Luận văn thạc sỹ đại lượng xấp xỉ tốt nhất của toán tử đường chéo

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM TRƯỜNG GIANG ĐẠI LƯỢNG XẤP XỈ TỐT NHẤT CỦA TOÁN TỬ ĐƯỜNG CHÉO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN KIÊN Thái Nguyên – 2022 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.2 Không gian dãy số 1.3 Đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng 16 M σn toán tử đường chéo TλM : ℓM p → ℓq 18 2.1 Toán tử đường chéo xấp xỉ tốt n số hạng 18 2.2 Trường hợp ≤ p ≤ q ≤ ∞ 20 2.3 Trường hợp ≤ q < p ≤ ∞ σn toán tử đường chéo Tλ : ℓp → ℓq 23 27 3.1 Toán tử đường chéo từ ℓp vào ℓq 27 3.2 σn toán tử đường chéo Tλ : ℓp → ℓq 28 Ứng dụng số toán sơ cấp liên quan 35 4.1 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 35 4.2 Giới hạn σn 39 Kết luận 48 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Văn Kiên, Trường Đại học Giao thông Vận tải Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn, người tận tình bảo, giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả suốt trình nghiên cứu thực luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy Cơ Khoa Tốn-Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên truyền đạt kiến thức giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập Trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Lộc Bình, Lạng Sơn tồn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln giúp đỡ động viên tơi thời gian học tập trình hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2022 Tác giả Phạm Trường Giang Mở đầu Trong năm gần phương pháp xấp xỉ phi tuyến phương pháp số xây dựng từ xấp xỉ cho hiệu suất cao so sánh với phương pháp tuyến tính truyền thống Trong ba thập kỷ gần đây, có thành công lớn việc nghiên cứu phép xấp xỉ phi tuyến với nhiều ứng dụng thực tế phân tích số, xử lý hình ảnh, thống kê học thiết kế mạng nơ-ron Độc giả quan tâm đến phương pháp xấp xỉ phi tuyến, trình phát triển ứng dụng phương pháp tham khảo tài liệu [6, 7, 8] Gọi X, Y không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ T tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Gọi D tập đếm Y , D gọi từ điển Với x ∈ X cho trước, xét thuật toán xấp xỉ T x tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử có từ điển Sai số phép xấp xỉ σn (T x, D) := inf (aj )n ⊂C, j=1 (yj )n ⊂D j=1 n X aj yj , T x − j=1 Y n ∈ N Ta muốn xấp xỉ tất phần tử hình cầu đơn vị đóng X phần tử D Khi đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng toán tử T cho σn (T ; D) := sup x∈X,kxkX ≤1 σn (T x, D), n ∈ N Cho ℓp , ≤ p ≤ ∞, không gian số thực với chuẩn a = (ai )i∈N cho  !1/p ∞  X   |ai |p ≤ p < ∞ kakℓp = i=1    kak = sup |a | p = ∞ ℓ∞ i∈N i Với ≤ p, q ≤ ∞ dãy số dương không tăng λ = (λk )k∈N , xét tốn tử tuyến tính đường chéo Tλ := (ξk )k∈N 7→ (λk ξk )k∈N từ ℓp vào ℓq E = {ek : k ∈ N} ek = (δk,j )j∈N δk,j ký hiệu delta Kronecker Chúng ta quan tâm đến giá trị xác σn (Tλ , E) Kết theo hướng MỞ ĐẦU đưa Stepanets [23] trường hợp p = q với điều kiện limk→∞ λk = Sau kết [23] Stepanets tổng quát lên cho trường hợp ≤ p ≤ q < ∞ [24] trường hợp ≤ q < p < ∞ [25, Định lý 6.1] Cách tiếp cận Stepanets [24, 25] chưa xem xét cho trường hợp p q vô Trong điều kiện limk→∞ λk = cách tiếp cận khác, Gensun Lixin [10] thu giá trị xác σn (Tλ , E) trường hợp p = q Trong trường hợp không gian dãy hữu hạn chiều ℓM p với chuẩn p véc tơ u = (u1 , , uM ) ∈ RM cho kukp := kukℓM = p  n    X i=1    max |ui |p !1/p p < ∞ |ui | p = ∞ i=1, ,n M toán tử đường chéo TλM từ ℓM p vào ℓq xác định TλM : (x1 , x2 , , xM ) 7→ (λ1 x1 , λ2 x2 , , λM xM ) M với λ = (λj )M j=1 , giá trị xác đại lượng σn (Tλ , EM ) sở tiêu chuẩn EM RM thu Gao, xem [9] Trong báo gần hai tác giả Nguyễn Văn Kiên Nguyễn Văn Dũng [19] tổng quát hóa kết Gao [9] cho toán tử đường chéo từ ℓp vào ℓq xem xét tất trường hợp ≤ p, q ≤ ∞ Gần đây, xấp xỉ giải số tốn có số chiều có kích cỡ lớn ngày quan tâm chúng ứng dụng nhiều lĩnh vực cơng nghệ thơng tin, tài chính, tốn, hóa học, học lượng tử, khí tượng học Một phương pháp số để giải tốn kích cỡ lớn có độ phức tạp tính tốn tăng theo hàm mũ số chiều yêu cầu độ xác tính tốn tăng lên thuật tốn trở nên không khả thi Hiện tượng gọi “thảm họa số chiều” Để nghiên cứu tính khả thi thuật tốn tốn có kích cỡ số chiều lớn, việc đánh giá phụ thuộc sai số tường minh theo số chiều tốn đóng vai trị trung tâm, xem [20, 21] Việc nghiên cứu giá trị xác đại lượng đại lượng xấp xỉ nói chung đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng tốn tử chéo từ khơng gian ℓp vào ℓq đóng vai trị quan trọng tốn xấp xỉ, đặc biệt toán xấp xỉ hàm khơng gian Sobolev mà số chiều kích cỡ toán lớn Chẳng hạn báo Dinh Dũng, Ullrich [5], Chernov, Dinh Dũng [2]; Cobos, Kă uhn, Sickel [3, 4]; Krieg [12]; Kă uhn [13]; Kă uhn, Mayer, Ullrich [14]; and Kă uhn, Sickel, Ullrich [15, 16, 17], Nguyen, Nguyen, Sickel [18]; Nguyen, Nguyen [19] tác giả dựa vào đại lượng xấp xỉ tốn tử chéo từ khơng gian ℓp vào ℓq để đánh giá sai số phương pháp xấp xỉ tương ứng hàm không gian Sobolev số tiệm cận đại lượng MỞ ĐẦU Ở muốn nhấn mạnh việc nghiên cứu số tiệm cận sai số xấp xỉ sở để đánh giá đại lượng tường minh theo số chiều tốn Bên cạnh đó, việc giảng dạy mơn Tốn trường Trung học phổ thông, việc nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng từ không gian ℓp vào ℓq mặt củng cố kiến thức bản, tính cht ca cỏc dóy s nh bt ng thc Hăolder, bất đẳng thức chuẩn kakq ≤ kakp với a = (ai )i∈N ≤ p ≤ q ≤ ∞ Mặt khác việc nghiên cứu giúp cho tác giả hiểu sâu tính chất dãy số tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dãy số để từ áp dụng vào giải tốn khó dãy số Mục đích đề tài luận văn Mục đích luận văn trình bày nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt n số M hạng tốn tử đường chéo từ khơng gian ℓM p hữu hạn chiều sang không gian ℓq Đồng thời luận văn xem xét nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng toán tử đường chéo không gian vô hạn chiều từ ℓp vào ℓq Từ kết luận văn ứng dụng vào giải số toán sơ cấp liên quan Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Nội dung luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho nghiên cứu chương sau khơng gian tuyến tính, tốn tử tuyến tính, đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng tính chất đại lượng Nội dung luận văn nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng M toán tử đường chéo từ không gian ℓM p sang không gian ℓq Trong nội dung này, đưa giá trị xác đại lượng σn (TλM , EM ) dựa cách tiếp cận Gao [9] Cụ thể ≤ p ≤ q < ∞ σn (TλM , EM ) (m − n)1/q = max  1/p n n cho ∗ (m − n)1/q (m + − n)1/q ≤ m m+1 P P −p 1/p 1/p ( λ−p ) λk ) k k=1 k=1 Trong trường hợp ≤ p < q ≤ ∞ dãy  ∞ P k=1 pq/p−q λk hội tụ, ta có  1q − p1 p ∞ pq  X  (n∗ − n) p−q p−q   σn (Tλ , E) =  P + λ n∗ k  q p−q k=n +1 ( λ−p ) ∗ k , k=1 n∗ số nguyên lớn m > n cho (m − n)λ−p m ≤ m X λ−p k k=1 Các kết trình bày dựa báo [19] Nội dung cuối luận văn ứng dụng kết chương trước để giải số toán sơ cấp liên quan Trước hết áp dụng kết đạt để chứng minh số bất đẳng thức, chẳng hạn  X M k=n+1 aqk 1/q 1/p−1/q X 1/p  1/q  M p p p 1/q−1/p 1− n ak , ≤ q q k=1 a1 ≥ a2 ≥ ≥ aM > ≤ p < q ≤ ∞ Tiếp theo chúng tơi tìm cơng thức hội tụ σn (Tλ , E) trường hợp dãy λn giảm không theo công thức n−s (log n)β với s > β ≥ Cụ thể giả sử tồn số C > cho λn −s n→∞ n (ln n)β lim =C MỞ ĐẦU Khi ≤ p ≤ q ≤ ∞ ta có lim n→∞ σn (Tλ , E) ≤ q < p < ∞ s > lim n→∞ n−s− p + q (ln n)β q − p σn (Tλ , E) 1 = (s + 1 − 1q )s+ p − q p p C (s + p1 )s qq p n−s− p + q (ln n)β =  s s+ p s  s+ q p − q  1q − p1 C Cấu trúc