Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Năm 2016 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ax + b = ax + b = (1) Hệ số Kết luận a≠0 (1) có nghiệm b≠0 (1) vô nghiệm b=0 (1) nghiệm với x a=0 Chú ý: Khi a ≠ (1) gọi phương trình bậc ẩn BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < Biện luận Điều kiện Kết tập nghiệm  b  a   b  S =  − ; +∞   a   b  a   b  x ∈  − ; +∞   a  S =  −∞; − a>0 a0 (1) có nghiệm phân biệt ∆=0 (1) có nghiệm kép ∆ 0, ∀x ∈ R ∆ 0, ∀x ∈ R \  −   2a  Giải bất phương trình bậc hai ∆>0 Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai để giải a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞) a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2) II CÁC DẠNG TOÁN Dạng toán 1: Giải biện luận phương trình bất phương trình HT1 Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: 1) (m + 2)x − 2m = x − 2) m(x − m ) = x + m − 3) m(x − m + 3) = m(x − 2) + 4) m (x − 1) + m = x (3m − 2) 5) (m − m )x = 2x + m − 6) (m + 1)2 x = (2m + 5)x + + m HT2 Giải bất phương trình sau: (2x − 5)(x + 2) 1) >0 −4x + 4) 3x − >1 x −2 2) x −3 x +5 > x +1 x −2 3) x − − 2x < x +5 x −3 5) 2x − ≥ −1 2−x 6) ≤ x − 2x − HT3 Giải biện luận bất phương trình sau: 1) m(x − m ) ≤ x − 2) mx + > 2x + 3m 4) mx + > m + x 3) (m + 1)x + m < 3m + 5) m(x − 2) x − m x + + > 6) − mx < 2(x − m ) − (m + 1)2 HT4 Giải biện luận bất phương trình sau: 2x + m − mx − m + 1) 2) >0 Giải biện luận phương trình sau: 1) x + 5x + 3m − = 2) 2x + 12x − 15m = 3) x − 2(m − 1)x + m = 4) (m + 1)x − 2(m − 1)x + m − = 5) (m − 1)x + (2 − m )x − = 6) mx − 2(m + 3)x + m + = HT6 Giải biện luận bất phương trình sau: 1) x − mx + m + > HT7 2) (1 + m )x − 2mx + 2m ≤ 3) mx − 2x + > Trong phương trình sau, tìm giá trị tham số để phương trình: i) Có nghiệm ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm với x ∈ R Page 2) (m + 2m − 3)x = m − 1) (m − 2)x = n − 3) (mx + 2)(x + 1) = (mx + m )x 4) (m − m )x = 2x + m − HT8 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: a) m 2x + 4m − < x + m b) m 2x + ≥ m + (3m − 2)x c) mx − m > mx − d) − mx < 2(x − m ) − (m + 1)2 Dạng toán 2: Dấu nghiệm số phương trình bậc hai ax + bx + c = (a ≠ 0) (1) ∆ ≥ • (1) có hai nghiệm dấu ⇔  P > ∆ ≥ ∆ ≥    • (1) có hai nghiệm dương ⇔ P > • (1) có hai nghiệm âm ⇔ P >   S > S < Chú ý: Trong trường hợp yêu cầu hai nghiệm phân biệt ∆ > • (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < Bài tập HT9 Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt 1) x + 5x + 3m − = 2) 2x + 12x − 15m = 3) x − 2(m − 1)x + m = 4) (m + 1)x − 2(m − 1)x + m − = 5) (m − 1)x + (2 − m )x − = 6) mx − 2(m + 3)x + m + = 7) x − 4x + m + = 8) (m + 1)x + 2(m + 4)x + m + = Dạng toán 3: Áp dụng định lý Viet a Biểu thức đối xứng nghiệm số b c Ta sử dụng công thức S = x1 + x = − ; P = x 1x = để biểu diễn biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 a a theo S P Ví dụ: x12 + x 22 = (x1 + x )2 − 2x1x = S − 2P   x 13 + x 23 = (x1 + x ) (x1 + x )2 − 3x1x  = S (S − 3P ) b Hệ thức nghiệm độc lập tham số Để tìm hệ thức nghiệm độc lập tham số ta tìm: b c S = x1 + x = − ; P = x 1x = a a (S, P có chứa tham số m) Khử tham số m S P ta tìm hệ thức x1 x2 c Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có nghiệm u v phương trình bậc hai có dạng: x − Sx + P = , S = u + v, P = uv Bài tập HT10 Gọi x1, x nghiệm phương trình Không giải phương trình, tính: Page A = x12 + x 22 ; B = x13 + x 23 ; C = x14 + x 24 ; D = x1 − x ; E = (2x1 + x )(2x + x1 ) 1) x − x − = 2) 2x − 3x − = 3) 3x + 10x + = 4) x − 2x − 15 = 5) 2x − 5x + = 6) 3x + 5x − = HT11 Cho phương trình: (m + 1)x − 2(m − 1)x + m − = (*) Xác định m để: 1) (*) có hai nghiệm phân biệt 2) (*) có nghiệm Tính nghiệm 3) Tổng bình phương nghiệm HT12 Cho phương trình: x − 2(2m + 1)x + + 4m = (*) 1) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 2) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m 3) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x 23 4) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm 5) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 , x 22 HT13 Cho phương trình: x − 2(m − 1)x + m − 3m = (*) 1) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm lại 2) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m 3) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x 22 = HD: a) m = 3; m = b) (x1 + x )2 − 2(x1 + x ) − 4x1x − = c) m = –1; m = HT14 Cho phương trình: x − (m − 3m )x + m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại HD: a) m = 0; m = b) x = 1; x = − 7; x = −5 − Page BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa tính chất A A ≥ • A =  A < −A • A.B = A B • A ≥ 0, ∀A • A = A2 • A + B = A + B ⇔ A.B ≥ • A − B = A + B ⇔ A.B ≤ • A + B = A − B ⇔ A.B ≤ • A − B = A − B ⇔ A.B ≥ A < −B A > B ⇔  A > B Với B > ta có: A < B ⇔ −B < A < B ; Cách giải Để giải phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ a) Phương trình: f (x ) ≥   C g(x ) ≥ C    = f ( x ) g ( x )  ⇔  f (x ) = g(x ) • Dạng 1: f (x ) = g(x ) ⇔    f (x ) <  f (x ) = −g(x )   −f (x ) = g(x )  C2  C1 f (x ) = g (x ) 2 • Dạng 2: f (x ) = g (x ) ⇔  f (x ) = g(x ) ⇔   f (x ) = −g(x ) • Dạng 3: a f (x ) + b g(x ) = h(x ) Đối với phương trình có dạng ta thường dùng phương pháp khoảng để giải b) Bất phương trình g(x ) > • Dạng1: f (x ) < g (x ) ⇔  −g(x ) < f (x ) < g(x )  g( x) <  f ( x) coù nghóa   f ( x) > g( x) ⇔ g( x) ≥ • Dạng 2:   f ( x) < −g( x)    f ( x) > g( x)   Chú ý: • A = A ⇔ A ≥ ; A = −A ⇔ A ≤ • Với B > ta có: A < B ⇔ −B < A < B ; A < −B A > B ⇔  A > B • A + B = A + B ⇔ AB ≥ ; A − B = A + B ⇔ AB ≤ Bài tập HT15 Giải phương trình sau: x + 6x + = 2x − 1) 2x − = x + 2) 3) x − x + = 4) 4x − 17 = x − 4x − 5) x − 4x − = 4x − 17 6) x − − x + 2x + = 2x + Page 7) x + − x − 2x − = x − x − HT16 Giải phương trình sau: 1) 4x + = 4x + 8) x − + x + + x − = 14 2) 2x − = − 2x 4) x − 2x − = x + 2x + 3) x − + 2x + = 3x 5) 2x − + 2x − 7x + = 6) x + + − x = 10 HT17 Giải phương trình sau: 2) x + 4x + x − 2x = 4x + 1) x − 2x + x − − = HT18 Giải bất phương trình sau 1) x − 2x − < x + 2) 2x + x − ≥ 2x + 3) x − 5x + ≤ x + 6x + 4) x + x − < 2x + x − BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU CĂN THỨC Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế – Đặt ẩn phụ Chú ý: Khi thực phép biến đổi cần ý điều kiện để xác định I Biến đổi tương đương a Phương trình:   f (x ) = g (x ) Dạng 1: f (x ) = g (x ) ⇔  g(x ) ≥   f (x ) = g(x ) Dạng 2: f (x ) = g(x ) ⇔    f (x ) ≥ (hay g(x ) ≥ 0) Dạng 3: f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = g (x ) Dạng 4: f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = (g(x )) b Bất phương trình  f (x ) ≥  • Dạng 1: f (x ) < g (x ) ⇔ g (x ) >   f (x ) < g(x )    g(x ) <   f (x ) ≥  • Dạng 2: f (x ) > g(x ) ⇔  g(x ) ≥    f (x ) > g(x )  Bài tập HT19 Giải phương trình sau: 1) 2x − = x − 2) 5x + 10 = − x Page 3) x − 2x − = 4) x + x − 12 = − x 5) x + 2x + = − x 6) 3x − 9x + = x − 8) 3x − 9x + = x − 8) (x − 3) x + = x − HT20 Giải bất phương trình sau: 1) x + x − 12 < − x 2) x − x − 12 < − x 3) −x − 4x + 21 < x + 4) x − 3x − 10 > x − 5) 3x + 13x + ≥ x − 6) 2x + 6x + > x + 7) x + − − x > 2x − 8) − x > − x − −3 − 2x 9) 2x + + x + ≤ HT21 Giải phương trình: 1) 2) +x − 2−x = 3) x + x + = 4) x + = − 2x + 5) + x + − x = 6) 3x + − 2x + = x + x2 + − x2 − = 2) 3x + 5x + − 3x + 5x + = 4) x + x − + x + 8x − = 3x + + x + = HT22 Giải phương trình sau: 1) 3) 1+ x + 1− x = 6) − x + + + x + = 5) 5x + − 5x − 13 = HT23 Giải bất phương trình sau: 1) x − 4x ≤2 3−x 3) (x + 3) x − ≤ x − 2) −2x − 15x + 17 ≥0 x +3 4) −x + x + −x + x + ≥ 2x + x +4 HT24 Giải bất phương trình sau: 1) x + ≤ x + 2) 3 2x + ≥ 3x − 3) x + > x − HT25 Giải phương trình sau: 1) x + + x + 10 = x + + x + 2) x + + x + + x + = 3) x + + 3x + = x + 2x + 4) 5) x + 2x + 2x − = 3x + 4x + 6) − x = − x − −5 − 2x 7) 12 − x + 14 + x = x3 + + x + = x2 − x + + x + x +3 8) x − + x − = 2x − Page II Đặt ẩn phụ t = f (x ), t ≥  Dạng 1: af (x ) + b f (x ) + c = ⇔  at + bt + c =  Dạng 2: f (x ) + g (x ) = h(x ) Dạng 3: f (x ) ± g (x ) + f (x ).g (x ) = h(x ) f (x ) ± g (x ) = k (k = const ) Đặt t = f (x ) ± g(x ), HT26 Giải phương trình sau: 1) x − 6x + = x − 6x + 2) (x − 3)(8 − x ) + 26 = −x + 11x 3) (x + 4)(x + 1) − x + 5x + = 4) (x + 5)(2 − x ) = x + 3x 5) x + x + 11 = 31 6) x − 2x + − (4 − x )(x + 2) = HT27 Giải phương trình sau: 1) x + + − x = + (x + 3)(6 − x ) 2) 2x + + x + = 3x + (2x + 3)(x + 1) − 16 3) x − + − x − (x − 1)(3 − x ) = 4) − x + + x − (7 − x )(2 + x ) = 5) x + + − x + (x + 1)(4 − x ) = 6) 3x − + x − = 4x − + 3x − 5x + 7) + 8) x − x2 = x + − x x + − x = −x + 9x + HT28 Giải bất phương trình sau: 1) (x − 3)(8 − x ) + 26 > −x + 11x 3) (x + 1)(x + 4) < x + 5x + 28 2) (x + 5)(x − 2) + x (x + 3) > 4) 3x + 5x + − 3x + 5x + ≥ HT29 Giải phương trình sau: 1) 2x − + 2x − + 2x + + 2x − = 14 2) x + − x +1 + x + −2 x +1 = 3) 2x − 2x − − 2x + − 2x − + 2x + − 2x − = Page Dạng 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Là phương pháp sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu phương trình với ẩn phụ hệ số chứa ẩn x ban đầu Bài tập: 1) x − = 2x x − 2x 2) (4x − 1) x + = 2x + 2x + 3) x − = 2x x + 2x 4) x + 4x = (x + 2) x − 2x + Dạng 7: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình hệ đối xứng: + ax + b = c(dx + e )2 + αx + βy với d = ac + α, e = bc + β Đặt: dy + e = ax + b + ax + b = c(dx + e)3 + αx + β với d = ac + α, e = bc + β Đặt: dy + e = ax + b Bài tập HT30 Giải phương trình sau: 1) 3x + = −4x + 13x − 2) x + = 3 3x − 3) x + = x + 4x + 4) 5) x + = 23 2x − 4x + = 7x + 7x , x > 28   3 6) x 35 − x x + 35 − x  = 30   III Phương pháp trục thức Bài tập HT31 Giải phương trình sau: 1) x + 3x + = (x + 3) x + 3) x −1 + x = x3 − 5) (2 − x )(5 − x ) = x + (2 − x )(10 − x ) 7) 9) 11) 2) x + 12 + = 3x + x + 4) 2x + x + + 2x − x + = x + 6) − 10 − 3x = x − x + = x − + 2x − 8) 2x + 16x + 18 + x − = 2x + 10) x − + 