Luận văn thạc sỹ toán về sự phát triển của điều kiện tối ưu trong bài toán quy thoạch lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ HOA VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ HOA VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị giải tích lồi 1.1 Tập lồi 1.1.1 Các định nghĩa tập lồi 1.1.2 Toán tử chiếu tập lồi 1.2 Hàm lồi 3 12 17 Điều kiện tối ưu toán quy họach lồi 2.1 Bài toán quy hoạch lồi 2.2 Điều kiện cần đủ tối ưu 2.2.1 Điều kiện tối ưu theo nguyên lý Fermat tốn tối ưu khơng ràng buộc hàm biến khả vi 2.2.2 Điều kiện với ràng buộc hình học 2.2.3 Điều kiện có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức 23 23 24 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 24 33 37 ii Lời cảm ơn Trước trình bày nội dụng luận văn, em xin bày tỏ lời lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, quý thầy cô giáo khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun, gia đình bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em mặt suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Để hồn thành khóa luận thân em cố gắng nhiều Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận văn DƯƠNG THỊ HOA Bảng ký hiệu R Rn B B(0, 1) Rm + ∂f (x) δC (.) L(x, µ, ν) f (x), f 00 (x), ∇f ∇2 f h., i ∂f trường số thực không gian Euclide n-chiều hình cầu đơn vị mở Rn hình cầu đơn vị, đóng tâm orthant khơng âm Rm vi phân hàm lồi f x hàm tập C hàm Lagrange đạo hàm (bậc bậc 2) hàm số f (x) Gradient hàm f ma trận Hessian f tích vơ hướng Rn vi phân hàm f Mở đầu Bài toán quy hoạch lồi phần quang trọng lý thuyết tối ưu Trong lý thuyết tối ưu, điều kiện tối ưu quan trọng, nghiên cứu tính chất nghiệm, đề suất phương pháp giải Lý thuyết toán quy hoạch lồi quan tâm nghiên cứu nhiều từ lâu đạt nhiều kết quan trọng dựa kết Giải tích lồi tối ưu hóa Về phương diện tính tốn có nhiều phương pháp hữu hiệu cho lớp tốn Trong q trình học tìm hiểu điều kiện tối ưu toán quy hoạch lồi ta thấy phát triển toán phong phú nhiều vấn đề nối tiếp khoa học hay Mục đích luận văn tổng kết lại giai đoạn phát triển điều kiện tối ưu toán quy hoạch lồi xét đến ứng dụng chúng việc xây dựng phương pháp giải Trên sở khảo sát đến số ứng dụng việc giải toán quy hoạch lồi Tổng hợp lại lý thuyết tối ưu điều kiện tối ưu quan trọng chúng cho phép nghiên cứu tính chất nghiệm, xây dựng phương pháp giải Điều kiện tối ưu dựa nguyên lý Fermat toán cực trị khơng có nghiệm ràng buộc hàm biến khả vi học chương trình PTTH Theo người ta phát triển ngun lí quy hoạch có ràng buộc hàm nhiều biến khơng thiết khả vi Bản luận văn, ngồi phần mở đầu tài liệu tham khảo cịn có hai chương cụ thể là: Chương trình bày kiến thức Giải tích lồi Chương giới thiệu toán tối ưu đặc biệt sâu vào phát triển điều kiện tối ưu cho lớp toán tối ưu lồi Chương Các kiến thức chuẩn bị giải tích lồi Chương chủ yếu nhắc lại số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết liên quan đến tập lồi hàm lồi Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] 1.1 1.1.1 Tập lồi Các định nghĩa tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi   ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ 0, ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc - tơ) x1 , , xk x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k, j=1 k X λj = j=1 Tương tư, x tổ hợp a-phin điểm (véc - tơ) x1 , , xk x= k X j=1 j λj x , k X λj = j=1 Tập hợp tổ hợp a-phin x1 , , xk thường gọi