PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN “tailieumontoan com” Date 1 HPT dạng + + = + + = + + = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d (I) ∈ =, , ; 1, 2,3i i ia b c i[.]
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN “tailieumontoan.com” I Bài tâp Date a x + b1 y + c 1z = d1 HPT dạng a x + b2 y + c z = d (I) a x + b y + c z = d3 3 1, 2,3 a i , bi , c i ∈ ; i = Sử dụng phương pháp cộng phương pháp ta đưa Ax = B C1 hệ (I) hệ có dạng: A1 x + B1 y = A x + B y + C z = D 2 (hệ tam giác) từ tìm x , y , z x + y + z = Thí dụ Giải HPT x + y + 4z = x + y + 9z = 27 Lời giải Trừ vế với vế (2) (1) ta có: y + 3z = 19 Trừ vế với vế (3) ( ) ta có: y + 5z = Trừ vế với vế (5) (4) ta có: 2z = 12 2z = 12 Ta có hệ y + 3z = , x + y + z = đó: ( x ; y ; z= ) ( 6; −11;6 ) Vậy hệ cho có nghiệm: ( x , y , z= ) ( 6; −11;6 ) x + y = a HPT dạng y + z = b (II) (a , b , c ∈ ) z + x = c Từ (II) suy x + y + z= a + b + c ) * ( () Từ (*) phương trình hệ (II) sử dụng phương pháp cộng phương pháp ta tính x, y, z xy =1 + x y yz Thí dụ Giải HPT = + y z zx =3 z + x Lời giải ĐK: ( x + y )( y + z )(z + x ) ≠ Từ hệ suy xyz ≠ , biến đổi ta nhận hệ : 1 = + x y 1 + = y z 1 + = z x 1 1 + = x y 1 ⇔ + = y z 1 11 + + = x y z 12 −1 = z 12 12 12 1 ⇔ = ⇔ ( x ; y ; z ) = ; ; −12 x 12 y = 12 12 12 Vậy hệ cho có nghiệm: (= x ; y ; z ) ; ; −12 ; x + y + 3z = Thí dụ Giải HPT 2x + y + z = 3x + y + 2z = Lời giải Cộng vế với vế PT hệ ta có: x + y + z = x + y + 3z = Khi ta có hệ 2x + y + z = x + y +z = Trừ vế với vế PT đầu hệ với PT thứ ba ta hệ y + 2z = x + 2y = x + y + z = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Trừ vế với vế PT đầu hệ với PT thứ ba nhận hệ x =1 + z x − z =1 y =z − ⇔ z − y =2 x += y +z 2 +z 1 + z + z −= x= ⇔ y = −1 z =1 Vậy hệ cho có nghiệm: ( x , y , z= ) ( 2; −1;1 ) xy = a HPT dạng yz = b (III) (với abc > ) zx = c Từ (III) suy xyz = ± abc ( * ) ) Từ PT (*) PT (III) tìm x , y , z x + xy + y = Thí dụ Giải HPT y + yz + z = z + zx + x = (Đề thi TS vào khối chuyên toán, chuyên tin trường ĐH KHTN năm 1995) Lời giải Ta có : 3xy − x − y = 13 Thí dụ Giái HPT 3 yz − y − z = 3zx − z − x = (Để thi TS vào lơp chuyên toán, chuyèn tin trường THPT chuyên Humg Yên nãm 2008) Lời giải Ta có : 3xy − x −= 9xy − 3x − y += 10 y 3 yz − y − z = 13 ⇔ yz − y − 3z + = 40 9zx − 3z − −z −x = 3x + 16 3zx = ( 3x − )( y − ) = 10 ⇔ ( y − )( 3z − ) = 40 3z − 3x − = )( ) 16 ( ±80 ⇒ ( 3x − )( y − )( 3z − ) = Làm tương tự thí dụ ta nhận nghiệm ( x ; y ; z ) 7 : ( 1;2;3 ) , − ; − ; − 3 3 Thí dụ Giải HPT x2 y − y + x2 = 2 −4 y − yz − z = 9 x + z − x z = 46 x2 y − y + x2 = −4 Lời giải Ta có : y − yz − z = 9 x + z − x z = 46 x + xy + y = x + xy + y + 1= y + yz + z =3 ⇔ y + yz + z + =4 z + zx = z + zx + x= +x +1 ( x + )( y + ) = ⇔ ( y + )(z + ) = z +1 x +1 = )( ) ( x2 y − y + x2 − = 2 ⇔ y − yz − z + = 9 x + z − x z − 36 = 10 ( ⇒ ( x + )( y + )(z + ) = ±8 ( ) Chia vế với vế PT (1) với PT hệ ta nhận HPT z + =4 z + =−4 sau: x + = x + =−2 y + =−1 y + = Từ tìm nghiệm ( x ; y ; z ) hệ là: ( 1;0;3 ) , ( −3; −2; −5 ) ( ) ( )( ) ) ) ( ) x − ( y + 1) = ⇔ ( y + 1) − z = 2 10 − z x − = ( ⇒ x − ( y + ) − z = ±10 Làm tương tự thí dụ ta nhận nghiệm = (x ; y ;z ) ( ( ( ( )( ) 6;0;2 , − 6;0;2 , )( ) 6;0; −2 , − 6;0; −2 , )( 14 ) , ( − ) 2; −2; 14 , − 2; −2; 14 , 2; −2; − 2; −2; − 14 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ) ( x + y )( y + z ) = 4xy z ( ) Thí dụ Giải HP ( y + z )(z + x ) = yz x ( ) x +z x + y = )( ) 4zx y ( ) ( (Để thi TS vảo khối chuyén toán, chuyên tin trường ĐH KHTN năm 1994) y = Lời giải Nếu x = từ (1) suy y = −z ⇒ (x ; y ;z ) = ( 0;0;0 ) nghiệm HPT Tương tự, y = z = ta ( x ; y ; z ) = ( 0;0;0 ) nghiệm HPT Nếu xyz ≠ nhân vế với vế PT hệ sau đố khai phương vế ta có: ±8x y z ( x + y )( y + z )(z + x ) = 2xz x + y = x + z =−2xz Suy x + y = 2xy x + y = −2xy y + z = yz y + z =−2 yz Từ tìm nghiệm ( x ; y ; z ) hệ : ( 1;1;1 ) , ( −1; −1; −1 ) ( ( ( ) ) ) 6x y + z = 13 yz 5zx Thí dụ Giải HPT 3 y z + x = 2 5xy 6z x + y = (Để thi Olympic 30-4 năm 2000) Lời giải y = Nếu x = từ ( ) ⇒ nghiệm z = Tương tư, y = z = ta tìm thêm (x ;0;0 ) (với x0 tuỳ ý thuộc ) nghiệm Nếu xyz ≠ biến đổi hệ cho ta được: 6xy 6xz 6xy 6xz 13 13 + = + = y z y z 6xy yz 6xy yz + =10 ⇔ + =10 x z x z 6xz yz 6xy 6xz yz 14 y += z + y += x x yz =1 x = x 6xz =⇒ ⇔ xyz =. Suy ra: y =. y 6xy =9 z = z Với xyz > ta có nghiệm HPT nảy là: 1 1 1 1 1; ; , 1; − ; − , −1; ; − , −1; − ; Vậy hệ cho có nghiệm: 1 1 1 1 1; ; , 1; − ; − , −1; ; − , −1; − ; 0;0; , 0; ;0 , ;0;0 , , ∈ z y x x y z ( ) ( ) ( )( 0 ) F (x , y ,z ) = Hệ dạng F ( y , z , x ) = 0 (IV) F z,x , y = ) ( (hệ hốn vị vịng quanh) Thơng thương giải hệ (IV) ta sủ dụng phroong pháp đánh giá, sủ dụng bất đẳng thức, đơi sủ dụng tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số để chúng minh x= y= z , tù tìm nghiệm HPT x − y = Thí dụ Giải HPT y − z = z − x = Lời giải Dễ thấy x , y , z ≥ Do HPT khơng đổi hốn vị vòng quanh x , y , z nên x ≥ y ta giả sử x = max {x , y , z } hay x ≥ z x − y = y= (x − 1)2 Ta có: y − z =1 ⇔ z =(y − 1)2 , x= (z − 1)2 z − x = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ x ≥ y (z − 1)2 ≥ (x − 1)2 ⇒z −1≥x −1⇒z ≥x ⇒x = z Suy y = x Với x= y= z giải PT x − x − = nghiệm x= 3+ thỏa mãn điều kiện x ≥ Vậy HPT có nghiệm x= y= z= 3+ ⋅ x = y *Thí dụ 10 Giải HPT y = z z = x Lòi giải Từ hệ suy x , y , z ≥ Hàm số f (t ) = t đồng biến ( 0; +∞ ) HPT f ( x ) = y cho viết dạng : f ( y ) = z f z = x ( ) Do hệ khơng đổi hốn vị vịng quanh x , y , z nên ta x ≥ y giả sử x = max {x , y , z } hay ≥ x z 2y z = + − y y Thí dụ 12 Giái HPT 2x y = x + 2−x Lời giải ĐK: ≤ x , y , z ≤ (1) Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có : x + − x ≤ 12 + 12 , x + − x = ⇒ x + 2−x ≥1 x 2−x (đẳng thức xày ⇔ = x 1) ⇔ = 1 2 Tương tự: ≥ 1; ≥ y + 2−y z + −z Từ HPT ta có: = y x + 2−x = ≥ z Với x ≥ y ⇒ f ( x ) ≥ f ( y ) ⇒ y ≥ z = ⋅x ≥ x z + −z y + 2−y ⋅z ⋅y ≥ y ⇒ f ( y ) ≥ f (z ) ⇒ z ≥ x ⇒ z = x ⇒ y = z Do x= y= z Giải phương trình x = x ta = x 0,= x Vậy hệ có nghiệm ( x ; y ; z ) là: ( 0;0;0 ) ; ( 1;1;1 ) y − 9x + 27x − 27 = Thí dụ 11 Giải HPT z − y + 27y − 27 = x − 9z + 27z − 27 = Lời giải Cộng vế với vế PT hệ ta được: (x − 3)3 + (y − 3)3 + (z − 3)3 = ( 1) y 6,= z y= z= Nếu x = ta = Dễ thấy có ( x ; y ; z ) = ( 3;3;3 ) thỏa mãn hệ Nếu x > y − 27 = 9x − 27x > ⇒ y > 27 ⇒ y > 3. Tương tự, y > z > , mâu thuẫn với (1) Nếu x < ta suy y , z < , mâu thuẫn với (1) Vậy HPT có nghiệm ( x ; y ; z ) = ( 3;3;3 ) ⇒ x = y = z ⇒ x = y = z = 1 (thỏa mãn) HPT cho) Vậy HPT có nghiệm ( x ; y ; z ) = ( 1;1;1 ) 5, Phương pháp x + y + z = 12 (1) 20 (2) Thí dụ 13 Giải hệ phương trình: x (y + z ) = y(x+ z) = 32 (3) Lời giải Từ (1) , (2) ta có: x = 12 − (y + z) (do y + z ≠ 0) 20 x = y+z ⇒ 12 − (y + = z) 20 ⇒ y += z y+z hc y + z = 10 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ NÕu= y + z ta= cã x 10, y + z =2 y =4,z =−2 ⇒ vËy −6 32 y = 8,z = y(10 + z) = = NÕu y + z 10 = ta cã x 2, y + z= 10 y= 8,z= ⇒ vËy y(2 + z) = 32 y = 4,z = VËy hÖ cã nghiÖm (x,y,z) ∈ {(10;4; −2),(10;8; −6),(2;8;2),(2;4;6)} Lời giải Từ (1) (3) ta có: (x + y + z ) + 2(xy + yz + zx ) = 36 ⇔ 14 + 2(xy + yz + zx ) = 36 ⇔ xy + yz + zx = 11 (4) Từ (2) (4) ta có: xz = , thay vào (1), (2) ta được: y + (x + z ) = ⇒ y = 3, x + z = y (x + z ) = { Ví dụ 14: Giải hệ phương trình : (1) xz =x + 2 y = 7xz − 3x − 14 (2) x + y = 35 − z (3) (Vòng 1,Khối THPT Chuyên – Đại học Sư phạm Hà Nội , Lời giải Từ (1) ta có: = x xz − , thay vào (2) ta được: ⇔ (x + y + z )2 = 144 ⇔ x + y + z =±12 năm học 2006 – 2007) 2y = 7xz − 3(xz − 4) − 14 ⇔ y = 2xz − thay vµo (3) ta cã x + z = 36 − 2xz ⇔ (x + z)2 =36 ⇔ x + z =±6 NÕu x + z = ⇔ z = − x