3x − = 3x − x + 15 = 3x − + x + 3x − 5x + − x − = 3(x − x − 1) − x − 3x + IV Phương pháp xét hàm số HT32 Giải phương trình sau: 1) 4x − + 4x − = 2) x − = −x − 4x + 3) x −1 + x − = 4) 2x − + x + = − x V Phương pháp đánh giá 1) x − 2x + + x − = 3) − x2 + −  1 = − x −  x   x2 2) 7x − 11x + 25x − 12 = x + 6x − 4) x −2 x −1 + x + − x −1 = Page VI Các toán liên quan đến tham số HT1 Cho phương trình x +4 x −4 +x + x −4 = m a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm Đ/s: x = 4; m ≥ HT2 Tìm tham số để phương trình 3x + 2x + = m(x + 1) x + có nghiệm thực Đ/s: m < −3 ∪ m ≥ 2 HT3 Cho phương trình x + + − x − (x + 1)(3 − x ) = m a Giải phương trình m = b Tìm m để phương trình có nghiệm Đ/s: x = −1; x = 3.2 − ≤ m ≤ HT4 Tìm tham số thực m để bất phương trình x − 4x + ≥ x − 4x + m có nghiệm thực đoạn 2; 3 Đ/s: m ≤ −1 HT5 Tìm m để phương trình x − − x − + x − x − + = m có hai nghiệm thực phân biệt Đ/s: HT6 Tìm m để phương trình m x − 2x + = x + có hai nghiệm phân biệt Đ/s: m ∈ (1; 10) HT7   Tìm m để phương trình m  + x − − x + 2 = − x + + x − − x có nghiệm thực Đ/s:    −   m ∈ −2 5;    HT8 Cho phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) x +1 = m Với giá trị m phương trình có nghiệm x −3 Đ/s: m ≥ −4 Page 10 ÔN TẬP I BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG HT1 Giải phương trình sau: ± 29 ± 13 ,x = 2 x − = x − 5x − 2x + Đ/s: x = −1, x = x − 3x + = 2x + Đ/s: x = 2, x = x2 −1 + x = Đ/s: x = 0, x = ±1 x + + x − = + − x2 Đ/s: x = 0, x = ±2 − 2x − x = + 3x + x − HT2 ( ) Đ/s: x = − 23 ,x = 23 Giải phương trình sau: 14 −x + 4x − = 2x − Đ/s: x = − x + x x + = − 2x − x Đ/s: x = −1 3x + x − x + = −2 x − 2x + = 2x − Đ/s: x = ∪ x = + x + x + 6x + 28 = x + Đ/s: x = ∪ x = x − 4x + 14x − 11 = − x Đ/s: x = −2 ∪ x = x + 5x + 12x + 17x + = 6(x + 1) Đ/s: x = − 3x − − x + = Đ/s: x = 9 3x + + x + = Đ/s: x = 10 x +8− x = x +3 Đ/s: x = 11 5x + + 2x + = 14x + Đ/s: x = − ; x = 12 x (x − 1) + x (x + 2) = x Đ/s: x = ∪ x = 13 x + 14x − 49 + x − 14x − 49 = 14 Đ/s: x = 14 3x + − 3x + = 5x − − 5x − Đ/s: x = 15 x + + 3x + = x + 2x + Đ/s: x = 16 10x + + 3x − = 9x + + 2x − Đ/s: x = 17 x2 + + x2 + = x2 + x + + x2 + x + Đ/s: x = −1 18 5 − x2 + − x2 + − x2 − 1− x2 = x + 4 Đ/s: x = 19 2x − 2x − − 2x + − 2x − + 2x + − 2x − = Đ/s: x = 1; x = 20 x3 + + x + = x2 − x + + x + x +3 Đ/s: x = ± Đ/s: x = −1 −1 ± 13 ∪x = 5 Page 11 21 x− 1 = − x x x Đ/s: x = 22 2x + + 2x + + 2x + = 23 Đ/s: x = −1 3x − + 2x − = 5x + Đ/s: x = 24 x + + x + + x + = HT3 Đ/s: x = Giải phương trình sau (nhóm nhân tử chung) (x + 3) 10 − x = x − x − 12 3 x + − x = x − + −x + 8x − + Đ/s: x = −3 x + + x + = + x + 3x + Đ/s: x = 0; x = −1 x + 10x + 21 = x + + x + − x + 3x + x + = 2x + x + Đ/s: x = 5; x = Đ/s: x = 1; x = +5 x Đ/s: x = 1; x = x − x − − (x − 1) x + x − x = Đ/s: x = 2x − 6x + 10 − 5(x − 2) x + = Đ/s: x = 3; x = 8 x + + 2x x + = 2x + x + 4x + Đ/s: x = 0; x = x + + 2(x + 1) = x − + − x + − x Đ/s: x = 10 x + 3x + 2(3 x + − x + 2) = ( Đ/s: x = − ) Giải phương trình sau: A2 + B = HT4 HT5 19 30 x + = x − 5x + 14 Đ/s: x = x − x + = − 3x Đ/s: x = −1 x − 2x x − 2x + 16 + 2x − 6x + 20 = Đ/s: x = x + x + + − 2x = 11 Đ/s: x = 13 x − + x + = 16x Đ/s: x = x + + − x + (x + 1)(9 − x ) − x − 2x + 10x + 38 = Đ/s: x = x − 2(x + 1) 3x + = 2x + 5x + − 8x − Đ/s: x = 