UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Khóa ngày 06/11/2011 ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Bài (2 điểm) Có hay khơng số tự nhiên m n thỏa mãn đẳng thức sau: ×( m − n ) ( m + n ) 1 + (−1) m + n = 2011 Bài (3 điểm) a Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a = b = c b Chứng minh rằng: Nếu 1 1 1 + + = a + b + c = abc + + = a b c a b c Bài (5,0 điểm) a Thực rút gọn biểu thức A = 94 − 42 − 94 + 42 2 b Cho biểu thức M = a2 + ÷ − 8 a + ÷ + 48 Hãy rút gọn, tìm giá trị nhỏ M a a Bài (5,0 điểm) a Giải phương trình x + x3 ( x − 1) = 2− 3x x −1 b Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x + y + z + = x − + y − + z − Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC, Gọi M trung điểm BC Một góc xMy 60 quay quanh điểm M cho hai cạnh Mx, My ln cắt cạnh AB, AC D E Chứng minh: a) BD.CE = BC2 · · b) DM, EM tia phân giác BDE CED c) Chu vi tam giác ADE khơng đổi -Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 9, HUYỆN GIỒNG RIỀNG Bài (2 điểm) Đặt A = (m − n)(m + n) 1 + ( −1) m + n * Nếu m = n m – n = ; vế trái A = ≠ 2011, nên khơng khơng xảy * Nếu m ≠ n : + Khi m n chẵn: Ta có m – n = 2k ; m + n = 2l ( với k ; l ∈ ¥ ) ⇒ A= ( ( −1) 2k.2l.[1 + ( − 1)2k] = 2kl ≠ 2011 2k ) =1 + Khi m chẵn, n lẻ: Thì m + n = 2k + (tương tự m lẻ, n chẵn) ⇒ [1 + ( − 1)2k +1] = ⇒ A ≠ 2011 ∙ Vậy khơng có hai số tự nhiên m n để thỏa mãn đẳng thức Bài (3 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a = b = c Từ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca ⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = a − b = ⇔ b − c = 0( tổ ng cá c bình phương bằ ng ⇔ Tấ t cảcá c sốbằ ng khô ng) c− a = ⇔a=b=c 1 b) Từ giả thiết + + = a b c 1 1 1 1 1 ⇒ + + ÷ = ⇔ + + + + + ÷= a b c ab bc ac a b c 1 1 1 a + b+ c + + + × ÷ = ⇔ + + + 2.1 = ( a + b + c = abc ) a b c a b c abc 1 ⇔ + + =2 a b c ⇔ Bài (5 điểm) a) A = 94 − 42 − 94 + 42 = ( −3 5) − ( +3 5) 2 = 7−3 − 7+3 = − − − = −6 b) M = a2 + ÷ − 8 a + ÷ + 48 Hãy rút gọn, tìm giá trị nhỏ M ? a ĐK: a ≠ a M = 2 2 2 a + ÷ − − a + ÷ + 48 a a 2 = 2 2 a + ÷ − 16 a + ÷ + 64 a a 2 4 2 = a + ÷ − 8 = a + ÷ − = a + + − = a − + a a a a 2 2 2 = a − ÷ = a − ÷ a a 2 a − ÷ ≥ a ÷ ÷ 2 M = a − ÷ ≥ "=" ⇔ a − = ⇔ a = ± ÷ a a Min M =0 ⇔ a =± ( thõa điều kiện a ≠ ) Bài (5 điểm) a) Giải phương trình: x3 + x3 ( x − 1) = 2− 3x x −1 (ĐK: x ≠ 1) x x2 x2 x2 ÷ ⇔ x + + = − 3× ÷ x − x −1 x − ( x − 1) ÷ x −1 Mà x + x2 (*) ( x − 1) x x x x2 − x + x x2 = x + Đặt ÷ − 2x × t = x + = = x −1 x −1 x −1 x −1 x−1 (*) ⇔ t(t2 – 2t – t) = – 3t ⇔ t3 – 3t2 + 3t – = ⇔ (t – 1)3 = ⇔ t – = ⇔ t = Do x2 = ⇒ x − 2x + = ⇔ ( x − 1) = −1 ⇔ x ∈ ∅ x −1 Vậy phương trình vơ nghiệm b) Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x + y + z + = x − + y − + z − (**) điều kiện: x ≥ ; y ≥ ; z ≥ (**) ⇔ (x − 2) − x − + 1 + (y − 3) − y − + + (z − 5) − z − + = ⇔ ( ) ( x − −1 + y−3 −2 ) +( z−5 −3 ) =0 x − −1 = x =3 ⇔ y − − = ⇔ y = (thõa điều kiện) z = 14 z − − = Bài (5 điểm) ¶ = 120Ο − M ¶ a/ Trong ∆BDM ta có D 1 A ¶ = 60Ο ⇒ M ¶ = 120Ο − M ¶ Vì M X ¶ =M ¶ ⇒D Chứng minh ∆BMD Y E ∆CEM (1) BD CM = ⇔ BD.CE = BM.CM BM CE BC BC2 BM = CM = Vì Nên BD.CE = BD MD = b) Từ (1) ⇒ Mà BM = CM CM EM BD MD µ =M ¶ = 60Ο = Nên : ⇒ B BM CM ⇒ ∆BMD ∆MED (c – g – c ) D ⇒ B 2 M C ¶ =D ¶ , DM tia phân giác · ⇒D BDE Chứng minh tương tự: ∆CME ∆MDE (c – g – c ) A µ =E ¶ , EM tia phân giác CED · ⇒E c) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh: DH = DI ; EI = EK Chu vi ∆ADE AD + AE + DE = AD + AE + DI + IE = AD + DH + AE + EK = AH + AK · = 2AH ( Do M thuộc tia phân giác BAC ) Mà M cố định nên AH khơng đổi Vậy Chu vi ∆ADE khơng đổi E I D H K C B M ... giác · ⇒D BDE Chứng minh tương tự: ∆CME ∆MDE (c – g – c ) A µ =E ¶ , EM tia phân giác CED · ⇒E c) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh: DH = DI ; EI = EK Chu vi ∆ADE AD + AE + DE = AD... + + + 2.1 = ( a + b + c = abc ) a b c a b c abc 1 ⇔ + + =2 a b c ⇔ Bài (5 điểm) a) A = 94 − 42 − 94 + 42 = ( −3 5) − ( +3 5) 2 = 7−3 − 7+3 = − − − = −6 b) M = a2 + ÷ − 8 a + ÷ + 48... EK = AH + AK · = 2AH ( Do M thuộc tia phân giác BAC ) Mà M cố định nên AH khơng đổi Vậy Chu vi ∆ADE khơng đổi E I D H K C B M