Hệ Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Chứa Căn Thức.pdf

Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Các tính chất đa thức đối xứng phản đối xứng 1.1.1 Đa thức đối xứng 1.1.2 Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp Viète 1.1.3 Đa thức đối xứng ba biến Một số tính chất khác đa thức đối xứng 1.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.2.2 Chứng minh đẳng thức 1.2.3 Chứng minh bất đẳng thức 1.2.4 Bài tốn thiết lập phương trình bậc hai 1.2.5 Hệ phương trình đối xứng 11 Một số tính tốn ước lượng biểu thức chứa thức 13 1.3.1 Sử dụng định lí Lagrange 13 1.3.2 Một số ước lượng 15 Chương Hệ phương trình chứa thức 2.1 21 Các phương pháp giải phương trình chứa thức 21 2.1.1 Điều kiện có nghĩa phương trình 21 2.1.2 Quy tắc giản ước 22 2.1.3 Quy tắc thay giá trị 23 2.1.4 Phương pháp hữu tỷ hóa 23 2.1.5 Đặt ẩn phụ 28 2.1.6 Phương pháp đưa hệ không đối xứng 36 2.2 2.3 2.1.7 Phương pháp lượng giác hóa 38 2.1.8 Phương pháp sử dụng nhiều ẩn phụ 40 2.1.9 Phương pháp đưa hệ đối xứng 41 Hệ phương trình chứa thức đối xứng 46 2.2.1 Hệ phương trình đối xứng loại 46 2.2.2 Hệ phương trình đối xứng loại 50 2.2.3 Một số phương pháp giải hệ đối xứng 52 Một số hệ phương trình đặc biệt chứa thức 62 Chương Hệ bất phương trình chứa thức 3.1 66 Một số phương pháp giải bất phương trình chứa thức 66 3.1.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 66 3.1.2 Phương pháp phân khoảng tập xác định 68 3.1.3 Phương pháp hàm số liên tục 69 3.2 Hệ bất phương trình đối xứng 70 3.3 Một số hệ bất phương trình đặc biệt chứa thức 74 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Mở đầu Chuyên đề "Hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức" phần quan trọng chương trình Tốn bậc THPT Các tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức xem dạng tốn chương trình đại số bậc THPT Mỗi tốn có nhiều cách giải Tuy nhiên, luận văn tập trung đề cập đến phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức Nhiều phương pháp thống khác phương pháp biểu diễn hàm số, phương pháp hệ tuyến tính, , không đề cập luận văn Các phương pháp giải tốn chủ yếu có tính định hướng chung cho lớp toán thường xuất kì thi Học sinh giỏi Olympic toán bậc THPT Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm đa thức đối xứng phản đối xứng, tính chất đa thức đối xứng, số tính tốn ước lượng biểu thức chứa thức Chương Hệ phương trình chứa thức Dựa tính chất đa thức đối xứng, chương trình bày khái niệm, phương pháp giải phương trình chứa thức, hệ phương trình đối xứng loại 1, loại Ngoài ra, chương cịn trình bày số hệ phương trình đặc biệt chứa thức Chương Hệ bất phương trình chứa thức Chương trình bày khái niệm, phương pháp giải bất phương trình chứa thức, hệ bất phương trình đối xứng Ngồi chương cịn trình bày số hệ bất phương trình đặc biệt chứa thức Trong thời gian thực luận văn này, nhận dẫn tận tình, chu đáo Giáo sư - Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Văn Mậu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giúp tơi hồn thành luận văn Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu bạn đồng nghiệp Trường THPT Thủy Sơn - Hải Phịng nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Các tính chất đa thức đối xứng phản đối xứng Đa thức đối xứng Định nghĩa 1.1 Giả sử A miền nguyên, đa thức f (x1 , x2 , , xn ) ∈ A[x1 , x2 , , xn ], gọi đa thức đối xứng với n phép i1 i2 in , ta có f (x1 , x2 , , xn ) = f (xi1 , xi2 , , xin ) f (xi1 , xi2 , , xin ) suy từ f (x1 , x2 , , xn ) cách thay xl x i , xi , , x i n 1.1.2 Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp Viète Định nghĩa 1.2 Cho a n số {a1 , a2 , , an } (n ≥ 1, n ∈ N) Khi f (x) = (x + a1 )(x + a2 ) (x + an ) = xn + E1 (a)xn−1 + E2 (a)xn−2 + · · · + En (a) Trong E0 (a) = n P i=1 , E2 (a) = P aj , En (a) = a1 a2 an 1≤i , σ1 ≥ , σ2 ≥ Giả sử cho đa thức đối xứng f (x, y) cần phải chứng minh với giá trị thực x, y (hoặc với giá trị khơng âm bất kì, với x + y ≥ a, tùy theo điều kiện toán, đa thức f (x, y) lấy giá trị không âm f (x, y) ≥ 0) Muốn trước hết ta phải thay f (x, y) biểu thức qua σ1 σ2 Rồi đa thức tìm ta thay σ biểu thức qua σ1 số khơng âm ∆ = σ12 − 4σ2 , tức ta đặt σ2 = (σ12 − ∆) Kết ta thu đa thức σ1 ∆, ta phải chứng minh với giá trị không âm z với điều kiện σ1 cho, đa thức lấy giá trị không âm Thông thường cách làm dễ chứng minh bất đẳng thức cho Ví dụ 1.4 Chứng minh a, b số thực thỏa mãn điều kiện a + b ≥ c c ≥ ta có bất đẳng thức: a2 + b2 ≥ c2 ; a4 + b ≥ c4 ; a8 + b ≥ c8 128 Lời giải Ta có a2 + b2 = σ12 − 2σ2 = σ12 −
1 σ1 − ∆ = σ12 + ∆ 2 Vì ∆ ≥ theo điều kiện cho σ1 ≥ c, nên a2 + b2 ≥ c2 Áp dụng kết ta   1 2 a +b ≥ c = c 2   1 8 c c = a +b ≥ 128 4 Lời giải Điều kiện: x ≥ , y ≥  0≤x≤1   √   − x √   1−x   4y= y = ⇔ Hệ phương trình cho ⇔ 2  √ 4  − x     y= − x x −   =  2 Giải phương trình (1):   √
4 1−x 1−x 1+ x = (1) ⇔ 2 "  # √
4 (1 − x) 1−x ⇔ =0 (1′ ) 1+ x − 2 1) x = nghiệm phương trình (1) 2)  ≤ x < vế trái phương trình (1’) lớn x=1 nghiệm hệ Vậy y=0  √ √ √ xy + − y ≤ y (1) √ √ Ví dụ 2.57 Giải hệ (2)  xy − y − y = −1 0≤y≤1 Lời giải Điều kiện xy ≥ y Hệ khơng có nghiệm dạng (x, y) = (α, 0)  0 Vậy hàm g đồng biến mà 3 3 √ ! √ 3 g = nên hệ cho có nghiệm x = y = z = 2 Bài tập áp dụng  r  √xy + x = + |x| Giải hệ phương trình y  xy + x + y = 64    √   =3 10x +  5x + y   Giải hệ phương trình √   y 1− = −1  5x + y    √ 12   x 1− =2  3x + y   Giải hệ phương trình 12 √   = y 1+  3x + y 65 Chương Hệ bất phương trình chứa thức 3.1 3.1.1 Một số phương pháp giải bất phương trình chứa thức Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Nhận xét 3.1 Gọi D miền liên thơng ⊆ R Khi đó: Nếu hàm f (x) đồng biến D ⊆ Df D ta có: f (x) > {≥} f (x0 ) f (x) < {≤} f (x0 ) ⇔ ⇔ x ∈ (x0 ; +∞) {[x0 ; +∞)} ∩ D x ∈ (−∞; x0 ) {(−∞; x0 ]} ∩ D Nếu hàm f (x) nghịch biến (∗) ⊆ Df D ta có: f (x) > {≥} f (x0 ) f (x) < {≤} f (x0 ) ⇔ ⇔ x ∈ (−∞; x0 ) {(−∞; x0 ]} ∩ D x ∈ (x0 ; +∞) {[x0 ; +∞)} ∩ D Ví dụ minh họa Ví dụ 3.1 Giải bất phương trình √ √ √ x + − − x < − 2x (1) Lời giải Ta có (1) ⇔ f (x) = √ x+2− √ 3−x− 66 √ − 2x < = f (2) (1.1) Tập xác định hàm số f (x)   x+2≥0 3−x≥0  − 2x ≥    x ≥ −2 x≤3 ⇔   x≤ 5 ⇔ −2 ≤ x ≤ (∗) Hàm số f (x) liên tục (*), ta có   1 f (x) = √ +√ > 0, ∀x ∈ −2; + √ − 2x x+2 3−x ′ Vậy hàm số f (x) đồng biến (*).Do đó: (1.1) ⇔ ( −2 ≤ x ≤ 2 Giải bất phương trình √ x+ √ Giải bất phương trình √ x−5≤ √ √ √ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 < + − x Giải bất phương trình √ x+1 Giải bất phương trình √
5 + √ x.2x−1 ≥ x+1>3− 67 √ x + 3.1.2 Phương pháp phân khoảng tập xác định Nhận xét3.2: Bằng cách chia tập điều kiện hệ thức cho thành miền nhỏ xét hệ thức thu khoảng ta nhận hệ thức đơn giản dễ giải sử dụng điều kiện nghiệm cần tìm thuộc miền nhỏ xét Ví dụ minh họa Ví dụ 3.2 Giải bất phương trình  p   2  p 2 −1 ≤ + x − 7x + 12 14x − 2x − 24 + logx x x Lời giải Tập điều kiện bất phương trình cho là:  x2 − 7x + 12 ≥0     x ≤ ≤ x   x =      x = x≤3 14x − 2x − 24 ≥ ⇔ ⇔ x ≥ 3≤x≤4   0 ; x 6=   >0 x Thay x = vào (1) ta được:  2 − ≤ 2.log3 ⇔ ≤ 3log3 = log3 ⇔ ≤ : vô lý 3  Vậy x = không nghiệm (1) Thay x = vào (1) ta được:  −1  −1 −1 ≤ 2.log2 ⇔ ≤ log4 = : đúng, xảy dấu “ = ” 2 Vậy x = nghiệm (1) Tóm lại, bất phương trình cho có nghiệm x = Bài tập áp dụng Giải bất phương trình 68 (1) √ −3x2 + x + + < x Giải bất phương trình  x p − 4x + + log5 + 8x − 2x − + ≤ x Giải bất phương trình p x2  √ 3.1.3 x+1
5 + √ 2.2x−1 ≥ Phương pháp hàm số liên tục Thực chất việc giải bất phương trình f (x) ≥ xét dấu f (x) miền cần tìm nghiệm bất phương trình Muốn vậy, ta sử dụng tính chất dấu hàm số liên tục thể nhận xét sau: Nhận xét3.3 Nếu hàm số f (x) liên tục miền (*) liên thông hai nghiệm liên tiếp ∈ (∗) f (x), hàm số f (x) không đổi dấu Đặc biệt, f (x) khơng có nghiệm x ∈ (∗) f (x) khơng đổi dấu (*) Ví dụ minh họa Ví dụ 3.3 Giải bất phương trình p (x − 3) x2 − ≤ x2 − (1) √ Lời giải Ta có (1) ⇔ f (x) = (x − 3) x2 − − x2 + ≤ (1.1) f (x) xác định ⇔ x2 − ≥ ⇔ x ≤ −2 x ≥ (∗) f (x) liên tục (*) Phương trình hp i f (x) = ⇔ (x − 3) x − − (x + 3) =  x − = (i) ⇔ √ x − − (x + 3) = (ii) (i) ⇔ x =   −13 x+3≥0 x ≥ −3 Còn(ii) ⇔ ⇔ x = ⇔ 6x = −13 x2 − = (x + 3) 69 Do hàm số f (x) liên tục (*) √ f (−3) = −6 < ; f (−2) = > 0; f (2) = > ; √ f (4) = 3−7 < Nên sử dụng tính chất dấu hàm số liên tục ta có bảng xét dấu f (x) (*): x f (x) −∞ −3 − −13 −2 + không xét không xác định +∞ + − Từ bảng xét dấu ta nghiệm bất phương trình cho là: x ≤ x ≥ −13 Bài tập áp dụng πx tg + 2x + Giải bất phương trình √ < 2−x − x √ √ Giải bất phương trình x + + − x > 3.2 Hệ bất phương trình đối xứng Đối với số hệ đơn giản, áp dụng phương pháp đồ thị để giải Ớ đây, làm quen với phương pháp biểu diễn nghiệm thông qua tham số, gọi phương pháp tham biến  x+y ≤1 Ví dụ 3.4 Giải hệ x2 + y + xy = Lời giải Viết hệ cho dạng    x+y =1−a x + y = − a