4x + 12 + x − = x 5x − + − 5x ( ) Giải bất phương trình sau (nhân liên hợp) x + + = 4x + 3x Đ/s: x = 2x − − x = 2x − Đ/s: x = 3 x − + − x = 2x − 5x − Đ/s: x = 10x + + 3x − = 9x + + 2x − Đ/s: x = ( )( 3(2 + x − 2) = 2x + x + 1+x +1 ) + x + 2x − = x Đ/s: x = Đ/s: x = 3; x = 11 − Page 12 9 ( ) Đ/s: x = 4x + − 3x − = x + 3x − 5x + − x − = 3(x − x − 1) − x − 3x + Đ/s: x = (x + 1) x − 2x + = x + Đ/s: x = ± 10 (3x + 1) x + = 3x + 2x + Đ/s: x = ±1 11 (x + 3) 2x + = x + x + Đ/s: x = 0; x = −5 + 13 12 + x − = x + 2x − x x x 13 x + − x = x2 − x − Đ/s: x = Đ/s: x = 14 x + 24 + 12 − x = 3± Đ/s: x = −24; x = −88 15 2x − 11x + 21 = 3 4x − HT6 Giải bất phương trình sau: Đ/s: x = ( ) ( ) 3x + < x + 7x Đ/s: x ∈ −∞; −5 − ∪ −5; −5 + ∪ (1; +∞) x + 8x − < 2x + Đ/s: x ∈ (−5 + 5;1) 2x − 3x − 10 ≥ − x 2x − < x − 3x − HT7 2x + ≥x +5 x −1 x + −1 ≥ x +2   + 37  − 37    Đ/s: x ∈ −∞; ; +∞ ∪ 1 − 2;1 +  ∪     2       + 57   Đ/s: x ∈ (−∞; −3) ∪ (−1; 4) ∪  ; +∞   ( ) Đ/s: x ∈ −∞; −1 −  ∪ −3 + 15;1 ∪ (1; −1 + 7)   ( Đ/s: x ∈ [ − 5; −4) ∪ −2;2 −   Giải bất phương trình sau:  3 Đ/s: x ∈ − ; −  ∪ 2; +∞)    4 2x + ≤ 4x − 3x − x − x − 12 < x −x + 4x − > 2x − 5x − 2x − ≥ − x 3  Đ/s: x ∈ (−∞; −3) ∪  ; +∞ 2   x + + 2x + > Đ/s: x ∈ (0; +∞) x + − − x < − 2x Đ/s: x ∈ [ − 2;2) 7x + − 3x − ≤ 2x + 5x + − 4x − ≤ x Đ/s: x ∈ 9; +∞) 1  Đ/s: x ∈  ; +∞ 4     5x + − − x ≤ x + x ∈ − ; 3     Đ/s: x ∈  4; +∞)  14  Đ/s: 1;     Đ/s:   x −1 x −2 −2 ≥ x ∈ − ; 0 x x  12  Page 13 −x + x + −x + x + ≥ 2x + x +4  2x +  11 x −  10x − 3x − ≥  2x −  Đ/s: x ∈ −2; −1 ∪ x = 10  5 Đ/s: x = ∪ x ∈  ;     12 51 − 2x − x 1 16 x + 3x + + x + 6x + ≤ 2x + 9x + Đ/s: x = 1; x = −5 17 x − 4x + − 2x − 3x + ≥ x −  1 Đ/s: x ∈ −∞;  ∪ x =   18 x − 3x + + x − 4x + ≥ x − 5x + Đ/s: x ∈ 4; +∞) ∪ x = HT8 Giải bất phương trình sau (nhân liên hợp) 2x (3 − (1 + 1+x ( Đ/s: x ∈ −1; 8) > x −4 ) 6x  7 Đ/s: x ∈ − ;  \ {0}   2  < x + 21 ) + 2x x2 2 x2 (x + − x +1 < x + 3x + 18 ) ( 4(x + 1)2 < (2x + 10) − + 2x ( )   x + − x − 1 + x + 2x −  ≥   )   Đ/s: x ∈ − ; 3 \ {1}    Đ/s: x ≥ x − 3x + + x − 4x + ≥ x − 5x + Đ/s: x ≥ ∪ x = Đ/s: x ∈ (0;  + 2x + ≥ 2x + 17 x 2x + 3x + 6x + 16 − − x > ( 10 9(x + 1) ≤ (3x + 7) − 3x + 11 − + 2x − ≥ x x x ) Đ/s: x ∈ (−1; 3) \ {0} (x + 1)2 ( Đ/s: x ∈ 10 + 5; +∞ > 2x + x − + ) 2x + + ) ) Đ/s: x ∈ (1; 4   Đ/s: x ∈ − ; −1    { Đ/s: x ∈ −2; 0) ∈ + } Page 14 12 12x − 2x + − 2 − x > 9x + 16 13 x2 + x + + x2 − ≤ x +4 x2 + 14 (x − 1) x − 2x + − 4x x + ≥ 2(x + 1) 15 − x + 3x + >1 1− x2 − x + x (x + − x ) 16 x x + 1− x2 − x3 17 HT9 ≥1 2x + 11x + 15 + x + 2x − ≥ x +     Đ/s: x ∈ −2;  ∪  ;2      Đ/s: x ∈ − 3;    Đ/s: x ∈ (−∞; −1  13 −  ; +∞ Đ/s: x ∈ (−∞; −2 ∪    −1 Đ/s: x =   7 3 Đ/s: −∞; −  ∪  ; +∞    2 2  Giải phương trình sau (Đặt ẩn phụ không hoàn toàn): (x + 1) x − 2x + = x + Đ/s: x = ± 2 x + (3 − x + 2)x = + x + Đ/s: x = ± 14 (3x + 1) 2x − = 5x + x −      2x + − 1 = x 1 + 3x + 2x +       Đ/s: x = ±1; x = 5 2x + + − x = 9x + 16 Đ/s: x = x + − = 3x + − x + − x Đ/s: x = − ; x =   2 + x − − x  − − x = 3x +   Đ/s: x = x + 2(x − 1) x + x + − x + = Đ/s: x = 0; x = −1 (x + 1) x − 2x + = x + Đ/s: x = ± 10 6x − 10x + − (4x − 1) 6x − 6x + = Đ/s: x = 59 − 10 Đ/s: x = HT10 Giải phương trình sau (Đặt ẩn phụ): 2x + 4x + = − x − 2x Đ/s: x = −2; x = x + + − x + (x + 2)(5 − x ) = Đ/s: x = 2x + + x + = 