 2 2 )13 (2 )13( = 1 32 )13( 2