Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 11

ĐỀ 11 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian: 180 phút Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y = mx mmxmmx + +4+)1+(+ 322 1. Với m = -1. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,0đ). b, Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất (2đ). 2. Tìm m để đồ thị hàm số có tương ứng một điểm cực trị thuộc góc phần tư (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư (IV) của mặt phẳng toạ độ (2,0đ). Câu 2: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: Sin 3 x + Cos 3 x = 2 - Sin 4 x (1,0đ) 2. Cho k, l, m là độ dài các đường trung tuyến của  ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp  đó: CMR: k + l + m ≤ 2 9R (2,0đ). Câu 3: (3,0 điểm): Cho (E): 2 2 a x + 2 2 b y = 1 Hình chữ nhật Q gọi là hình chữ nhật ngoại tiếp với E nếu mỗi cạnh của Q đều tiếp xúc với E. Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp với E. Hãy xác định: 1. Hình chữ nhật có S min (1,0đ). 2. Hình chữ nhật có S max (1,0đ). Câu 4: (4,0 điểm) 1. Cho a, b là hai số dương khác nhau. người ta lập 2 dãy số {u n } và {v n }, bằng cách đặt: u 1 = a; v 1 = b ; u n+1 = 2 + nn vu v n+1 = nn vu . (n = 1, 2, 3, ) C/m Lim n  + ∞ U n = Lim n  + ∞ V n (2,0đ) 2. Cho m > 0 a, b, c thoả mãn: 2+m a + 1+m b + m c = 0 CMR phương trình: ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm x ∈ (0,1) (2,0đ). Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là một điểm di động trong không gian sao cho M nhìn AB và AD dưới một góc vuông, gọi O là tâm của hình vuông. 1. Chứng minh M luôn luôn di động trên một đường tròn ξ cố định (1,0đ). 2. α là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Kéo dài DM cắt α tại N. CM góc ANB vuông (1,0đ). 3. Đặt DM = x. Tính MN theo a và x. Tìm miền biến thiên của x, từ đó suy ra điều kiện của hằng số k để tồn tại x thoả mãn MN = k (1,0đ). 4. Tìm giá trị lớn nhất của V ABND (1,0đ). -Hết- . ĐỀ 11 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian: 180 phút Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y = mx mmxmmx + +4+)1+(+ 322 1. Với m = -1 . a, Khảo sát sự biến thi n và vẽ. theo a và x. Tìm miền biến thi n của x, từ đó suy ra điều kiện của hằng số k để tồn tại x thoả mãn MN = k (1,0đ). 4. Tìm giá trị lớn nhất của V ABND (1,0đ). -Hết- . (E): 2 2 a x + 2 2 b y = 1 Hình chữ nhật Q gọi là hình chữ nhật ngoại tiếp với E nếu mỗi cạnh của Q đều tiếp xúc với E. Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp với E. Hãy xác định: 1. Hình chữ