3x + 2x + 5x + − 16 Đ/s: x = (x + 1)2 = − x 2x + x + 2x x − x + = 3x + x 2x −1 = 2x + 3±3 Đ/s: x = − ∪ x = Đ/s: x = −1 1± Đ/s: x = − 2 2x − 6x + = x + Đ/s: x = ± 13 2x + 5x − = x − Đ/s: x = ± Page 15 x − 4x − = x + Đ/s: x = −1 ∪ x = 10 2x − 6x − = 4x + 5 + 29 Đ/s: x = − ∪ x = + HT11 Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ chuyển hệ): − x + x −1 = 2 x + = 23 2x − 3x + 6x − = x − 4x − = x + Đ/s: x = −1; x = 2x − 6x − = 4x + Đ/s: x = − 2; x = + (x + 2)2 − (4 − x )2 + 3 (2 − x )2 = (x + 3) −x − 8x + 48 = x − 24 Đ/s: x = 0; x = Đ/s: x = 1; x = x +7 Đ/s: x = (2 − x )2 + (7 + x )2 − (7 + x )(2 − x ) = −1 ± −5 + 73 −7 − 69 ;x = 6 + 29 Đ/s: x = −6; x = Đ/s: x = −2 − 7; x = −5 − 31 1 + =2 x 2−x HT12 Giải bất phương trình sau (Đặt ẩn phụ): Đ/s: x = 1; x = −1 − (x + 1)(x + 4) < x + 5x + 28 Đ/s: x ∈ (−9; 4) x (x − 4) −x + 4x + (x − 2)2 < Đ/s: x ∈ − 3;2 + ( 7x + + 7x − + 49x + 7x − 42 < 181 − 14x 6  Đ/s: x ∈  ;6   − x + x + + ≤ −x + x + Đ/s: x ∈ −2; −1 ∪ 2; 3 x +4 + x −4 ≤ x + x − 16 −  145  Đ/s: x ∈  ; +∞  36   3x + 6x + < − 2x − x Đ/s: x ∈ (−2; 0) 1  Đ/s: x ∈ (−∞; 0) ∪  ; +∞   2 3x − x ≥ +1 x 3x − (x + 1)(x − 3) −x + 2x + < − (x − 1)2 x+ x x2 −1 10 1 − x2 +1> > ) ( Đ/s: x ∈ − 3;1 + ) 35 12  5 5  Đ/s: x ∈ 1;  ∪  ; +∞     3x      ∪  ;1 Đ/s: x ∈ −1;      1− x2 HT13 Giải phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu hàm số) +3 = 14 3−x 2−x Đ/s: x = 3x + + x + 7x + = Đ/s: x = 4x + x − (x + 1) 2x + = x = 1+ Đ/s: x = −1 + 21 Page 16 x (4x + 1) + (x − 3) − 2x = (2x + 3) 4x + 12x + 11 + 3x (1 + 9x + 2) + 5x + = + 2x − x + − 2x − x = 2(x − 1)4 (2x − 4x + 1) Đ/s: x = − Đ/s: x = 0; x = x + = 23 2x − Đ/s: x = 1; x = −1 ± 8x − 36x + 53x − 25 = 3x − Đ/s: x = 2; x = 5± x − 15x + 78x − 141 = 2x − Đ/s: x = 4; x = 11 ± 10 2x + x − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Đ/s: x = 3± HT14 Giải bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu hàm số) x +1 > 3− x +4 Đ/s: x ∈ (0; +∞) 5x − + x + ≥ Đ/s: x ∈ 1; +∞) ( ) 2(x − 2) (x + 2) x + > 27x − 27x + 12x − 3 − 2x + 4x − + 2x + ≥ 3x − 2x − − 2x ≤ Đ/s: x ≥  7 Đ/s: x ∈ −1;      3 Đ/s: x ∈ 1;   2   Page 17 TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM HT15 Giải bất phương trình: 1) (B – 2012) x + + x − 4x + ≥ x 2) (A – 2010) x− x − 2(x − x + 1) 3) (A – 2005) 4) (A – 2004) ≥1 5x − − x − > 2x − 2(x − 16) −x + x −3 > x −3 x −3 5) (D – 2002) (x − 3x ) 2x − 3x − ≥  1 Đ/s: 1) 0;  ∪ [4; +∞)    4 2) x = 3− 3) < x < 10 5) x < − ∪ x = ∪ x ≥ HT16 Giải phương trình sau: 4) x > 10 − 34 1) (B – 2011) + x − − x + 4 − x = 10 − 3x 2) (B – 2010) 3x + − − x + 3x − 14x − = 3) (A – 2009) 3x − + − 5x − = 4)(D – 2006) 2x − + x − 3x + = 5) (D – 2005) x + + x + − x + = Đ/s: 1) x = 2) x = 3) x = −2 4) x = − 5) x = Page 18 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Hệ phương trình bậc hai ẩn Giải biện luận: a x + b y = c  1 (a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0)  a2x + b2y = c2  a b – Tính định thức: D = 1 , a2 b2 c b Dx = 1 , c2 b2 a c Dy = 1 a2 c2 Xét D Kết D≠0 D=0 Hệ có nghiệm Dx ≠ Dy ≠ Dx = Dy = Hệ vô nghiệm Hệ có vô số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn • Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn • Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại  f (x , y ) = Hệ có dạng: (I)  (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x))  g (x , y ) = (Có nghĩa ta hoán vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi) • Đặt S = x + y, P = xy • Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P • Giải hệ (II) ta tìm S P • Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X − SX + P = Hệ đối xứng loại  f (x , y ) = (1) Hệ có dạng: (I)   (2)  f (y, x ) = (Có nghĩa hoán vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) • Trừ (1) (2) vế theo vế ta được:  f (x, y ) − f (y, x ) = (I) ⇔    f (x, y ) = • Biến đổi (3) phương trình tích: • Như vậy, (3) (1) x = y (3) ⇔ (x − y ).g(x , y ) = ⇔  g(x, y ) =   f (x , y ) = x = y  (I) ⇔   f (x , y ) =  g(x, y ) =  • Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) Hệ đẳng cấp bậc hai  2 a x + b1xy + c1y = d1 Hệ có dạng: (I)  a x + b xy + c y = d 2  Page 19 • Giải hệ x = (hoặc y = 0) • Khi x ≠ 0, đặt y = kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Chú ý: – Ngoài cách giải thông thường ta sử dụng phương pháp hàm số đểgiải (sẽ học lớp 12) – Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm (x ; y ) (y ; x ) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x = y BÀI TẬP HT1 Giải hệ phương trình sau: x + xy + y = 11  1)  x + y − xy − 2(x + y ) = −31  x + y =  2)  x + xy + y = 13  xy + x + y =  3)  x + y + x + y =   3 3 x + x y + y = 17 5)  x + y + xy =   2 x + x y + y = 481 6)  x + xy + y = 37  Đ/s: 1) 2) 3) 4) 5) 6)  x − 2y = 2)  2x + xy − y =   2 2x + 4y + x = 19 3)  x + y + y =   x y  + = 13 4)  y x  + = x y  HT2 Giải hệ phương trình sau: x + 2y = −1  1)  x + 3y − 2x =  Đ/s: 1) (1; −1);(− ; − ) 7    − 33 + 33   + 33 − 33   ;   3) (1;2); − ; −  ;  ; ;     2   4 4   2) (2;1) HT3 Giải hệ phương trình sau (đẳng cấp bậc 2)    2 2 x − xy + y = x + xy − y = −1 x − 4xy + y = 2)  3)  1)  x − 2xy − 3y = 2x − xy + 3y = 12 y − 3xy =    x − 3xy + y = 3x + 5xy − 4y = 38 4)  5)  2x − xy − y = 5x − 9xy − 3y = 15          7    ;   Đ/s: 1) (3;1);(−3; −1);  ; −  ; − ; 2) (1;2);(−1; −2); − ; ;−      3   31 31   31 31   3) (−1; −4),(1; 4) HT4 4) (−1;1),(1; −1) 5) (−3; −1),(3;1) Giải hệ phương trình sau (đối xứng loại 1) xy(x + 2)(y + 2) = 24  1)  x + y + 2(x + y ) = 11   3 x + y = 12(x + y ) 2)  x − y =   2 x + y + x + y = 4)  x (x + y + 1) + y(y + 1) =   x + 4x + y = 5)  x (x + 3)(x + y ) = 12   2 x + y + xy = 13 7)  x + y + x 2y = 91  x y + y x =  8)  x 2y + y 2x = 20  Đ/s: 1) (1; −4),(1;2),(2; −3),(2;1),(−4; −3),(−4;1),(−3; −4),(−3;2)  2 x y + xy = 30 3)  x + y = 35   x + + y + = +  6)   x + y = +1  2) (−2; −4),(4;2),(1; −1) Page 20 3) ((3;2),(2; 3) ( )( 4) (−2;1),(1; −2), − 2; , 2; − )     −3 + 21 −11 − 21   −3 − 21 −11 + 21  5) (−4; 7),(1;2),  ; ; ,   2 2     7) (−3; −1),(−1; −3),(1; 3),(3;1) 6) (3;1),(1; 3) 8) (1; 4),(4;1) HT5 Giải hệ phương trình sau (hệ đối xứng loại 2)  3x = 2y + 2x + y − =   y 2)  1)    2y + x − =  3y = 2x + x  x + y − =  4)  y + x − =  Đ/s: 1) (2;2) 4) (1;1)  x + + y − =  3)   y + + x −2 =   2xy x + = x2 + y  x − 2x + 6)   2xy  = y2 + x y + y − 2y +   x = 3x + 8y 5)  y = 3y + 8x  2) (1;1) 3) (11;11) 5) (0; 0),( 11; 11),(− 11; − 11) 6) (0; 0),(1;1) II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp rút thế, phương pháp cộng HT6 Giải hệ phương trình sau:  x − 2xy + 5y = 1)  3x − 2x + y =   x − y + = 3)    y + 2(x − 3) x + = −   2x + y(x + 1) = 4x 2)  5x − 4x = y   12      1 − y + 3x  x =  x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 5)  6)    12  x + x + y + − x + y2 + x + y + − y =  y = 1 +   y + 3x    − 33 −153 + 44 23   + 33 −153 − 44 23  1 1   1) (1;2),  ; ; 2) (0; 0),(1;1),  ;  ,   49 49  2       5x − 3y = x − 3xy 4)  x − x = y − 3y   3 3) 3; −    1 1 4) (0; 0),(−1;1),  ;   2  5) (4; 4) ( 6) + 3;12 + ) Tìm mối liên hệ x, y từ phương trình vào phương trình lại xy + x − =  1)  2x − x 2y + x + y − 2xy − y =   2 5x y − 4xy + 3y − 2(x + y ) = 2)  xy(x + y ) + = (x + y )2   2 x − 6x y + 9xy − 4y = 3)   x −y + x +y =  y − 2xy + 7y = −x + 7x + 5)     3y + 13 − 15 − 2x = x +  2 xy + x + y = x − 2y 4)  x 2y − y x − = 2x − 2y  x + = (3y − x )(y + 1)  7)  x +5 = xy − 2y −  3y − −    x + y + x − y = + x − y2 8)     x + y =   x − − y = − x 6)  (x − 1)4 = y  Page 21  2 2x + xy − y = 5x − y − 9)  x + y + x + y =   −1 −   −1 +    Đ/s: 1) (1;1),  ; − ,  ;  2     ( )  3x + + 2y(x + 1) = 4y x + 2y + 10)  y(y − x ) = − 3y   2   2) (1;1),(−1; −1), ± ;±  5   4) (5;2) 5) (3; −2),(3;2) 6) (2;1) 7) (3;2) 8) (1; 0)  13  9) (1;1) − ; −     415 17  10) (1;1),  ;   51  3) (2;2), 32 − 15; − 15 Đặt ẩn phụ chuyển hệ HT7 Giải hệ phương trình sau: xy − x + y =  1)  x + y − x + y + xy =   x + y + x =  y 2)    x (x + y ) = y   2 x + xy + y = 19(x − y ) 4)  x − xy + y = 7(x − y )  12x + 3y − xy = 16  5)   4x + + y + =   2 y + xy = 6x 7)  1 + x 2y = 5x   x + + y (x + y ) = 4y 8)  (x + 1)(y + x − 2) = y  2 2x + y = − 2x − y  3)  x − 2xy − y =    x + 2x + − y = 6)    x + xy + y =  2 =7 4xy + 4(x + y ) + (x + y )2 9)   2x + =3 x +y   8(x + y ) + 4xy + = 13  ( x + y ) 10)   2x + =1 x +y  Đ/s: 1) (0; −3),(3; 0) 3 1 2)  ; ,(2;1)  2  3) (1; −1),(−3;7) 4) (0; 0),(3;2),(−2; −3) 5) (1; 4) 6) (−3;2),(1;2) 1  7) (1;2),  ;1   8) (1;2),(−2;5) 9) (1; 0) 10) (0;1) Phương pháp hàm số HT8 Giải hệ phương trình sau:  2x + + − y =  1)   2y + + − x =   3 x − 3x = y − 3y 2)  x + y =   2  2 x (4y + 1) + 2(x + 1) x = y(1 + x ) = x (1 + y ) 4)  5)   2  x + 3y = x y(2 + 4y + 1) = x + x +   x + = y +  x2 + y2 + 3)    3x + 2x − 2 =  9x + y y2    x + 21 = y − + y 6)   y + 21 = x − + x   2x + − 2y + = x − y  8)  x − 12xy + 9y + =  (23 − 3x ) − x + (3y − 20) − y =   x − 2y + = 10)  9)   2x + y + − −3x + 2y + + 3x − 14x − = (3 − x ) − x − 2y 2y − =   x = y + 45 − y −  7)  y = x + 45 − x +  Page 22  2 y + 3y + y + 4x − 22x + 21 = (2x + 1) 2x − 11)  2x − 11x + = 2y   2 4 + 2x y − = 3x + − 2x y + − x 13)   2x y − x = x + x − 2x 3y 4y +   1   1  Đ/s: 1) (3;2) 2)  ;  , − ; −     6   2  2y + y + 2x − x = − x 12)    2y + + y = + x +   (x + + x )(y + + y ) = 14)    x 6x − 2xy + = 4xy + 6x + 1 ± ±    3)  ;  3   1 4) 1;    1 1  1 5)  ; , − ; −   2   2  6) (2;2) 7) (4; 4) 8) ( 2; 2) 9) (5; 4) 10) (1;1) 11) (1; 0),(5;2) 12) (−3;2) 13)  − 11 11 −    ; 14) (1; −1),    Page 23 ...CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ax + b = ax + b = (1) Hệ số Kết luận a≠0... trình bậc phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn • Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn • Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng... Hệ có nghiệm Dx ≠ Dy ≠ Dx = Dy = Hệ vô nghiệm Hệ có vô số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ gồm phương trình