Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 9

ĐỀ 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian: 180 phút Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số: 13 23 +−= xxy (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 03 23 =−−−= kkxxxy (1) Câu 2: (4 điểm) a) Chứng minh rằng: 2cos +≥+ xxe x với 0 ≥∀ x b) Tìm m để pt sau có nghiệm: 1224 211 22 −+−=− ++− mxx xmxx Câu 3: (5 điểm) a) Tính: ∫       + + + 2 0 sin1 sin1 )cos1( ln π dx x x x b) Tìm Zx ∈ thoả mãn ∫ −= x xtdt 0 12cossin c) Cho các số dương a, b, c, d thoả mãn:      +=+ +=+ 2005200520052005 2004200420042004 dcba dcba Chứng minh rằng: 2006200620062006 dcba +=+ Câu 4: (3,5 điểm) Cho elíp: 1 2 2 2 2 =+ b y a x (E) và Hypebol: 1 2 2 2 2 =+ n y m x (H) (với a, b, m, n > 0) có cùng chung tiêu điểm F 1 và F 2 : Chứng minh rằng tiếp tuyến của (E) và (H) tại giao điểm của chúng vuông góc với nhau. Câu 5: (4,5 điểm) Cho tứ diện đều ABCD, gọi (C) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Điểm M ∈ (C), gọi A 1 , B 1 , C 1 , D 1 lần lượt là hình chiếu của M trên các mặt phẳng (BCD); (ACD); (ABD); (ABC). a) Tìm vị trí điểm M ∈ (C) sao cho tổng: S = MA 1 + MB 1 + MC 1 + MD 1 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. b) Chứng minh rằng tồn tại điểm M ∈ (C) để 4 điểm A 1 , B 1 , C 1 , D 1 không đồng phẳng: . ĐỀ 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian: 180 phút Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số: 13 23 +−= xxy (C) a). pt sau có nghiệm: 122 4 211 22 −+−=− ++− mxx xmxx Câu 3: (5 điểm) a) Tính: ∫       + + + 2 0 sin1 sin1 )cos1( ln π dx x x x b) Tìm Zx ∈ thoả mãn ∫ −= x xtdt 0 12cossin c) Cho các số. tuyến của (E) và (H) tại giao điểm của chúng vuông góc với nhau. Câu 5: (4,5 điểm) Cho tứ diện đều ABCD, gọi (C) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Điểm M ∈ (C), gọi A 1 , B 1 , C 1 , D 1