x + xy + xz = 48 Ví dụ 16.Giải hệ phương trình: xy + y + yz = 12 xz + yz + z = 84 Lời giải Cộng vế phương trình ta x + y + z + 2(xy + yz + zx ) = 144 12 ta có: Nếu x + y + z = x (x + y + z ) = 48 y (x + y + z ) = 12 ⇒ x = 4, y = 1, z = z (x + y + z ) = 84 Tương tự x + y + z =−12 ta −4, y = −1, z = −7 x= thay vµo (1) ta cã x − 5x + = ⇒ x = 1;x = NÕu x + z =−6 ⇒ z =−6 − x thay vµo (1) ta cã x (1; −3;5),(1;3;5), (4; 15;2),(4; − 15;2), −7 + 33 ; 33; −5 − 33 , Vậy (x;y;z) ∈ 2 −7 + 33 ; − 33; −5 − 33 2 Ví dụ 15 Giải hệ phương trình x + y + z = (1) (2) xy + yz − zx = x + y + z = 14 (3) (Vòng 1,Khối THPT Chuyên , Đại học Sư phạm Hà Nội , } Từ suy hệ có nghiệm (x ; y ; z ) ∈ ( 2;3;1 ) , ( 1;3;2 ) { } Vậy hệ có nghiệm (x ; y ;z) ∈ ( 4;1; ) , ( −4; −1; −7 ) 5, Phương pháp đánh giá 1 1 x + y + z = Ví dụ 17 Giải hệ phương trình: 2 − = xy z Lời giải Điều kiện: x , y , z ≠ Đặt= a = ,b x 1 ta được: = ,c y z a + b + c = a + b = − c ⇔ 2 2ab − c =4 2ab =4 + c Do a, b nghiệm phương trình: +c2 t − ( − c )t + = ∆ = − (c + ) ≤ ⇒ c = −2 ⇒ a = b = 2 năm học 2005 – 2006) 1 −1 Do hệ có nghiệm ( x ; y ; z ) = ; ; 2 2 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ( ( ( ) ) ) x2 + y = 2x Bài 18 Giải hệ phương trình: y + z = 2y 2z z + x = Lời giải Nếu ba số x, y, z có số 0, chẳng hạn x= 0, dễ dàng suy y = z = Vậy x = y = z = nghiệm hệ Nếu x,y,z ≠ suy x > 0, y > 0, z > nhân vế với vế phương trình hệ ta được: (x )( )( ) + y2 + z + = 8xyz (1) )( )( ( ) 2 8xyz Mặt khác, x + ≥ 2x, y + ≥ 2y, z + ≥ 2z nên x + y + z + = Theo (1) dấu bất đẳng thức phải xảy Từ suy x= y= z= { } Vậy hệ có nghiệm ( x;y;z ) ∈ ( 0;0;0 ) , (1;1;1) 4x 3= 2y + y + Bài 19 Giải hệ phương trình: 4y3= 2z + z + 4z 3= 2x + x + (1) (2) (3) 1 Lời giải Ta có 4x = y + + y + > ⇒ x > tương tự ta có y > 0, z > 2 3 Nếu x > y ⇒ 4x > 4y hay 2y + y + > 2z + z + ⇒ y > z ⇒ 4y3 > 4z hay 2z + z + > 2x + x + ⇒ z > x , vôlis Tương tự y > x vơ lí Vậy x = y Chứng minh tương tự ta có y = z, x = y = z ( ) 2 Thay vào (1) ta được: 4x − 2x − x − = ⇔ ( x − 1) 4x + 2x + = Vậy hệ có nghiệm x = y= z = x = y3 + y + y − 12 Bài 20 Giải hệ phương trình: y = z + z + z − 12 z = x + x + x − 12 Lời giải Xét hàm số f(t) = t + t + t − 12 ta chứng minh f(t) hàm số đồng biến Với t1 ,t mà t1 < t , ta có ( ) f(t1 ) − f(t ) = t13 − t 32 + t12 − t 22 + t1 − t = ( t1 − t ) t12 + t1t + t 22 + t1 + t + = ( t1 − t ) ( t1 + t + 1) + t12 + t 22 + 1 < Do f(t1 ) < f(t ) nên f(t1 ) hàm số đồng biến Nếu x < y f(x) < f(y) hay z < x ⇒ f(z) < f(x) hay y < z ( vơ lí) Tương tự tự y< z vơ lí,do x =⇒ y