Website:tailieumontoan.com ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2014 Câu (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức A x (1 x)3 (1 x)3 x2 với 1 x 2 b) Cho a b số thỏa mãn a b a a b ab 6b Tính giá trị biểu thức B a 4b b 4a Câu (2 điểm) a) 2 Giải phương trình x ( x 2) x x x3 x y y 2y x b) Giải hệ phương trình Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x , y thỏa mãn phương trình xy xy x 32 y 2 b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a a 3b b Chứng minh 2a 2b số phương Câu (3 điểm) O, R H điểm di động Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đoạn OA ( H khác A ) Đường thẳng qua H vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB · · a) Chứng minh HKM AMH O, R A B cắt tiếp tuyến M O, R lần b) Các tiếp tuyến lượt D E OD , OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C 4ab 9ac 4bc a 2b a 4c b c Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Hết -LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2014 Câu (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức x (1 x)3 (1 x)3 A x2 với 1 x 2 b) Cho a b số thỏa mãn a b a a b ab 6b Tính giá trị biểu thức B a 4b b 4a Lời giải: A x2 x2 1 2x x2 a) x x x2 1 x2 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 x x 2 2 b) a a b ab 6b (a 2b)(a ab 3b ) (*) 2 Vì a b a ab 3b nên từ (*) ta có a 2 b Vậy biểu thức B a 4b 16b 4b b 4a b 64b 12b 4 B 63b 21 Câu (2 điểm) a) 2 Giải phương trình x ( x 2) x x x3 x y y 2y x b) Giải hệ phương trình Lời giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com t x 2x t x 2x a) Đặt x2 x2 2 t2 t 4 t2 t t 2t t ta phương trình x x x x 4 4 2 x 2x 2 x x 16 Với t ta có x x x x x x x2 4 2 x 2x x x2 t 2 Với ta có x x x 1 Kết luận nghiệm phương trình x (2 y x) y (2 x y ) ( x y ) xy x y b) Từ hệ ta có x y ( x y )3 ( x y ) x y x ; y * Với x y ta tìm 0; ; x ; y * Với x -y ta tìm Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y 0; ; 3; ; 3; 3; ; 3; 0; ; 1; 1 ; 1;1 ; 1; 1 ; 1;1 Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x , y thỏa mãn phương trình xy xy x 32 y 2 b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a a 3b b Chứng minh 2a 2b số phương Lời giải: 2 a) xy xy x 32 y x( y 1) 32 y Do y nguyên dương y 1 x 32 y ( y 1) 2 Vì ( y , y 1) ( y 1) U (32) 2 mà 32 ( y 1) ( y 1) (Do ( y 1) ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 *Nếu ( y 1) y 1; x *Nếu ( y 1) y 3; x Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: x y 1 x y 2 * b) 2a a 3b b ( a b)(2a 2b 1) b a b, 2a 2b 1 ( d ¥ * ) Thì Gọi d ước chung (a b)Md a b 2a 2b 1 Md (2a 2b 1)Md b Md bMd Mà ( a b)Md a Md (2a 2b)Md , mà (2a 2b 1)Md 1Md d Do a b, 2a 2b 1 Từ * ta a b 2a 2b số phương 2a 2b số phương Câu (3 điểm) O, R H điểm di Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn động đoạn OA ( H khác A ) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB · · a) Chứng minh HKM AMH O, R A B cắt tiếp tuyến M O, R b) Các tiếp tuyến D E OD , OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Lời giải: O, R Ta có Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax µA O µ 1 1 2 sđ ¼ AM 1 Có Ax / / MH (cùng vng góc với OA ) ¶ µA1 M 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TON HC Website:tailieumontoan.com ả ẳ MHOK ni tip O1 K1 (cùng chắn MH ) Tứ giác Từ 1 ; ; 3 3 ¶ 1K ¶ M · · 1 ta có hay HKM AMH b) Có tứ giác AOMD nội tiếp 4 µA O ả O 1 ẳ ẳ sđ BM ; sđ BM µ G µ D ả D ả àA1 O 1 tứ giác AMGO nội tiếp 5 , 5 ta có điểm A, D, M , G, O nằm Từ ng trũn D ả D ả G OGF ODE đồng dạng OG GF OD DE hay OD.GF OG.DE ' c) Trên đoạn MC lấy điểm A cho ' MA' MA AMA ¶ 600 BAA' · µA1 A MAB A ' AC MB A ' C MA MB MC Chu vi tam giác MAB MA MB AB MC AB R AB Đẳng thức xảy MC đường kính O, R M điểm cung AM H trung điểm đoạn AO Vậy giá trị lớn chu vi tam giác MAB R AB Gọi I giao điểm AO BC AI AB R AB R 2 Giá trị lớn chu vi tam giác MAB R AB = (2 3)R Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 4ab 9ac 4bc a 2b a 4c b c TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải: Từ gt : 2ab 6bc 2ac 7abc a, b, c abc 0 7 c a b Chia hai vế cho x, y , z 1 x , y ,z 2 z x y a b c đặt Khi C C 4ab 9ac 4bc a 2b a 4c b c x y x z y z 2x y 4x z y z (2 x y x z y z ) 2x y 4x z yz 2 x 2y 4x z y z 17 17 x 2y 4x z y z x , y z 1 Khi C Vậy GTNN C a 2; b 1; c Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com Hết -LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2 014 Câu (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức x (1 x)3 (1 x)3 A x2 với 1 x 2 b)... 1;1 Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x , y thỏa mãn phương trình xy xy x 32 y 2 b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a a 3b b Chứng minh 2a 2b số phương Lời giải: 2 a) xy... Website:tailieumontoan.com Lời giải: Từ gt : 2ab 6bc 2ac 7abc a, b, c abc 0 7 c a b Chia hai vế cho x, y , z 1 x , y ,z 2 z x y a b c đặt Khi C C 4ab 9ac 4bc