Luận văn thạc sỹ toán về một số hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU THỦY VỀ MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU THỦY VỀ MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Nguyên An THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Hệ với định thức khác không 1.2 Sử dụng tính chất nghiệm đa thức 1.3 Sử dụng công thức nội suy 1.4 Sử dụng ma trận, định thức đặc biệt 10 1.5 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp hệ 11 1.6 Hệ với yếu tố thực tế 13 Chương Hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính 20 2.1 Một số hệ phương pháp giải 20 2.1.1 Hệ phương trình đối xứng 20 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại hai x y 23 2.1.3 Hệ có yếu tố đẳng cấp 25 2.1.4 Hệ có hai phương trình bán đẳng cấp bậc hai 25 2.1.5 Hệ đẳng cấp phận 27 2.1.6 Hệ bậc hai tổng quát 30 ii 2.2 Ứng dụng hệ không tuyến tính 33 2.2.1 Giải phương trình 33 2.2.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 35 2.3 Ứng dụng đại số máy tính 35 2.3.1 Thứ tự từ sở Groebner 35 2.3.2 Giải hệ phương trình 39 KẾT LUẬN 49 Tài liệu tham khảo 49 iii MỞ ĐẦU Giải hệ phương trình tốn cổ điển có nhiều ứng dụng toán học đời sống Hệ phương trình có nhiều dạng phương pháp giải khác Đây dạng toán thường gặp kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh đại học Luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình đa thức: hệ phương trình tuyến tính, hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính Cụ thể, luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình tuyến tính đặc biệt sử dụng cơng cụ ma trận, định thức số phương pháp đặc biệt để giải Hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính tốn khó, bên cạnh việc giới thiệu phương pháp tổng quát để giải công cụ Đại số máy tính, luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình đa thức đặc biệt giải công cụ sơ cấp Luận văn chia làm hai chương Chương giới thiệu hệ phương trình tuyến tính Luận văn khơng lặp lại Đại số tuyến tính thơng thường mà giới thiệu nhiều dạng hệ phương trình tuyến tính "khơng mẫu mực” Hệ phương trình tuyến tính tốn có lời giải trọn vẹn có nhiều ứng dụng thực tế Chương luận văn trình bày hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính Luận văn phân tích số dạng hệ giải công cụ sơ cấp Nhiều ví dụ phân tích kỹ nhằm giúp người đọc có cơng cụ sáng tác tốn Để tìm hiểu hệ tổng quát người ta phải dùng đến cơng cụ Đại số máy tính, Hình học đại số Luận văn phân tích việc sử dụng sở Groebner để giải số lớp hệ có hữu hạn nghiệm Nhằm giảm tải nội dung trình bày luận văn khơng sâu phân tích lý thuyết sở Groebner mà hướng người đọc đến việc sử dụng máy tính để tính tốn việc hướng dẫn sử dụng phần mềm CocoA Maple Trong suốt q trình làm luận văn, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Ngun An Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, giáo sư trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị bạn bè đồng