f(x) = f(y) hay x = z ( ) 2 Vậy x = y = z, từ ta có x + x − 12 =0 ⇔ ( x − ) x + 3x + =0 Vậy hệ có nghiệm x = y = z = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 2y = z y + 3z =x Ví dụ 21 Giải hệ phương trình: z z + + 4x =y x + x + x + Lời giải Dễ nhận thấy ba số x, y , z hai số cịn lại Nếu xyz ≠ , từ suy x, y, z số dương 2y = z; y2 + 3z z(z + z + 1) = z + z + z ≥ 3z ⇒ z ≥ = x; z + z2 + 4x x(x + x + x + 1) = x + x + x + x ≥ 4x ⇒ = y x + x4 + x2 + Ta có y(y + 1) = y + y ≥ 2y ⇒ y ≥ Từ suy x = y = z, thay vào phương trình đầu x = y = z = { } Vậy hệ có nghiệm ( x;y;z ) ∈ ( 0;0;0 ) , (1;1;1) x + y + z = 14 (1) Ví dụ 22 Giải hệ phương trình: 1 x y z (2) + + 2x 3y 6z + + = Lời giải 1 x y x z z y (2) ⇔ + + ( 3x + 2y + z ) = 36 ⇔ + + + + + = 22 x y z y x z x y z Mặt khác so x, y, z > 0, áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: x y x z z y + + + + + ≥ 6.2 + 3.2 + 2.2 = 22 y x z x y z Đẳng thức xảy x = y = z > Hệ có nghiệm (x; y; z) = (2; 2; 2) (1) x + y + z =6 Ví dụ 23 Giải hệ phương trình: 4 6xyz (2) x +y +z = Hướng dẫn giải 2 Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ 2ab ta có a + b + c2 ≥ ab + bc + ca ⇒ x + y + z ≥ x y2 + y2 z + z 2x 2 Mặt khác x y + y z + z x ≥ xy z + yz x + zx= y xyz(x + y + z) 4 ⇒ x + y + z ≥ xyz(x = + y + z) 6xyz (do x= + y + z 6) Theo đề bài, dấu xảy ra, nên x = y = z = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 4x − y + 4z = Giải HPT x + y − 2z = −x + y − 2z = xy = x + y yz Giải HPT = y + z zx = z+ x ĐS: ( x ; y ; z ) = ( 1;4;9 ) x + xy + y = Giải HPT y + yz + z = z + zx + x = (Dề thi DH Thuơng mai 1997) ĐS: ( x ;= y ;z ) ( 1;0;4 ) , ( −3; −2; −6 ) x yz = Giải HPT y xz = z xy = 16 27 32 ĐS: ( x ; y ; z ) = ; ; 3 x ( x + y + z ) = − yz Giải HPT y ( x + y + z ) = − zx ĐS: (= x ; y ; z ) ( 0;1;2 ) , ( 0; −1; −2 ) z x + y + z = − xy ) ( x + x + x − = y Giải HPT y + y + y − = z ĐS: ( x ; y ; z ) = ( 1;1;1 ) x z + z + z − = y − 6x + 12x − = iải HPT z − y + 12 y − = ĐS: ( x ; y ; z ) = ( 2;2;2 ) x − 6z + 12z − = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ...Trừ vế với vế PT đầu hệ với PT thứ ba nhận hệ x =1 + z x − z =1 y =z − ⇔ z − y =2 x += y +z 2 +z 1 + z + z −= x=... F (x , y ,z ) = Hệ dạng F ( y , z , x ) = 0 (IV) F z,x , y = ) ( (hệ hốn vị vịng quanh) Thơng thương giải hệ (IV) ta sủ dụng phroong pháp đánh giá, sủ dụng bất đẳng thức, sủ dụng... Thí dụ Giải HPT y − z = z − x = Lời giải Dễ thấy x , y , z ≥ Do HPT không đổi hốn vị vịng quanh x , y , z nên x ≥ y ta giả sử x = max {x , y , z } hay x ≥ z x − y = y= (x − 1)2