x+y =1−a , a≥0 ⇔ ⇔ 2 x + y + xy = xy = − a2 − (x + y) − xy = Điều kiện a: ( i h 2 ∆ = (1 − a) − (1 − a) − ≥ a≥0 ( a≥0 √ ⇔ ≤ a ≤ + ⇔ (a − 1)2 ≤ 3 70 (1) Với điều kiện (1) ta có nghiệm:  q a − − − 3(1 − a)2 q a − + − 3(1 − a)2  x= ,y =   q q   a − + − 3(1 − a) a − − − 3(1 − a)2 x= ,y = 2  x2 + y ≤ xy + Ví dụ 3.5 Giải hệ x2 + y ≤ 4xy Lời giải Viết hệ cho dạng  x2 + y = xy + a + a, b ≤ x2 + y = 4xy + b ⇔  2 x + y = b + 4xy ⇔ 4xy + b = xy + a + ( x2 + y = b + 4xy a+1−b xy =   4a + − b   x2 + y =  (x + y)2 = 2a + − b ⇔ 2a + − 2b ⇔  (x − y)2 = 2a + + b   2xy = 3 Điều  kiện a, b : ( a, b ≤   b  a, b ≤ 0 ≥ a ≥ −1 − 2a + − b ≥ ⇔ ⇔ 2a + + b ≥ 2a + + b   −2 ≤ b ≤ ≥0 3 √ x + y = ±r2a + − b Khi đó: 2a + + b x − y = ± Suy cho có nghiệmr là: r  hệ  2a + + b  2a + + b  √ √ 2a + − b + 2a + − b − , y = ± x = ±  3  r r     √ √ 2a + + b 2a + + b  1 2a + − b − 2a + − b + ,y = ± x=± 3 b với −2 ≤ b ≤ ; −1 − ≤ a ≤  x+y ≤2 Ví dụ 3.6 Tìm nghiệm (x, y) hệ x2 + y + xy = cho x2 + y − xy đạt giá trị lớn nhất, nhỏ 71 Lời  dạng   giải Viết hệ cho x + y = − a, a ≥ x+y =2−a x + y = − a,a ≥ ⇔ ⇔ 2 x + y + xy = (x + y) − xy = xy = (2 − a)2 − Điều kiện a: ( h i 2 ∆ = (2 − a) − (2 − a) − = 12 − 3(a − 2)2 ≥ a≥0 ⇔0≤a≤4 (1) Khi đó:
x2 + y − xy = x2 + y + xy − 2xy h i = − (a − 2) − = − 2(a − 2)2 Từ điều kiện (1) suy ra: ≤ − 2(a − 2)2 ≤
Vậy max x2 + y − xy = a =  x+y =0 ⇔ xy = −3  √ √ 3, y = −√3 x= √ x = − 3; y =
x2 + y − xy = a  = a =  x=1 x+y =2 ⇔ với a =  xy = y = x + y = −2 x = −1 với a = ⇔ xy = y = −1 Ví dụ 3.7 Xác định giá trị m để hệ sau có nghiệm  x+y ≤m x4 + y ≤ m + x y Lời giải Vì vai trị x y bình đẳng, nên (x, y) = (α, β) nghiệm hệ (x, y) = (β, α) nghiệm.(Vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm m α≤ α = β Thế vào hệ ta được: α4 ≤ m a) Nếu m < khơng tồn α b) Nếu m > tồn vơ số α m √  √ , 4m − m ≤ α ≤ 72 c) Xét m = α = hệ cho có dạng:  x+y ≤0 x+y ≤0
2 4 2 ⇔ x +y ≤x y x − y + x2 y ≤    x+y ≤0 x=0 x2 − y = ⇔ ⇔ y =  x2 y =  Kết luận: Hệ có nghiệm m = x2 + 2y ≤ m y + 2x ≤ m Lời giải Vì vai trị x, y bình đẳng, nên (x, y) = (α, β) nghiệm (x, y) = (β, α) nghiệm Suy điều kiện cần để hệ có nghiệm α = β Thế vào hệ ta Ví dụ 3.8 Xác định m để hệ sau có nghiệm  α2 + 2α ≤ m ⇔ α2 + 2α − m ≤ (1) Bất phương trình (1) có nghiệm ′ ∆ = + m = ⇔ m = −1 Thay vào hệ cho ta được:   x2 + 2y ≤ −1 x + 2y ≤ −1 y + 2x ≤ ⇔
−1
y + 2x ≤ −1  x + 2y + y + 2x ≤ −1 −    x2 + 2y ≤ −1 x = −1 y + 2x ≤ −1 ⇔ ⇔ y = −1  (x + 1)2 + (y + 1)2 ≤  Hệ cho có nghiệm m = −1   x2 + 3x + ≤ y y + 3y + ≤ z Ví dụ 3.9 Giải hệ  z + 3z + ≤ x 73 Lời giải Hệ cho tương đương với hệ:  x2 + 3x + ≤ y    y + 3y + ≤ z z + 3z + ≤
x  