luận văn chia thành chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa khơng gian tuyến tính định chuẩn, số khái niệm khơng gian tuyến tính định chuẩn chuẩn tương đương, không gian đầy đủ, sở đếm được, Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng tốn tử tuyến tính tính chất đại lượng M Chương σn toán tử đường chéo TλM : ℓM p → ℓq Chương nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng toán tử đường chéo từ không gian hữu hạn M M chiều ℓM p vào khơng gian ℓq với từ điển sở tắc R Chúng đưa giá trị xác đại lượng trình chứng minh dựa cách tiếp cận Gao [9] Do cách tiếp cận khác nhau, để nghiên cứu chia toán làm hai trường hợp ≤ p ≤ q ≤ ∞ ≤ q < p ≤ ∞ Chương σn toán tử đường chéo Tλ : ℓp → ℓq Chương mở rộng kết Chương vào nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng toán tử đường chéo không gian vô hạn chiều từ ℓp vào ℓq sở tắc Chương Ứng dụng số toán sơ cấp liên quan Trong chương đưa số ứng dụng kết đạt Chương Chương để chứng minh số bất đẳng thức liên quan đến dãy số Trong chương chúng tơi xem xét số tốn giới hạn đại lượng xấp xỉ tốt Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa khơng gian tuyến tính định chuẩn, số khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn chuẩn tương đương, khơng gian đầy đủ, sở đếm được, [22] Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm đại lượng xấp xỉ tốt n số hạng toán tử tuyến tính tính chất đại lượng [1] 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta nói X khơng gian tuyến tính trường số K (thường xét K = R C), với x, y ∈ X xác định hai phép toán: cộng véctơ x + y nhân véctơ với số thuộc trường K: αx thỏa mãn tiên đề sau: i) Giao hoán x + y = y + x (∀x, y ∈ X); ( x + (y + z) = (x + y) + z ii) Kết hợp ; α(βx) = (αβ)x (∀x, y, z ∈ X; ∀α, β ∈ K) ( (α + β)x = αx + βx iii) Phân phối α(x + y) = αx + αy (∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K) iv) Tồn phần tử không: ∃ θ ∈ X ∀x ∈ X : x + θ = θ + x = x; v) Tồn phần tử đối: ∀x ∈ X ∃(−x) ∈ X : x + (−x) = θ; vi) 1.x = x Dễ thấy phần tử khơng phần tử đối Ví dụ 1.2 i) X = R với phép cộng phép nhân ; 1.1 KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN ii) X = RM , M ∈ N với phép cộng nhân với số thực sau: Giả sử x = (x1 , , xM ); y = (y1 , , yM ) Khi x + y = (x1 + y1 , , xM + yM ), αx = (αx1 , , αxM ) Định nghĩa 1.3 Ta nói hệ {xi }ni=1 khơng gian tuyến tính định chuẩn đẳng n P thức αi xi = θ xảy αi = với i = 1, n Hệ {xi }ni=1 phụ thuộc i=1 tuyến tính khơng độc lập tuyến tính Hệ vơ hạn phần tử {xα }α∈∆ gọi độc lập tuyến tính hệ hữu hạn độc lập tuyến tính Ta nói khơng gian tuyến tính X có số chiều n (dimX = n) nếu: i) Tồn hệ n véctơ độc lập tuyến tính X ii) Mọi hệ (n + 1) véctơ X phụ thuộc tuyến tính Mọi hệ n véctơ độc lập tuyến tính khơng gian n-chiều gọi sở khơng gian ˜ khơng gian tuyến tính X gọi khơng gian Định nghĩa 1.4 Tập X ˜ kín phép cộng véctơ phép nhân véctơ với số, tức X, X ˜ ∀α, β ∈ R ⇒ αx + βy ∈ X ˜ ∀x, y ∈ X; Ví dụ 1.5 i) {θ}, X hai không gian tầm thường X ˜ = {λx : λ ∈ R} Dễ ii) Cho x 6= θ phần tử bất kì, cố định X Xét tập X ˜ không gian X dim X ˜ = thấy X Định nghĩa 1.6 Cho X khơng gian tuyến tính Ta nói X khơng gian tuyến tính định chuẩn, với x ∈ X xác định số, gọi chuẩn x (ký hiệu kxkX ) thỏa mãn ba tiên đề sau: i) Xác định dương ∀x ∈ X, kxkX ≥ Đẳng thức xảy x = θ ii) Thuần dương ∀x ∈ X; ∀λ ∈ R : kλxkX = |λ|kxkX Nếu X xác định trường C |λ| mođun số phức λ ∈ C iii) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X : kx + ykX ≤ kxkX + kykX Định nghĩa 1.7 Khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach  Thật vậy, fπ(i) λπ(i) cách thứ tự khơng giảm {|fi λi |}, ta có fπ(i) λπ(i) ≥ fπ(M −n) λπ(M −n) (2.3) 2.2 TRƯỜNG HỢP ≤ P ≤ Q ≤ ∞ 21 với M − n < i ≤ M Giả sử với M − n < i0 ≤ M ta có