HSG Toán cấp huyện toán 8 2008 2009

Đỗ Văn Lâm - Giáo viên trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Đáp án kỳ thi HSG cấp huyện Năm học: 2008 - 2009 Chú ý: Đáp án mang tính tham khảo 6x + + 3x3 3x Câu1 Cho biểu thức: A = 3x + 3x 3x + 3x + 3x a, Rút gọn biểu thức A x 3x +) ĐKXĐ: x 3 3x + 3x3 3x 3x 6x + 3x +) A = + 3x ( 3x 2)(3x + 3x + 4) 3x + 3x + + 3x 3x 3x 3x 6x + 3x + 3x 3x + 3x + 3x( 3x 1) ( 3x 1) = = + 3x + 3x 3x 3x + 3x + 3x 3x + 3x + ( )( ) ( )( ) ( 3x 1)( 3x 1)( 3x + 1) = ( 3x 1) = 3x b, A = ( ( 3x 1)(3x 1) + 3x 3x ) = (( 3x A Z = 3x 3x 2) + 3x ) 3x + 3x 2 = ( 3x 2)2 + 2( 3x 2) + 3x x = 3x = 3x Ư(1) 3x = x = = 3x + 3x Câu2 Với n chẵn CMR: A = 20n + 16n - 3n - 323 Vì n chẵn n = 2k (k N*) Do 323 = 17.19 (17; 19) = A 323 A 17 A 19 +) Chứng minh A 17 Thật A = 400k + 256k + 9k - 9k + 1k - 9k - 1(mod 17) (mod 17) A 17 +) Chứng minh A 19 Thật A = 400k + 256k + 9k - 1k + 9k - 9k - 1(mod 19) (mod 19) A 19 A 17.19 A 323 hay 20n + 16n - 3n - 323 (với n chẵn) Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n +30 6n 6(n2 + 11n +30) 6n 6n(n + 11) + 180 6n 180 6n 30 n n Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10;15;30} +) Thử lại: n = 1; 3; 10; 30 thoả m n điều kiện toán Câu3 Tìm giá trị lớn nhỏ của: y = x + x với (1 x 5) a, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có y2 = (3 x + x )2 (32 +42)[( x )2 +( x )2] y2 25(x - + - x) = 52.22 y 10 x 5x 61 Max y =10 = x= 25 b, Xác định giá trị nhỏ nhất: y = 9(x - 1) +16(5 -x) + 24 (x 1)(5 x) = 71 - 7x +24 (x 1)(5 x) mặt khác: x - 35 - 7x -7 71 - 35 71 - 7x 71 - (do (x 1)(5 x) 0) 71 - 35 71 - 7x +24 (x 1)(5 x) 71 - +71 - 7x +24 (x 1)(5 x) y2 71 - 35 = 36 y Vậy Min y = x = x + y + xy = + x + y + xy = + Câu4 Giải hệ phơng trình: 2 x + y = (x + y) 2xy = Đặt S = x +y, P = xy (S2 4P) Đỗ Văn Lâm - Giáo viên trờng THCS TT Tân Uyên S + = + S2 +2S = + + (S +1)2 = 11 + (S+1)2 = (3 + )2 S + = S = + 2; P = 2 x = 2; y = x + y = + S = 2; P = + (loại S < 4P) x = 2; y = xy = 2 Kết luận: Hệ đ cho có hai nghiệm: ( ; 2) (2; ) 1 1 1 Chứng minh rằng: + (a 1; b 1) + 2 2 1+ a 1+ b + ab + a + ab + b + ab + ab a + ab b a(b a)(1 + b ) + b(a b)(1 + a ) + (1 + a )(1 + ab) (1 + b )(1 + ab) (1 + a )(1 + ab) (a b)(a ab + b + ba ) (a b)(ab(b a) (b a) (a b)2 (ab 1) 0 (1 + a )(1 + ab) (1 + a )(1 + ab) (1 + a )(1 + ab) (Luông với a 1; b 1) (đpcm) M Câu Cho đờng tròn tiếp xúc với hai canh Ox, Oy góc xOy lần lợt A B Từ điểm A vẽ đờng thẳng song song với OB cắt đờng tròn điểm thứ hai C Tia OC cắt đờng tròn E Hai đờng thẳng AE OB cắt K K a, Chứng minh OK = KB EB CB b, Chứng minh = EA CA c, Gọi a, b, c theo thứ tự khoảng cách từ C O đến AB, OB, OA CMR a = b.c B b I D E H a C c C/M A N a, +) Xét BKE AKB (có K chung; A = B2 (cùng chắn cung BE)) BKE AKB (g.g) BK KE = KB2 = KE.KA (1) AK KB +) Xét OKE AKO (có K chung; O1 = A1 (vì: O1 = C1 (so le trong); A1 = C1 chắn cung AE) OK KE OKE AKO (g.g) = KO2 = KE.KA (2) KA KO Từ (1) (2) KO = KB OB EB = (1) b, +) Xét OEB OBC có O chung; OBE = OCB OEB OBC (g.g) OC BC OA EA +) Xét OEA OAC có O chung; OAE = OCA OEA OAC (g.g) = (2) OC AC +) Mặt khác OA = OB(T/chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3) EB EA EB CB Từ (1) , (2) (3) = = (đpcm) BC AC EA CA c, Gọi M, N, H lần lợt hình chiếu C lên OB, OA, AB Tứ giác BMCH nội tiếp đờng tròn đờng kính BC HBC = HMC = CAN (*) Tơng tự tứ giác ANCH tứ giác nội tiếp CHN = CAN (**) Từ (*) (**) CMH = CHN (1') Tơng tự: Tứ giác BMCH nội tiếp đờng tròn đờng kính BC MBC = MHC = BAC Tứ giác BMCH nội tiếp đờng tròn đờng kính BC BAC = HCN CM CH MHC = HNC (2') Từ (1') (2') CMH CHN(g.g) = CH CN CH2 = CM.CN a2 = b.c (đpcm)