 x2 + 3x + + y + 3y + + z + 3z + ≤ y + z + x   x2 + 3x + ≤ y    x = −1  y + 3y + ≤ z y = −1 ⇔ ⇔ z + 3z + ≤ x    z = −1  (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 ≤ Vậy hệ cho có nghiệm (x, y, z) = (−1, −1, −1) Bài tập áp dụng  x2 + (x − y)2 ≤ Giải hệ 2 y + (x − y) ≥  x + 2y = 2 Giải hệ 2  x − 2y ≤ x−y ≥1 Giải hệ 2  x − xy − 2y = xy ≥ x + y Giải hệ x2 + y ≤ 3.3 Một số hệ bất phương trình đặc biệt chứa thức Ví dụ 3.10 Xác định giá trị a để hệ sau có nghiệm  √ √ √x + + √ y ≤ a y + + x ≤ a Lời giải Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ √ √ Vì x + + y ≥ x, y ≥ nên a Với x = hệ có dạng  √ √y ≤ a − , ≤ y ≤ (a − 1)2 y+1≤a 74 Vậy a > (x, y) = (0, t) , ≤ t ≤ (a − 1)2 nghiệm hệ cho Điều kiện nghiệm khơng thỏa mãn Kết luận: Hệ cho có nghiệm a =  x + y ≤p Ví dụ 3.11 Tìm a để hệ sau có nghiệm x + y + 2x (y − 1) + a = Lời giải Hệ cho tương đương với  x p+ y ≤ 2x (y − 1) + a = − (x + y)  x+y ≤2 ⇔ 2x (y − 1) + a = [2 − (x + y)]2  y ≤2−x (1) ⇔ 2 (x − 1) + (y − 2) = a + (2) Tập nghiệm (1) miền nằm đường thẳng y = − x √ Tập nghiệm (2) đường trịn tâm I(1; 2), bán kính R = a + √ (a ≥ −1) |1 + − 2| √ = Khoảng cách từ I đến đường thẳng y = − x d = 2 √ √ −1 ⇔a≥ Để hệ cho có nghiệm ta phải có R ≥ d ⇔ a + ≥ 2 −1 thỏa mãn yêu cầu đề Vậy a ≥ p  x ≤ y2 + y + (1) Ví dụ 3.12 Giải hệ x − y − 2y − y = (2) Lời giải Từ (2) suy x = y + 2y + y + p Thế vào (1) ta y + 2y + y + ≤ y + y + (3) Đặt y + y = t (3) có dạng: 
√ t + ⇔ t + 2t + ≤ t + ⇔ t t + 2t − ≤0 t + ≤   s √  √ √  r s √  3 + 59 − 59  3 √ √ ≤ t ≤ t = +    4  √  −1 ∓ + 4t y= Vậy hệ có nghiệm  x = y + 2y23 + y + s √ √ √  r s √  3 + 59 3 − 59  √ √ với ≤ t ≤ t1 = + 4 75 Kết luận Luận văn “Hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức” trình bày vấn đề sau: Chương hệ thống lại kiến thức đa thức đối xứng ứng dụng đa thức đối xứng việc giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức Ngồi ra, chương cịn đề cập đến việc tính tốn ước lượng hàm chứa thức Chương hệ thống dạng tốn phương trình chứa thức Đối với dạng toán, chọn lọc số tập tiêu biểu làm bật ưu phương pháp giải phương trình chứa thức Ngồi ra, chương cịn hệ thống dạng tốn hệ phương trình chứa thức đối xứng, số hệ phương trình đặc biệt chứa Chương trình bày dạng tốn bất phương trình chứa thức Đối với dạng toán, chọn lọc số tập tiêu biểu làm bật ưu phương pháp giải bất phương trình chứa thức Ngồi ra, chương cịn hệ thống dạng tốn hệ bất phương trình chứa thức đối xứng, số hệ bất phương trình đặc biệt chứa Tôi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo có ích cho học sinh Trung học phổ thông đồng nghiệp quan tâm đến vấn đề Cho dù cố gắng thật khó để tránh khỏi thiếu sót kinh nghiệm cịn hạn chế, tác giả mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 76 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục, 1993 [2] Nguyễn Văn Mậu, 1998, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Chuyên đề chọn lọc Đa thức áp dụng, NXB Giáo Dục, 2008 [4] Trịnh Hồng Uyên, Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ, Luận văn Thạc sỹ, Thái Nguyên 2011 [5] Các thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo Dục 77