109 HSG 14 HAI DUONG NGUYEN VAN TUAN

Website:tailieumontoan.com ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2014 Câu (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức A    x (1  x)3  (1  x)3    x2 với 1  x  2 b) Cho a b số thỏa mãn a  b  a  a b  ab  6b  Tính giá trị biểu thức B a  4b b  4a Câu (2 điểm) a) 2 Giải phương trình x ( x  2)   x x   x3  x  y  y  2y  x b) Giải hệ phương trình  Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x , y thỏa mãn phương trình xy  xy  x  32 y 2 b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a  a  3b  b Chứng minh 2a  2b  số phương Câu (3 điểm)  O, R  H điểm di động Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đoạn OA ( H khác A ) Đường thẳng qua H vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB · · a) Chứng minh HKM  AMH  O, R  A B cắt tiếp tuyến M  O, R  lần b) Các tiếp tuyến lượt D E OD , OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF  OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Câu (1 điểm) Cho a, b, c   số thực dương thỏa mãn 2ab  6bc  2ac  7abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C 4ab 9ac 4bc   a  2b a  4c b  c Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Hết -LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2014 Câu (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức    x (1  x)3  (1  x)3 A    x2 với 1  x  2 b) Cho a b số thỏa mãn a  b  a  a b  ab  6b  Tính giá trị biểu thức B a  4b b  4a Lời giải: A   x2     x2  1  2x    x2 a)    x   x   x2 1 x2 =   1 x  1 x 1 x  1 x     1  x2    1 x  x 2 2 b) a  a b  ab  6b   (a  2b)(a  ab  3b )  (*) 2 Vì a  b   a  ab  3b  nên từ (*) ta có a    2 b   Vậy biểu thức B a  4b 16b  4b  b  4a b  64b 12b 4 B  63b 21 Câu (2 điểm) a) 2 Giải phương trình x ( x  2)   x x   x3  x  y  y  2y  x b) Giải hệ phương trình  Lời giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com t  x 2x   t   x  2x a) Đặt  x2  x2  2  t2 t  4 t2   t  t  2t     t  ta phương trình  x  x  x x   4    4 2  x  2x   2  x  x   16 Với t   ta có x    x x   x  x  x x2      4 2  x  2x   x  x2      t  2  Với ta có  x   x  x   1 Kết luận nghiệm phương trình x (2 y  x)  y (2 x  y )  ( x  y )  xy  x  y   b) Từ hệ ta có x  y  ( x  y )3 ( x  y )    x  y  x ; y  * Với x  y ta tìm  0;  ;  x ; y  * Với x  -y ta tìm Vậy hệ phương trình có nghiệm  x ; y   0;  ;  3;  ;  3;   3;  ;  3;    0;  ;  1; 1 ;  1;1  ;  1; 1 ;  1;1 Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x , y thỏa mãn phương trình xy  xy  x  32 y 2 b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a  a  3b  b Chứng minh 2a  2b  số phương Lời giải: 2 a) xy  xy  x  32 y  x( y  1)  32 y Do y nguyên dương  y 1   x  32 y ( y  1) 2 Vì ( y , y  1)   ( y  1)  U (32) 2 mà 32   ( y  1)  ( y  1)  (Do ( y  1)  ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 *Nếu ( y  1)   y  1; x  *Nếu ( y  1)   y  3; x  Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: x   y 1 x   y  2  * b) 2a  a  3b  b  ( a  b)(2a  2b  1)  b  a  b, 2a  2b  1 ( d  ¥ * ) Thì Gọi d ước chung (a  b)Md   a  b   2a  2b  1 Md  (2a  2b  1)Md  b Md  bMd Mà ( a  b)Md  a Md  (2a  2b)Md , mà (2a  2b  1)Md  1Md  d  Do a  b, 2a  2b  1  Từ  * ta a  b 2a  2b  số phương  2a  2b  số phương Câu (3 điểm)  O, R  H điểm di Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn động đoạn OA ( H khác A ) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB · · a) Chứng minh HKM  AMH  O, R  A B cắt tiếp tuyến M  O, R  b) Các tiếp tuyến D E OD , OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF  OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Lời giải:  O, R  Ta có Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax µA  O µ 1 1 2 sđ ¼ AM  1 Có Ax / / MH (cùng vng góc với OA ) ¶  µA1  M  2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TON HC Website:tailieumontoan.com ả ẳ MHOK ni tip O1  K1 (cùng chắn MH ) Tứ giác Từ  1 ;   ;  3  3 ¶ 1K ¶ M · · 1 ta có hay HKM  AMH b) Có tứ giác AOMD nội tiếp  4 µA  O ả O 1 ẳ ẳ sđ BM ; sđ BM µ G µ D ả D ả àA1 O 1 tứ giác AMGO nội tiếp  5   ,  5 ta có điểm A, D, M , G, O nằm Từ ng trũn D ả D ả G  OGF ODE đồng dạng  OG GF  OD DE hay OD.GF  OG.DE ' c) Trên đoạn MC lấy điểm A cho ' MA'  MA  AMA  ¶  600  BAA' ·  µA1  A   MAB  A ' AC  MB  A ' C  MA  MB  MC Chu vi tam giác MAB MA  MB  AB  MC  AB  R  AB Đẳng thức xảy MC đường kính  O, R   M điểm cung AM  H trung điểm đoạn AO Vậy giá trị lớn chu vi tam giác MAB R  AB Gọi I giao điểm AO BC  AI  AB R  AB  R 2 Giá trị lớn chu vi tam giác MAB R  AB = (2  3)R Câu (1 điểm) Cho a, b, c   số thực dương thỏa mãn 2ab  6bc  2ac  7abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 4ab 9ac 4bc   a  2b a  4c b  c TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải: Từ gt : 2ab  6bc  2ac  7abc a, b, c  abc  0     7 c a b Chia hai vế cho  x, y , z  1 x  , y  ,z    2 z  x  y  a b c đặt Khi C  C 4ab 9ac 4bc      a  2b a  4c b  c x  y x  z y  z  2x  y   4x  z   y  z  (2 x  y  x  z  y  z ) 2x  y 4x  z yz 2         x  2y     4x  z     y  z   17  17  x  2y   4x  z    y  z    x  , y  z 1 Khi C  Vậy GTNN C a  2; b  1; c  Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com Hết -LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2 014 Câu (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức    x (1  x)3  (1  x)3 A    x2 với 1  x  2 b)... 1;1 Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x , y thỏa mãn phương trình xy  xy  x  32 y 2 b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a  a  3b  b Chứng minh 2a  2b  số phương Lời giải: 2 a) xy... Website:tailieumontoan.com Lời giải: Từ gt : 2ab  6bc  2ac  7abc a, b, c  abc  0     7 c a b Chia hai vế cho  x, y , z  1 x  , y  ,z    2 z  x  y  a b c đặt Khi C  C 4ab 9ac 4bc 