bao a-phin điểm Định lý 1.1.2 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: C lồi ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k X k λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ k X j=1 λj xj ∈ C j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử định lý với k − điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k, j=1 k X λj = j=1 Đặt k−1 X ξ= λj j=1 Khi < ξ < x= k−1 X j k λj x + λk x = ξ j=1 Do j=1 k−1 X λj j=1 k−1 X λj ξ ξ x j + λk x k (1.1) =1 λj > với j = 1, , k − 1, nên theo giả thiết quy nạp, điểm ξ y := k−1 X λj j=1 ξ xj ∈ C Ta có x = ξy + λk xk Do ξ > 0, λk > ξ + λk = k X λj = 1, nên x tổ hợp lồi j=1 k hai điểm y x thuộc C Vậy x ∈ C  Lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Descartes Cụ thể, ta có định lý sau: Định lý 1.1.3 Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau lồi: A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B}, λA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, λ, β ∈ R}, A × C := {x ∈ Rn+m |x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} Chứng minh Dễ dàng suy trực tiếp từ định nghĩa  Định nghĩa 1.1.4 Một tập C gọi tập a-phin chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Vậy tập a-phin trường hợp riêng tập lồi Như nêu, ví dụ điển hình tập a-phin khơng gian Một ví dụ khác tập a-phin siêu phẳng định nghĩa Định nghĩa 1.1.5 Siêu phẳng không gian Rn tập hợp điểm có dạng {x ∈ Rn |aT x = α}, a ∈ Rn véc - tơ khác α ∈ R Véc - tơ a thường gọi véc - tơ pháp tuyến siêu phẳng Một siêu phẳng chia không gian hai nửa không gian Nửa không gian định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.6 Nửa không gian tập hợp có dạng {x|aT x ≥ α}, a 6= α ∈ R Đây nửa khơng gian đóng Tập {x|aT x ≥ α} nửa không gian mở Như siêu phẳng chia không gian làm hai nửa không gian, nửa khơng gian phía siêu phẳng Nếu hai nửa khơng gian đóng phần chung chúng siêu phẳng Mệnh đề cho thấy tập a-phin ảnh tịnh tiến không gian Định lý 1.1.7 M 6= ∅ tập a-phin có dạng M = L + a với L không gian a ∈ M Không gian L xác định Không gian L định lý gọi không gian song song với M , nói ngắn gọn khơng gian M Thứ nguyên (hay chiều) tập a-phin M định nghĩa thứ nguyên không gian song song với M ký hiệu dim M Định nghĩa 1.1.8 Một tập gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Như vậy, theo định nghĩa, tập lồi đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau: D := {x ∈ Rn |haj , xi ≤ bj , j = 1, , m} Hoặc ta ký hiệu A ma trận có m hàng véc - tơ aj (j = 1, , m) véc - tơ bT = (b1 , , bm ), hệ viết là: D = {x ∈ Rn |Ax ≤ b} Chú ý phương trình ha, xi = b viết cách tương đương dạng hai bất phương trình ha, xi ≤ b, h−a, xi ≤ b, 43 Ví dụ 2.2.31 Xét tốn f (x) = x3 trênC = [−1, 2] Rõ ràng x∗ = điểm dừng f (x) điểm cực tiểu f (x) C đạt x = −1 Ví dụ 2.2.32 (SGK BT 12 CB) Trong hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, tìm hình trụ tích lớn Hướng dẫn giải: Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy thể tích hình trụ nội tiếp hình cầu h, r V Khi đó: V = hπr2    2 h h h3 2 2 Vì r = R − ⇒ V = hπ R − = π hR − 4 4  h3 , h∈ Ví dụ trở thành tìm giá trị lớn hàm số V (h) = π hR − (0; 2R)   3h 2R Ta có: V (h) = π R2 − =0⇔h= √ Bảng biến thiên: Hình 2.2  2R 4πR3 Từ BBT, suy max V = V √ = √ (0;2R) 3 Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R tích lớn 2R 4πR3 √ chiều cao Khi đó, thể tích khối trụ √ 3  Ví dụ 2.2.33 (Team 12 Huế) Một kẽm hình vng ABCD có cạnh 30 (cm) Người ta gập kẽm theo hai cạnh EF GH AD BC trùng hình vẽ để hình lăng trụ khuyết hai đáy 44 Hình 2.3 Giá trị x để thể tích khối lăng trụ lớn A x = (cm) B x = (cm) C x = (cm) 10 (cm) D x = 45 Hướng dẫn giải: Ta có: DF = CH = x, F H = 30 − 2x ⇒ p4DHF = 15 Thể tích khối lăng trụ hình vẽ p V = SF DH EF = 30 15(15 − x)(15 − x)(15 − 30 + 2x) p = 30 15(15 − x)2 (2x − 15), x ∈   15 ; 15 Xét hàm số f (x) = (15 − x)2 (2x − 15) f (x) = −2(15 − x)(2x − 15) + 2(15 − x)2 = −2(15 − x)(3x − 30) f (x) = ⇔ x = 10 x = 15 Bảng biến thiên: Hình 2.4 Dựa vào BBT, max ! f (x) = 125 x = 10 15 ;15 Do thể tích khối lăng trụ hình vẽ lớn x = 10 (cm) √ Khi Vmax = 750 (cm3 ) Lựa chọn đáp án D Ví dụ 2.2.34 (SGK BT 12 CB) Hãy tìm tam giác vng có diện tích lớn tổng cạnh góc vng cạnh huyền số a (a > 0) Hướng dẫn giải:  a Kí hiệu cạnh góc vng AB x, x ∈ 0; 46 Hình 2.5 Khi đó, cạnh huyền BC = a − x, cạnh góc vng p √ √ AC = BC − AB = (a − x)2 − x2 = a2 − 2ax  a √ Diện tích tam giác ABC S(x) = x a − 2ax, x ∈ 0; 2 a(a − 3x) a Ta có: S (x) = √ =0⇔x= a2 − 2ax Bảng biến thiên: Hình 2.6 a2 a 2a Từ BBT, suy max S(x) = √ AB = , BC = 3 (0; a2 ) Ví dụ 2.2.35 (SGK 12 NC) Khi ni cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P (n) = 480 − 20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? 47 Hướng dẫn giải: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá sau vụ, số cá đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng f (n) = nP (n) = 480n − 20n2 (gam) Xét hàm số f (x) = 480x − 20x2 ; x ∈ (0; +∞) (Biến số n lấy giá trị nguyên dương thay biến số x lấy giá trị khoảng (0; +∞)) Ta có: f (x) = 480 − 40x = ⇔ x = 12 Bảng biến thiên: Hình 2.7 Từ BBT, (0; +∞), hàm số f đạt giá trị lớn điểm x = 12 Từ đó, suy f (n) đạt giá trị lớn điểm n = 12 Ví dụ 2.2.36 (SGK 12 NC) Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G(x) = 0, 025x2 (30 − x), x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm Hướng dẫn giải: Ta có: G(x) = 0, 75x2 − 0, 025x3 x > G0 (x) = 1, 5x − 0, 075x2 = ⇔ x = ∨ x = 20 Bảng biến thiên: Hình 2.8 48 Từ BBT, suy max G(x) = G(20) = 100 Vậy liều lượng thuốc (0;+∞) cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều 20 mg Khi đó, độ giảm huyết áp 100 Ví dụ 2.2.37 (SGK 12 NC) Một tạp chi bán với giá 20 nghìn đồng Chi phí xuất x tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, ) cho công thức C(x) = 0, 0001x2 − 0, 2x + 10000, C(x) tính theo đơn vị vạn đồng Chi phí phát hành cho nghìn đồng 1) a) Tính tổng chi phí T (x) (xuất phát hành) cho x tạp chí T (x) b) Tỉ số M (x) = gọi chi phí trung bình cho x tạp chí xuất x Tính M (x) theo x tìm số lượng tạp chi cần xuất cho chi phí trung bình thấp 2) Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí 90 triệu nhận từ quảng cáo trợ giúp cho báo chí Giả sử số in bán hết a) Chứng minh số tiền lãi in x tạp chí L(x) = −0, 0001x2 + 1, 8x − 1000 b) Hỏi in có lãi? c) In lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi Hướng dẫn giải: 1) a) Tổng chi phí cho x tạp chí T (x) = C(x) + 0, 4x = 0, 0001x2 + 0, 2x + 10000 b) Ta có : M (x) = 0, 0001x + 10000 + 0, với x = 1, 2, (6) x Ta xét hàm số y = M (x) khoảng (0; +∞) (trong M (x) xác định công thức (6) với x > ) tìm x > 0, hàm số M đạt giá trị nhỏ (0; +∞) Ta có: M (x) = 0, 0001 − 10000 = ⇔ x = 10000 x2 49 Bảng biến thiên: Hình 2.9 Từ BBT, suy M (x) = M (10 000) = 2, Vậy chi (0;+∞) phí trung bình cho x tạp chí thấp x = 10 000 (cuốn) Chi phí cho 2, vạn đồng = 22 000 (đồng) 2) a) Tổng số tiền thu bán x tạp chí ( x nguyên dương) 2x + 9000 (vạn đồng) Số tiền lãi bán x là: L(x) = 2x + 9000 − T (x) = −0, 0001x2 + 1, 8x − 1000 b) Có lãi √ L(x) > 0, tức là:√−0, 0001x2 + 1, 8x − 1000 > ⇔ √ 0, − 0, 71 0, + 0, 71 573, 85 9000+ 71000000 > 17426, 15 nên 573 < x < 17427 c) Ta xét hàm số: L(x) = −0, 0001x2 + 1, 8x − 1000; x ∈ (0; +∞) tìm x > để L(x) đạt giá trị lớn (0; +∞) Ta có: L0 (x) = −0, 0002x + 1, = ⇔ x = 9000 50 Bảng biến thiên: Hình 2.10 Từ BBT, suy max L(x) = L(9000) = 7100 Vậy muốn lãi (0;+∞) nhiều phải in 9000 Khi tiền lãi thu là: 7100 vạn đồng = 71000000 (đồng) Ví dụ 2.2.38 (SGK 12 NC) Người ta định làm hộp hình trụ tơn tích V cho trước Tìm bán kính đáy r chiều cao h hình trụ cho tốn ngun liệu Hướng dẫn giải: Thể tích hình trụ V = hπr2 Diện tích tồn phần hình trụ là: S = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2V V 2πr = 2πr2 + πr r Ta tìm r > cho S đạt giá trị nhỏ 2V 2V Xét hàm số S(r) = 2πr2 + ; r ∈ (0; +∞) Ta có: S (r) = 4πr− = r r r V 0⇔r= 2π Bảng biến thiên: Hình 2.11 51 r Từ BBT, S(r) = S (0;+∞) r 3 V 2π ! r r = V V Khi h = = 2π πr 4V π Ví dụ 2.2.39 (SGK BT 12 NC) Cắt bỏ hình quạt trịn AOB (hình phẳng có nét gạch hình bên) từ mảnh tơng hình trịn bán kính R dán hai bán kính OA OB hình quạt trịn cịn lại với để phễu có dạng hình nón Gọi x góc tâm quạt trịn dùng làm phểu, < x < 2π a) Hãy biểu diễn bán kính r hình trịn đáy đường cao h hình nón theo R x b) Tính thể tích hình nón theo R x c) Tìm x để hình nón tích lớn tính giá trị lớn Hướng dẫn giải: Bảng biến thiên: Hình 2.12 a) Vì độ dài đường trịn đáy hình nón độ dài AB _ R quạt trịn dùng làm phễu, nên ta có: 2πr = Rx ⇔ r = ; h= 2π r √ R2 x2 R√ 2 2 R −r = R − 4π − x2 = 4π 2π R3 √ b) Thể tích hình nón là: V = πr h = x 4π − x2 ; < x < 24π 2π c) Ta tìm x ∈ (0; 2π) cho V đạt giá trị lớn 52 R3 √ R3 x(8π − 3x2 ) √ Đặt V (x) = x 4π − x ⇒ V (x) = 2 − x2 24π 24π 4π √ 6π Với < x < 2π, ta có: V (x) = ⇔ x = ≈ 1, 63π ∈ (0; 2π) Bảng biến thiên: Hình 2.13 √ 6π Từ BBT, suy hình trụ tích lớn x = √ ! √ 6π 3πR3 max V = V = 27 (0;2π) Ví dụ 2.2.40 (SGK BT 12 NC) Một đám vi trùng ngày thứ t có 4000 số lượng N (t) Biết N (t) = lúc đầu đám vi trùng + 0, 5t có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng bao nhiêu? Hướng dẫn giải: Ta có: N (t) = 8000 ln(1 + 0, 5t) + 250000 N (10) = 8000 ln + 250000 ≈ 264334 Kết quả: ≈ 264334 Ví dụ 2.2.41 Sự tăng trưởng loại vi khuẩn tn theo cơng thức S = A.ert , A số lượng vi khuẩn ban đầu, r tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t thời gian tăng trưởng Biết số lượng vi khuẩn ban đầu 100 sau có 300 Hỏi sau 10 có vi khuẩn ? Sau số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi ? Bài giải : Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng loài vi khuẩn Từ ln ln 300 − ln 100 = ≈ 0, 2197 giả thiết 300 = 100.e5r suy r = 5 Tức tỉ lệ tăng trưởng loại vi khuẩn 21, 97%/mỗi 53 Sau 10 giờ, từ 100 vi khuẩn có 100.e10.0,2197 ≈ 900 (con) Từ 100 con, để có 200 thời gian cần thiết t≈ ln 200 − ln 100 ≈ 3, 15 ≈ phút 0, 2197 Ví dụ 2.2.42 Cho biết chu kì bán rã chất phóng xạ plutôni P u239 24360 năm (tức lượng P u239 sau 2430 năm phân hủy cịn lại nửa) Sự phân hủy tính theo cơng thức S = A.ert , A lượng chất phóng xạ ban đầu, r tỉ lệ phân hủy năm (r < 0), t thời gian phân hủy, S lượng lại sau thời gian phân hủy t Hỏi 10 gam P u239 sau năm phân hủy gam ? Bài giải : Trước tiên, ta tìm tỉ lệ phân hủy năm P u239 Ta có P u239 có chu kì bán hủy 24360 năm, ta có = 10.er.24360 ln − ln 10 Suy ra: r = = −2, 84543.10−5 ≈ −0, 000028 2430 Vậy phân hủy P u239 tính theo cơng thức S = A.e−0,000028t , S A tính gam, t tính năm − ln 10 Theo ra, ta có : = 10.e−0,000028t ⇔ t = ≈ 82235 (năm) −0, 000028 Vậy sau khoảng 82235 năm 10 gam chất P u239 phân hủy cịn gam Ví dụ 2.2.43 Trong tam giác nội tiếp đường trịn cho trước, tìm tam giác có diện tích lớn Bài giải : Khơng tính tổng qt, ta xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn đơn vị với A(1; 0) cố định B(x1 , y1 ), C(x2 , y2 ), x21 + y12 = 1, x22 + y22 = Ta có diện tích tam giác ABC tính cơng thức sau : 1 S∆ABC = ABd(C; AB) = |(x2 − 1)y1 − (x1 − 1)y2 | 2 54 Hình 2.14 Phát biểu lại tốn ta toán cực trị sau:     |(x1 − 1)y2 − (x2 − 1)y1 | → max 2 x + y1 =    x2 + y = 2 Bài tốn cực trị có điều kiện biến chuyển thành tốn cực trị biến cách tham số hố đường trịn đơn vị, cụ thể đặt x1 = cos α, y1 = sin α; x2 = cos β, y2 = sin β ta quy tốn việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (α, β) = sin α − sin β + sin(β − α) Giữ α cố định, xét f (α, β) hàm số theo β fβ0 (α, β) = − cos β + cos(β − α) α + kπ Từ đó, để tìm max f (α, β), ta cần tìm max     α α sin α − sin + kπ + sin + kπ − α 2 Từ ta tìm điểm dừng β = 55 α α tức max f1 (α) = sin α − sin , f2 (α) = sin α + sin 2 Giải bài√tốn biến này, ta tìm đáp số toán f (α, √ β) 3 2π 4π 3 max , chẳng hạn α = ,β= (và − ) 3 Đây tình tam giác ABC Trong chương trình bày kiến thức toán tối ưu Xuất phát từ ngun lí Fecmat cho tốn cực trị hàm biến Trên sở sâu vào giới thiệu phát triển điều kiện tối ưu cho lớp toán cực trị với loại ràng buộc khác trường hợp khả vi không khả vi Nhiều ví dụ minh họa áp dụng điều kiện tối ưu trình bày chương 56 Kết luận Trong khoa học thực tiễn, ta thường bắt gặp nhiều toán tối ưu, nội dung toán theo suốt q trình phát triển lịch sử lồi người nói chung lịch sử Tốn học nói riêng Trong lý thuyết tối ưu điều kiện tối ưu quan trọng chúng cho phép nghiên cứu tính chất nghiệm, xây dựng phương pháp giải Điều kiện tối ưu dựa nguyên lý Fecmat toán cực trị khơng có ràng buộc hàm biến khả vi học chương trình phổ thơng Theo người ta phát triển điều kiện tối ưu tốn quy hoạch lồi có ràng buộc hàm nhiều biên không thiết khả vi Luận văn trình bày phát triển điều kiện tối ưu toán quy hoạch lồi Cụ thể là: - Các kiến thức giải tích lồi như: định nghĩa, định lí tập lồi, tốn tử chiếu, định lí tách tập lồi Các định nghĩa tính chất hàm lồi, định nghĩa vi phân, định lí tồn vi phân hàm lồi - Các điều kiện tối ưu toán quy hoạch lồi như: Điều kiện tối ưu theo nguyên lý Fecmat tốn tối ưu khơng ràng buộc hàm biến khả vi; điều kiện với ràng buộc hình học; điều kiện có ràng buộc đẳng thức và/ bất đẳng thức Trong kết định lí Karush- Kuhn -Tucker điều kiện cần đủ cho tốn quy hoạch lồi Một số ví dụ minh họa phát triển điều kiện trình bày luận văn 57 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiển, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điền (2009), Giáo trình giải tích ứng dụng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu and Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa Học Kỹ Thuật [3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [4] T.R Rockafellar (1970), Convex Analysis, Rinceton Press [5] H Tuy (2003), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Publisher