ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Các tính chất đa thức đối xứng phản đối xứng 1.1.1 Đa thức đối xứng 1.1.2 Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp Viète 1.1.3 Đa thức đối xứng ba biến Một số tính chất khác đa thức đối xứng 1.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.2.2 Chứng minh đẳng thức 1.2.3 Chứng minh bất đẳng thức 1.2.4 Bài tốn thiết lập phương trình bậc hai 1.2.5 Hệ phương trình đối xứng 11 Một số tính tốn ước lượng biểu thức chứa thức 13 1.3.1 Sử dụng định lí Lagrange 13 1.3.2 Một số ước lượng 15 Chương Hệ phương trình chứa thức 2.1 21 Các phương pháp giải phương trình chứa thức 21 2.1.1 Điều kiện có nghĩa phương trình 21 2.1.2 Quy tắc giản ước 22 2.1.3 Quy tắc thay giá trị 23 2.1.4 Phương pháp hữu tỷ hóa 23 2.1.5 Đặt ẩn phụ 28 2.1.6 Phương pháp đưa hệ không đối xứng 36 2.2 2.3 2.1.7 Phương pháp lượng giác hóa 38 2.1.8 Phương pháp sử dụng nhiều ẩn phụ 40 2.1.9 Phương pháp đưa hệ đối xứng 41 Hệ phương trình chứa thức đối xứng 46 2.2.1 Hệ phương trình đối xứng loại 46 2.2.2 Hệ phương trình đối xứng loại 50 2.2.3 Một số phương pháp giải hệ đối xứng 52 Một số hệ phương trình đặc biệt chứa thức 62 Chương Hệ bất phương trình chứa thức 3.1 66 Một số phương pháp giải bất phương trình chứa thức 66 3.1.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 66 3.1.2 Phương pháp phân khoảng tập xác định 68 3.1.3 Phương pháp hàm số liên tục 69 3.2 Hệ bất phương trình đối xứng 70 3.3 Một số hệ bất phương trình đặc biệt chứa thức 74 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Mở đầu Chuyên đề "Hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức" phần quan trọng chương trình Tốn bậc THPT Các tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức xem dạng tốn chương trình đại số bậc THPT Mỗi tốn có nhiều cách giải Tuy nhiên, luận văn tập trung đề cập đến phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức Nhiều phương pháp thống khác phương pháp biểu diễn hàm số, phương pháp hệ tuyến tính, , không đề cập luận văn Các phương pháp giải tốn chủ yếu có tính định hướng chung cho lớp toán thường xuất kì thi Học sinh giỏi Olympic toán bậc THPT Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm đa thức đối xứng phản đối xứng, tính chất đa thức đối xứng, số tính tốn ước lượng biểu thức chứa thức Chương Hệ phương trình chứa thức Dựa tính chất đa thức đối xứng, chương trình bày khái niệm, phương pháp giải phương trình chứa thức, hệ phương trình đối xứng loại 1, loại Ngoài ra, chương cịn trình bày số hệ phương trình đặc biệt chứa thức Chương Hệ bất phương trình chứa thức Chương trình bày khái niệm, phương pháp giải bất phương trình chứa thức, hệ bất phương trình đối xứng Ngồi chương cịn trình bày số hệ bất phương trình đặc biệt chứa thức Trong thời gian thực luận văn này, nhận dẫn tận tình, chu đáo Giáo sư - Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Văn Mậu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giúp tơi hồn thành luận văn Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu bạn đồng nghiệp Trường THPT Thủy Sơn - Hải Phịng nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Các tính chất đa thức đối xứng phản đối xứng Đa thức đối xứng Định nghĩa 1.1 Giả sử A miền nguyên, đa thức f (x1 , x2 , , xn ) ∈ A[x1 , x2 , , xn ], gọi đa thức đối xứng với n phép i1 i2 in , ta có f (x1 , x2 , , xn ) = f (xi1 , xi2 , , xin ) f (xi1 , xi2 , , xin ) suy từ f (x1 , x2 , , xn ) cách thay xl xi1 , xi2 , , xin 1.1.2 Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp Viète Định nghĩa 1.2 Cho a n số {a1 , a2 , , an } (n ≥ 1, n ∈ N) Khi f (x) = (x + a1 )(x + a2 ) (x + an ) = xn + E1 (a)xn−1 + E2 (a)xn−2 + · · · + En (a) Trong E0 (a) = n P i=1 , E2 (a) = P aj , En (a) = a1 a2 an 1≤i , σ1 ≥ , σ2 ≥ Giả sử cho đa thức đối xứng f (x, y) cần phải chứng minh với giá trị thực x, y (hoặc với giá trị khơng âm bất kì, với x + y ≥ a, tùy theo điều kiện toán, đa thức f (x, y) lấy giá trị không âm f (x, y) ≥ 0) Muốn trước hết ta phải thay f (x, y) biểu thức qua σ1 σ2 Rồi đa thức tìm ta thay σ biểu thức qua σ1 số không âm ∆ = σ12 − 4σ2 , tức ta đặt σ2 = (σ12 − ∆) Kết ta thu đa thức σ1 ∆, ta phải chứng minh với giá trị không âm z với điều kiện σ1 cho, đa thức lấy giá trị khơng âm Thơng thường cách làm dễ chứng minh bất đẳng thức cho Ví dụ 1.4 Chứng minh a, b số thực thỏa mãn điều kiện a + b ≥ c c ≥ ta có bất đẳng thức: a2 + b2 ≥ c2 ; a4 + b4 ≥ c4 ; a8 + b8 ≥ c8 128 Lời giải Ta có a2 + b2 = σ12 − 2σ2 = σ12 − 1 σ1 − ∆ = σ12 + ∆ 2 Vì ∆ ≥ theo điều kiện cho σ1 ≥ c, nên a2 + b2 ≥ c2 Áp dụng kết ta 1 2 a +b ≥ c = c 2 1 8 a +b ≥ c = c 128 4 ... Chuyên đề "Hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức" phần quan trọng chương trình Tốn bậc THPT Các tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức xem dạng... Hệ bất phương trình chứa thức Chương trình bày khái niệm, phương pháp giải bất phương trình chứa thức, hệ bất phương trình đối xứng Ngồi chương cịn trình bày số hệ bất phương trình đặc biệt chứa. .. đa thức đối xứng, chương trình bày khái niệm, phương pháp giải phương trình chứa thức, hệ phương trình đối xứng loại 1, loại Ngồi ra, chương cịn trình bày số hệ phương trình đặc biệt chứa thức