đề chọn hsg toán 8-2008

Sở giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Tỉnh ninh bình năm học 2007 - 2008 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Câu 1 ( 4,0 điểm) Cho các số dơng: a; b và x = 1 2 2 + b ab . Xét biểu thức P = b xaxa xaxa 3 1 + ++ ++ 1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P. 2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2 (3,0 điểm) Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau: = = = xzz zyy yxx 3623 2423 223 3 3 3 Câu 3 ( 4,0 điểm) Với mỗi số nguyên dơng n 2008, đặt S n = a n +b n , với a = 2 53 + ; b = 2 53 . 1. Chứng minh rằng với n 1 ta có S n + 2 = (a + b)( a n + 1 +b n + 1 ) ab(a n +b n ) 2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, S n là số nguyên. 3. Chứng minh S n 2 = 2 2 15 2 15 + nn . Tìm tất cả các số n để S n 2 là số chính phơng. Câu 4 (6,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đờng tròn (O 1 ) đờng kính AE và đờng tròn (O 2 ) đờng kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đờng tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O 1 ) và N là tiếp điểm thuộc (O 2 ). 1. Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đờng thẳng EF vuông góc với đờng thẳng AB. 2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB. Đờng thẳng MN cắt đ- ờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Câu 5 ( 2,5 điểm) Để lựa chọn học sinh khối lớp 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham dự kiểm tra đánh giá chất lợng học kỳ 1 năm học 2007-2008, với tổng số 99 học sinh đợc các thày giáo, cô giáo lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra có: 50 học sinh giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ văn; 48 học sinh giỏi Tiếng Anh; 25 học sinh giỏi cả Toán và Ngữ văn; 22 học sinh giỏi cả Toán và Tiếng Anh; 15 học sinh giỏi cả Ngữ văn và Tiếng Anh; 6 học sinh không giỏi bất cứ môn nào trong các môn trên. Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh. ------------- Hết------------- Họ và tên thí sinh : Số báo danh . Chữ kí giám thị 1 Chữ kí giám thị 2 hớng dẫn chấm thi môn toán kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2007-2008 đề thi chính thức Câu 1. (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm 1. (2,75 điểm) Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1) Xét a x = 0 1 )1( 2 2 + b ba (2) Ta có a + x > a x 0 0 + xaxa (3) Từ (1); (2); (3) P xác định Rút gọn: Ta có: a + x = 1 )1( 1 2 2 2 2 + + = + + b ba b ab a 1 )1( 2 + +=+ b a bxa a - x = 1 )1( 1 2 2 2 2 + = + b ba b ab a 1 1 2 + = b a bxa P = bbb bb b b a b b a b b a b b a b 3 1 11 11 3 1 11 1 )1( 1 1 1 )1( 22 22 + + ++ =+ + + + + + + + Nếu 0 < b < 1 P = bbb 3 4 3 1 2 2 =+ Nếu b 1 P = b b b b 3 13 3 1 2 + =+ 2. (1,25 điểm) Xét 2 trờng hợp: Nếu 0 < b < 1, a dơng tuỳ ý thì P = b3 4 P 3 4 Nếu b 1 , a dơng tuỳ ý thì P = 3 2 3 1 33 1 b b b b b + +=+ Ta có: 3 2 3 1 3 + b b , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 Mặt khác: 3 2 3 2 b , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 Vậy P 3 4 3 2 3 2 =+ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 KL: Giá trị nhỏ nhất của P = 3 4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm Biến đổi tơng đơng hệ ta có =+ =+ =+ )2(3)1)(2( )2(2)1)(2( 2)1)(2( 2 2 2 xzz zyy yxx Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1) 2 (y+1) 2 (z+1) 2 = - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) (x - 2)(y - 2) (z - 2) [ ] 6)1()1()1( 222 ++++ zyx = 0 (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0 x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2 Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho 1,00 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 Câu 3 (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm 1. (0,75 điểm) Với n 1 thì S n + 2 = a n+2 + b n+2 (1) Mặt khác: (a + b)( a n + 1 +b n + 1 ) ab(a n +b n ) = a n+2 + b n+2 (2) Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh 2. (1,75 điểm) Ta có: S 1 = 3; S 2 = 7 Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n 1 thì S n+2 = 3S n+1 - S n Do S 1 , S 2 Z nên S 3 Z; do S 2 , S 3 Z nên S 4 Z Tiếp tục quá trình trên ta đợc S 5 ; S 6 ; .; S 2008 Z 3. (1,5 điểm) Ta có S n 2 = 2 2 1 2 5 2 1 2 5 22 + + nn = n nn + + + 2 15 2 15 2 2 15 2 15 22 = 2 2 15 2 15 + nn đpcm Đặt a 1 = 2 15 + ; b 1 = 2 15 a 1 + b 1 = 5 ; a 1 b 1 = 1 Xét U n = nn ba 11 + Với n 1 thì U n+2 = (a 1 + b 1 )(a 1 n+1 + b 1 n + 1 ) a 1 b 1 (a 1 n + b 1 n ) U n+2 = 5 U n+1 U n Ta có T 1 = 1 Z; T 2 = 5 Z; T 3 = 4 Z; T 4 = 3 5 Z; . Tiếp tục quá trình trên ta đợc T n nguyên n lẻ Vậy S n 2 là số chính phơng n = 2k+1 với k Z và 0 k 1003 0,25 0,25 0,25 0,50 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4 (6,5 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm . đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Tỉnh ninh bình năm học 2007 - 2008 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi. lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra có: 50 học sinh giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ văn; 48 học sinh giỏi Tiếng Anh; 25 học sinh giỏi cả Toán và Ngữ văn;