nghiệp lớp Cao học Toán K9B2 ln giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017, Trần Thị Thu Thủy Chương Hệ phương trình tuyến tính Trong chương luận văn giới thiệu số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính đặc biệt Kiến thức tổng hợp giải hệ phương trình tuyến tính tham khảo [2] Trong suốt luận văn ta giả thiết K trường 1.1 Hệ với định thức khác không Ta ý số kiến thức chuẩn bị sau: Cho A ∈ M atn (K), A = (aij ), n P vết ma trận A aii , ký hiệu tr(A) i=1 Định nghĩa 1.1.1 Cho ma trận vuông A cấp n K Số λ ∈ K gọi giá trị riêng A tồn vectơ x ∈ Kn x 6= cho Ax = λx Khi đó, vectơ x gọi vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ Định nghĩa 1.1.2 Cho ma trận vuông A cấp n K Đa thức det (A − λI) gọi đa thức đặc trưng A ký hiệu PA (λ) Phương trình PA (λ) = gọi phương trình đặc trưng A Chú ý 1.1.3 (i) λ giá trị riêng ⇔ AX = λX ⇔ (A − λI) X = có nghiệm X 6= ⇔ |A − λX| = a11 a12  a21 a22 (ii) Cho A =   an1 an2   a1n a2n    ann PA (X) = |A − XI| a11 − X a12 a1n a21 a22 − X a2n = an1 an2 ann − X = (a11 − X) (ann − X) + ldots = (−1)n X n + bn−1 X n−1 + + b1 X + b0 Khi λ giá trị riêng A ⇔ λ nghiêm PA (X) (iii) Nếu PA (X) = có n nghiệm λ1 , , λn tr(A) = Qn i=1 n P i=1 λi λi |A| = (iv) Nếu λ giá trị riêng A λn gia trị riêng An (v) Giả sử f (x) = an xn + + a1 x + a0 ∈ K [x] Khi f (A) = an An + + a1 A + a0 I đa thức ma trận A Nếu λ gia trị riêng A f (λ) giá riêng f (A) Ví dụ 1.1.4 Cho aij số nguyên, giải hệ phương trình    x1 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn =   n    x2 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = n       an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = xn n   Giải Đặt A = (aij ) ∈ Mn (Z) Hệ cho tương đương với A − I X = Ta có n A ma trận với hệ số nguyên nên đa thức đặc trưng p(t) A đa thức định chuẩn (hệ số cao 1) với hệ số nguyên Do p(t) khơng thể có nghiệm 1   hữu tỷ không nguyên Suy p 6= 0, nghĩa det A − I 6= Như vậy, hệ n n phương trình có nghiệm tầm thường Ví dụ 1.1.5 Giải hệ phương trình sau:  x1 x +2x2 + +2017x2017 = 2017    1 2 x1 +2 x2 + +2017 x2017 = 2017 x2   x +22017 x + +20172017 x 1 2017 = 2017 x2017 Giải Viết hệ phương trình cho dạng Ax = Giả sử det (A − I ) 2017 2017 1 x ⇔ (A − I2017 )x = 2017 2017 = Điều chứng tỏ λ = 2017 giá trị riêng A Vì đa thức đặc trưng A PA (t) = (−1)n tn + (−1)n−1 Tr(A)tn−1 + + det A ∈ Z[t] đa thức nhận λ = 2017 lý chứng tỏ (A −  det     x =    nghiệm Từ suy 2017 ước (−1)n Vô I ) 2017 2017 6= 0, hệ phương trình cho có nghiệm Ví dụ 1.1.6 Cho A = [aij ] ∈ Mn (R) thỏa mãn A2 = A Hãy giải hệ phương trình  a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = −x1    11 a12 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = −x2   a x + a x + · · · + a x = −x n1 n2 nn n n Giải Hệ cho tương đương với  (a + 1)x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn =    11 a12 x1 + (a22 + 1)x2 + · · · + a2n xn =   a x + a x + · · · + (a + 1)x = n1 n2 nn n Ma trận hệ số hệ phương trình có dạng M = A + I Ta có M (A − 2I) = (A + In )(A − 2In ) = A2 − A − 2In = −2In Suy det(M ) 6= 0, nghĩa M khả nghịch Do hệ cho có nghiệm tầm thường Chú ý Bài toán xây dựng dựa ý tưởng phân tích đa thức t2 − t − = (t + 1)(t − 2) Dựa ý tưởng này, ta thay đổi hệ số −1 vế phải hệ số α khác khác 1, áp dụng phân tích (t − α)(t + α − 1) = t2 − t − α(α − 1) ta kết tương tự Ví dụ 1.1.7 Cho số thực aij + aji = 0, ∀i, j = 1, 2, , 2017 Hãy giải hệ phương trình tuyến tính sau:  (a11 + 2017)x1 + a12 x2 + + a12017 x2017 =    a x + (a + 2017)x + + a 21 22 22017 x2017 =     a20171 x1 + a20172 x2 + + (a20172017 + 2017)x2017 = Giải Đặt   x1  x2   X=   xn Hệ cho trở thành (A + 2017E)X = Lấy chuyển vị hai vế ta X t (A + 2017X)t = Dẫn đến X t (−A + 2017E) = 0, hay −X t A + 2017X t E = Từ suy −X t AX + 2017X t EX = Ta có AX + 2017X = ⇔ AX = −2017X Kết hợp lại, ta X t (−2017X) + 2017X t X = ⇔ X t X + X t X = ⇔ X t X = Như vậy, x1 x2   x1
 x2  2  x2017    = ⇔ x1 + x2017 = ⇔ x1 = = x2017 = x2017 1.2 Sử dụng tính chất nghiệm đa thức Định lý 1.2.1 Cho R miền nguyên Cho 6= f (x) ∈ R[x] a1 , a2 , , ar ∈ R nghiệm phân biệt f (x) Giả sử nghiệm bội ki f (x) với i = 1, 2, , r Khi ta có f (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 (x − ar )kr g(x) g(x) ∈ R[x] g(ai ) 6= với i = 1, , r Hệ 1.2.2 Cho R miền nguyên f (x) ∈ R[x] đa thức khác Khi số nghiệm f (x), nghiệm tính với số bội nó, khơng vượt q bậc của f (x) Hệ 1.2.3 Cho R miền nguyên f (x), g(x) ∈ R[x], deg(f (x)) n deg(g(x)) n Nếu f (x) g(x) có giá trị n + phần tử khác R f (x) = g(x) Ví dụ 1.2.4 Cho đa thức P (x) = (x − 2)(x − 3) (x − 2017) Giả sử P (x) = a1 + a2 x + + a2017 x2016 Giải hệ phương trình sau:  ax +a2 x2 + +a2016 x2016 +a2017 x2017 =    1 a2017 x1 +a1 x2 + +a2015 x2016 +a2016 x2017 =    ax +a3 x2 + +a2017 x2016 +a1 x2017 = Giải Tách ma trận hệ số dạng  a1 a2 a2017 a1  a2016 a2017     a a a2 a3  0 0 0 0  0 0 = a1  0 0 0 0 0 0 Đặt  a3 a2016 a2017 a2 a2015 a2016   a1 a2014 a2015     a5 a1 a2  a4 a2017 a1   0 0 0 0   0 0 0  + a2  0 0 0  0 0 0 1 0   0 0 1 0 0    0 0 0  + + a2017   0 0  0 0 0  0 0 0 0  0 B= 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  0  0 1  0  0  0 1 Theo trên, ta có A = a1 I + a2 B + + a2017 B 2016 Đa thức đặc trưng B P (x) = x2017 − Đa thức có 2017 nghiệm trường số phức an b1 an b2 a1 bn a2 bn + an bn = Dn−1 + an bn Dn = + a1 b1 + a2 b2 + + an bn = Theo cơng thức Cramer hệ ln ln có nghiệm xi = j Dn Dn = Dni Dni định thức D bỏ cột i thay (c1 , c2 , , cn )T Do hệ ln có nghiệm ngun 1.5 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp hệ Ví dụ 1.5.1 Giải hệ phương trình  x + 2x2 + · · · + 2017x2017 =    x2 + 2x3 + · · · + 2017x1 =   x 2017 + 2x1 + · · · + 2017x2016 = 2017 11 Giải Cộng vế theo vế tất phương trình hệ, ta x1 + x2 + · · · + x2017 = Trừ phương trình thứ k cho phương trình thứ k + (k < 2017), ta (x1 + x2 + · · · + x2017 ) − 2017xk = k − (k + 1) = −1 Suy xk = P 2012 xk = − x2017 = − 2017 2017 k