Các bài toán ĐS 9 cực hay, Trong các đề thi HSG các cấp Huyện - Tỉnh.: x-x.

Tổng Hợp Một số Bài toán hay trong các kỳ thi học sinh giỏiToán lớp 9 Cấp Huyện và Tỉnh. BÀI 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức sau : K = x 1420 + x 408 + x 55 + x 45 + x 35 +x 25 +x 15 + x 5 + 2000 X Hướng dẫn giải Thật vậy ta phân tích k thành tổng của 2008 số với cùng mẫu số x ( với x > 0 ), rồi Áp dụng Bất Đẳng Thức Cô Si cho 2008 số không âm ta có : 1420 408 55 45 35 25 15 5 1420 408 55 45 35 25 15 5 2008 2008 2008 2008 1 1 1 . ( 0) 1 1 1 2008. . . . . . . . . . . 2008. (min) 2008 1. x x x x x x x x K x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x K x x x x x x x x x x x x K K x x = + + + + + + + + + + + > ≥ ≥ → = ⇔ = Bài 2: Cho biết : 2 2 ( 5)( 5) 5x x y y+ + + + = . (*) Tính giá trị của biểu thức: Q = 2009 2009 2008 2008 2008 x y x y + + + . Hướng dẫn giải. Từ (*) Ta lần lượt nhân hai vế với lượng liên hợp của hằng đẳng hiệu hai bình phương ta có hệ pt sau : -5(y + 2 5y + ) =5( x - 2 5x + ) (1) -5(x + 2 5x + ) = 5 (y - 2 5y + ) (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta có :10 (x + y) = 0  (x + y ) = 0 . (**) Từ ( ** ) và Q ta có : Q= 2009 2009 2008 2007 2006 2 2008 2008 2008 ( )( . ) 0.( . ) 0x y x y x x y x y y x y+ = + − + − + = − = Giá trị : Q = 0 tại : x = - y . Bài 3: Cho x,y,z không âm thỏa mãn : x + y + z =9 . Tính giá trị nhỏ nhất ( min ) của biểu thức : B = xy + yz +zx . Hướng dẫn giải . Áp dụng bất đẳng thức Bu Nhi KôpxKy ta có : B 2 = (xy + yz + zx ) 2 ≤ (x 2 + y 2 + z 2 )(x 2 + y 2 +z 2 ) . Mà : (x 2 + y 2 + z 2 ) = (x +y + z ) 2 -2xy – 2yz – 2zx ≥ 0 .(***) B 2 ≤ (x 2 + y 2 + z 2 )(x 2 + y 2 +z 2 ) = [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 9 2( ) 81 2( ) 81 2( ) 81 2( ) 2( ) 81 81 3( ) 81 27. 3 x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx B xy yz zx B xy yz zx B xy yz zx xy yz zx B xy yz zx     + + − − − = − + +     = − + + → ≤ − + + → ≤ − + + → + + + ≤ → + + ≤ → = + + ≤ ≤ B (min) = 27 Khi và chỉ khi:x/y = y/z = z/x và x + y + z = 9 x = y = z = 3 ./. Bài 4 : CMR : a 3 + b 3 + c 3 ≥ a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab . ( với a ,b c không âm ) Hướng dẫn giải . (*) Ta c/m được : X 3 + y 3 ≥ xy ( x + y ) => X 3 + y 3 – xy ( x + y ) ≥ 0 ( x + y ) ( x 2 – xy + y 2 ) – xy ( x + y ) ≥ 0 ( x + y )( x + y ) 2 ≥ 0 , với mọi x , y ∈ N . Nên ta có : a 3 + b 3 ≥ ab ( a + b) (1) b 3 + c 3 ≥ bc ( b + c ) ( 2 ) c 3 + a 3 ≥ ca ( c + a ) (3 ) * Cộng vế theo vế của 3 Bpt (1), (2) và (3) ta có : 2 (a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ ab (a +b ) + bc(b +c) +ca ( c + a ) . = a 2 b +ab 2 + b 2 c + bc 2 + c 2 a + ca 2 = a 2 (b + c) + b 2 ( a + c ) + c 2 ( a + b ) . (**) Ta c/m được : a + b ≥ 2 ab ( a , b là 2 số không âm ) . Nên ta có : C 2 (a + b ) ≥ 2c 2 ab . ( 4 ) + a 2 ( b + c ) ≥ 2a 2 bc ( 5) b 2 (a + c ) ≥ 2b 2 ac ( 6 ) * Cộng vế theo vế các bất pt ( 4 ) , ( 5 ) và ( 6 ) ta có : a 2 ( b + c ) + b 2 (a + c ) + C 2 (a + b ) ≥ 2 (a 2 bc +b 2 ac + c 2 ab )  2 ( a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ 2 (a 2 bc +b 2 ac + c 2 ab )  ( a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ (a 2 bc +b 2 ac + c 2 ab )  ( Đây là điều phải chứng minh ) ./. Bài tâp vận dụng : Bài 1 : cho các số thực : a 1 , a 2 ,a 3 , … , a 2008 . thỏa mãn đẳng thức : a 1 + a 2 + a 3 + … + a 2008 = 1. CMR : a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + … +a 2 2008 ≥ 1 2008 . Bài 2 : Cho : a.b.c = 1 . CMR : 1 1 1 1 a b c ab a bc b ac c + + = + + + + + + ./. Người thực hiện : Xuân Xuân . Tổng Hợp Một số Bài toán hay trong các kỳ thi học sinh giỏiToán lớp 9 Cấp Huyện và Tỉnh. BÀI 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức sau : K = x 1420. có : Q= 20 09 20 09 2008 2007 2006 2 2008 2008 2008 ( )( ... ) 0.( ... ) 0x y x y x x y x y y x y+ = + − + − + = − = Giá trị : Q = 0 tại : x = - y . Bài 3: