Luận văn thạc sỹ toán đường tròn soddy và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGƠ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRỊN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGÔ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRÒN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2019 ✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❤➻♥❤ ✐✐✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✐✈ ▼ð ✤➛✉ ✶ ✶ ✸ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê s✉♥❣ ✶✳✶ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✷ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❜↔♦ ❣✐→❝ ✶✳✷ ❚å❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✷ ▼ët sè ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ✳ ✳ ✷ ❈→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ ❇→♥ ❦➼♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✶ ❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥ë✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✷ ❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥❣♦↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸ ✣÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✶ ❈→❝ ✤✐➸♠ ❙♦❞❞② ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✹ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❙♦❞❞② ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❊✉❧❡r✲●❡r❣♦♥♥❡✲❙♦❞❞② ✸ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✸ ✻ ✾ ✾ ✶✶ ✷✵ ✷✵ ✷✸ ✷✸ ✷✹ ✷✺ ✷✺ ✷✽ ✷✾ ✸✺ ✸✳✶ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✐✐ ✸✳✷ ✸✳✸ ✸✳✶✳✶ ▼ët sè ❤➺ t❤ù❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✶✳✷ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✸✳✶✳✸ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✸✳✶✳✹ ❉ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❜✐➳t ♠ët ❝↕♥❤ κ = ta + tb + tc ✳ ✳ ✳ ✸✳✷✳✶ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ κ = ✸✳✷✳✷ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ κ = ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❧ỵ♣ ~ = tb + tc ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✸✳✶ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ ~ = ✸✳✸✳✷ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ ~ = ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❧ỵ♣ ✸✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹ ❑➳t ❧✉➟♥ ✺✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✺✽ ✐✐✐ ❉❛♥❤ ♠ö❝ ❤➻♥❤ ✶✳✶ ❷♥❤ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ❛✮ ❷♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝ü❝❀ ❜✮ ❷♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝â t➙♠ ❧➔ ❝ü❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸ ❷♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❦❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝ü❝ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ · AB ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✳✹ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ A′B ′ = R OA.OB ✶✳✺ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❜↔♦ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✻ ❱➼ ❞ư ✈➲ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❈♦♥✇❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶ ✣÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥ë✐ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥❣♦↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸ ❚å❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❙♦❞❞② ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❙♦❞❞② ✷✳✹ ❚➙♠ ❙♦❞❞② ♥ë✐✱ ♥❣♦↕✐ ✈➔ ✤✐➸♠ ❊♣♣st❡✐♥ E = X481 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✺ ❈→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❊✉❧❡r ✈➔ ●❡r❣♦♥♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✻ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❊✉❧❡r✲●❡r❣♦♥♥❡✲❙♦❞❞② ✈✉æ♥❣ t↕✐ Fl = ℓG ∩ ℓS ✳ ✳ ✷✳✼ ▼ët sè ✤✐➸♠ tr➯♥ ❝↕♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❊✉❧❡r✲●❡r❣♦♥♥❡✲❙♦❞❞② ✳ ✳ ✸✳✶ AD✲❝❡✈✐❛♥ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✤➾♥❤ A ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✷ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝❡✈✐❛♥ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✤➾♥❤ ❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✸ ❈→❝ ❤➺ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ θ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✹ P Q ⊥ AD ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✺ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ABC ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữớ t r s s ợ AD ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✼ ◗✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ C ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✽ ❉ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❜✐➳t ♠ët ❝↕♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✾ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ ~ = ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✶✵ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ ~ = ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✹ ✺ ✼ ✽ ✶✹ ✷✶ ✷✷ ✷✻ ✸✵ ✸✶ ✸✷ ✸✸ ✸✻ ✸✼ ✸✽ ✸✾ ✹✵ ✹✷ ✹✺ ✹✻ ✺✹ ✺✻ ✐✈ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♠ët ❝→❝❤ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤✱ tỉ✐ ❧✉ỉ♥ ữủ sỹ ữợ ú ù t t ❝õ❛ P●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱✐➺t ❍↔✐✱ ●✐↔♥❣ ✈✐➯♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ❚r÷í♥❣ ✤↕✐ ❤å❝ ❍↔✐ P❤á♥❣✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ t❤➛② ✈➔ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ tr✐ ➙♥ ♥❤➜t ❝õ❛ tỉ✐ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ t❤➛② ✤➣ ❞➔♥❤ ❝❤♦ tæ✐✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ỡ ỏ t qỵ t ổ ợ rữớ ✤↕✐ ❤å❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t t tr t ỳ tự qỵ ụ ♥❤÷ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tỉ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ♥❤➜t tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❤é trđ ✈➔ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❳✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦ ❍↔✐ P❤á♥❣✱ t❤→♥❣ ✶✷ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ◆❣÷í✐ ✈✐➳t ▲✉➟♥ ✈➠♥ ◆❣ỉ ❚rå♥❣ ❚❤➔♥❤ ✶ ▼ð ✤➛✉ ✶✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❈→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ❧➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❆♣♦❧✐❧♦♥✐✉s✳ ❈❤❛ ✤➫ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✱ ✤✐➸♠ ❙♦❞❞②✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❙♦❞❞②✱ t❛♠ ❣✐→❝ ❙♦❞❞②✱✳✳ ❧➔ ❋r❡❞❡r✐❝❦ ❙♦❞❞②✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❞➔♥❤ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ t❤÷ð♥❣ ◆♦❜❡❧ ✈➲ ❍â❛ ❤å❝✳ P❤→t tr✐➸♥ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔② tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ✭◆✳ ❉❡r❣✐❛❞❡s ♥➠♠ ✷✵✵✼✱ ▼✳ ❏❛❝❦s♦♥ ♥➠♠ ✷✵✶✸✱ ▼✳ ❏❛❝❦s♦♥ ✈➔ ❚❛❦❤❛❡✈ ♥➠♠ ✷✵✶✺✱ ✷✵✶✻ ✮ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❝→❝ ♣❤→t ❤✐➺♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ s➙✉ s➢❝ s✐♥❤ r❛ tø ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔ ❧➔♠ t❤➳ ♥➔♦ ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❤❡♦ ❝→❝ ②➳✉ tè ❝õ❛ t❛♠ trữợ ữớ trỏ ữớ t õ q ợ ữớ trỏ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤➣ ❜✐➳t ❦❤→❝❄ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ ❣✐↔✐ q✉②➳t t tr ỵ tổ ✤➲ t➔✐ ✧✣÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✈➔ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥✧✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔✿ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✱ t➼♥❤ ữủ t ữủ t t ợ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥ë✐ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥❣♦↕✐✳ ❚ø ✤â ✤÷❛ r❛ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❙♦❞❞② tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝✳ ✲ ❳→❝ ✤à♥❤ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❙♦❞❞② ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❦❤→❝✳ ✲ P❤➙♥ ữủ t ợ = ta + tb + tc ✈➔ ❧ỵ♣ ~ = tb + tc✱ st trữớ ủ t ợ ✤â✳ ✷ ✷✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ✤➲ t➔✐✱ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ ❣✐↔✐ q✉②➳t ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê s✉♥❣ ◆❤➢❝ ❧↕✐ ✈➔ ❜ê s✉♥❣ ❤❛✐ ❝❤õ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ❧➔♠ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛✿ P tồ rtr ữỡ ỗ ❝→❝ ♠ö❝✿ ✶✳✶✳ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✶✳✷✳ ❚å❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ sü ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ❝ị♥❣ ❝→❝ ❜ë ♣❤➟♥ ❝õ❛ ♥â ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tå❛ ✤ë✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ trå♥❣ t➙♠ ữỡ ỗ s ✭tê♥❣ ❤ñ♣✱ ❜ê s✉♥❣ tø ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶❪✱ ❬✸❪✱ ❬✼❪✮✿ ✷✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✷✳✷✳ ❇→♥ ❦➼♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✷✳✸✳ ✣÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ✷✳✹✳ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❙♦❞❞② ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❊✉❧❡r✲●❡r❣♦♥♥❡✲❙♦❞❞② ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ①➨t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✱ t❛♠ ❣✐→❝ ❙♦❞❞②✱ t❤ü❝ ❝❤➜t ❧➔ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤→❝ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ tê♥❣ ❤đ♣ t❤❡♦ ỗ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ✸✳✷✳ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❧ỵ♣ κ = ta + tb + tc ✸✳✸✳ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❧ỵ♣ ~ = tb + tc✳ ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê s✉♥❣ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ✈➔ ❜ê s✉♥❣ ❤❛✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝➛♥ ❝❤♦ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✿ ❚❤ù ♥❤➜t✱ ✤✐➸♠ q✉❛ ✈➲ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ●✐→♦ tr➻♥❤ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣❀ ❚❤ù ❤❛✐✱ ❜ê s✉♥❣ t❤➯♠ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ✭❞↕♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤✮✱ ♣❤→t tr✐➸♥ tø ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➙♠ t✛ ❝ü q✉❡♥ t❤✉ë❝✳ ✶✳✶ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❊✉❝❧✐❞❡✳ ❈→❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ❝â t❤➸ t➻♠ t❤➜② tr♦♥❣ ❝→❝ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣ ❤✐➺♥ ❤➔♥❤✳ ✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ R✳ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝ü❝ O✱ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ k = R2 ❧➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✱ ❜✐➳♥ P 7→ P ′ s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉ P 6= O t❤➻ OP.OP ′ = R2 ❀ ♥➳✉ P ≡ O t❤➻ P ′ ←→ ∞✳ ❚❛ ỵ õ fRO2 ữớ trá♥ (O, R) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✳ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ♥➔② ❝ô♥❣ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥✳
2 ❉➵ t❤➜② ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❤ñ♣✱ tù❝ ❧➔ fRO2 = Id✳ ❚ø ✹ ❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❷♥❤ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ s✉② r❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✿ ❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ❛✮ ❷♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝ü❝❀ ❜✮ ❷♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝â t➙♠ ❧➔ ❝ü❝ ❛✮ ◗✉❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ fRO2 ✱ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ (O, R) ❜✐➳♥ t❤➔♥❤ ❝❤➼♥❤ ♥â✱ ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❧➔ ❤➻♥❤ ❦➨♣ t✉②➺t ✤è✐ ✭t÷ì♥❣ tü trư❝ ✤è✐ ①ù♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣✮✳ ▼å✐ ✤✐➸♠ ð tr♦♥❣ (O, R) ❜✐➳♥ t❤➔♥❤ ✤✐➸♠ ð ♥❣♦➔✐ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✳ ✶✻ ✭❢✮ ●✐❛♦ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ p1 x + q1 y + r1 z = 0, p2 x + q2 y + r2 z = ❧➔ ✤✐➸♠  ●✐❛♦ ❤❛✐ q r1 r1 p1 p1 q