MỤC LỤC Nội dung Trang CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG 3 4 4 4 4 4 6 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 15 19 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 1 Dạng tổng quát 1 2 Nghiệm và số nghiệm của hệ 1[.]
MỤC LỤC Nội dung Trang CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG 1.KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1.1 Dạng tổng quát: 1.2 Nghiệm số nghiệm hệ: 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ: 1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ: 1.2.3 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ: GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI P.T BẬC NHẤT HAI ẨN: 2.1: Dạng 1- Xác định số nghiệm hệ phương trình 2.2 : Dạng - Giải hệ phương trình 2.3 : Dạng 3- Rèn kỹ giải hệ phương trình cách đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn 2.3.1: Phương pháp khai triển – thu gọn 2.3.2 : Phương pháp đặt ẩn phụ 2.4 : Dạng – Hệ phương trình chứa tham số Loại 3: Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình Loại 4: Một số toán điều kiện nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn C BÀI GIẢNG MINH HỌA ( Dạng 4: Loại 1, Loại ) D BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ E.Đánh giá kết đạt F.Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo, chuyên đề viết gần 4 4 6 7 9 10 11 11 12 15 19 25 25 26 CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A MỞ ĐẦU Đặt vấn đề, lý chọn đề tài Toán học môn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng có hiệu thiết bị dạy học, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học Tốn nói riêng trường THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số – Học kỳ II, xác định kiến thức hệ hai phương trình bậc ẩn đơn vị kiến thức quan trọng Bởi lẽ: Thứ nhất: Trên thực tế giảng dạy nhận thấy việc giải dạng tốn hệ hai phương trình bậc hai ẩn học sinh lớp 9: Thuần thục mức độ nhận biết song lại gặp khó khăn mức độ vận dụng Thứ hai: Đây nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng tài liệu SGD để ôn thi vào lớp 10 THPT hàng năm Thứ ba: Có thể nhận thấy liên thông kiến thức bậc học thường xây dựng theo “hình xoắn ốc” Vì cho thấy giải tốt vấn đề sở để học sinh có nhiều thuận lơi việc mở rộng tiếp cận với kiến thức hệ phương trình chương trình Tốn lớp 10 Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng mơn nên nhóm tốn trường THCS Trung Kiên chọn chuyên đề: “ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ” Cơ sở thực tiễn a Thuận lợi - Giáo viên: Được quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện Ban giám hiệu tổ chuyên môn - Học sinh: Đa số em nơng thơn nên có tính cần cù, chịu khó, ngoan ngỗn b Khó khăn Tồn nhiều học sinh cịn yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 9, lười học, khơng ý nghe giảng, ỷ nại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn luyện, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, xác định dạy học theo phương pháp mơ hồ Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà Mục đích đề tài: Chỉ phương pháp giải giúp học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn dạng tốn “ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ” Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống “ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ” Nâng cao chất lượng môn B NỘI DUNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.1 Dạng tổng quát ax + by = c(1) a' x + b' y = c' (2) (I) Phương trình (1), (2) phương trình bậc hai ẩn x,y 1.2 Nghiệm số nghiệm hệ: xoay quanh phương pháp sau 1.2.1 Phương pháp đồ thị * Cách thực hiện: - Vẽ đường thẳng (1), (2) - Số nghiệm hệ (I) số giao điểm hai đường thẳng (1) (2) - Toạ độ giao điểm (1) (2) có nghiệm hệ (I) * Minh họa Vị trí tương đối Hình vẽ Đường thẳng (1) (2) song song Số nghiệm hệ Hệ phương trình vơ nghiệm Đường thẳng (1) (2) trùng Đường thẳng (1) (2) cắt điểm Hệ phương trình vơ số nghiệm Hệ phương trình có nghiệm * Xét dạng đồ thị hàm số bậc (tạm hiểu trường hợp đưa hay nói khác phép biến đổi sau có nghĩa ) thì: (1) = y = Vị trí tương đối Số nghiệm hệ Mối liên hệ hệ số − a' −a c' c x + Khi đó: x + (2) = y = b' b b' b Đường thẳng (1) (2) cắt điểm Hệ phương trình có nghiệm − a − a' a b => a ' b' b b' Đường thẳng (1) (2) song song Đường thẳng (1) (2) trùng Hệ phương trình vơ nghiệm Hệ phương trình vơ số nghiệm − a − a' b = b' = c c' b b' a b c hay = a ' b' c ' a b a ' = b' c b c' b' − a − a' b = b' = c = c' b b' a b c hay = = a ' b' c ' a b a ' = b' c = b c' b' * Nhận xét: + Ưu điểm: Sử dụng phương pháp đồ thị giải vấn đề nghiệm hệ phương trình thể trực quan sinh động Bên cạnh tích hợp nhiều kỹ kỹ vẽ đồ thị, xét vị trí tương đối hai đường thẳng, học sinh có điều kiện tiếp cận với cách giải có tính vận dụng cao tạo môi trường để phát huy sáng tạo cho học sinh nhìn nhận vấn đề rộng hơn, sâu + Hạn chế: Thực phương pháp đồ thị để giải tập hệ hai phương trình bậc hai ẩn, bên cạnh việc số nghiệm, biện luận số nghiệm hệ phương trình nhanh chóng thuận tiện vấn đề đặt tìm nghiệm (nếu có) hệ thực tế phức tạp, thiếu tính xác đặc biệt khó khăn với hệ phương trình có chứa tham số hệ số đơn giản hệ lại có nghiệm khơng ngun Bên cạnh nhìn nhận theo góc độ đồ thị hàm số bậc cách giải cịn có nhiều vấn đề tồn điều kiện xác định phép chia phép biến đổi nêu Dù vậy, sau chương trình Tốn 10 giải trọn vẹn vấn đề thông qua việc thiết lập định thức để đưa mối liên hệ hệ số tương ứng với trường hợp nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn 1.2.2 Phương pháp thể *Cách thực + Từ phương trình hệ cho, biểu diễn ẩn theo ẩn + Thế vào phương trình cịn lại phương trình có ẩn + Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ cho (Tr1 3,15 SGK Toán 9.Tập – NXBGD) 1.2.3 Phương pháp cộng đại số * Cách thực + Nhân vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) (sao cho hệ số ẩn hai phương trình đối nhau.) + Áp dụng quy tắc cộng đại số để phương trình ẩn + Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho (Tr18 SGK Toán 9.Tập – NXBGD) *Nhận xét Điểm chung hai phương pháp 1.2.2 1.2.3 nguyên tắc quy từ việc giải hệ phương trình bậc hai ẩn việc giải phương trình ẩn dạng: Ax+B = (hoặc Ay+B =0) (3) Ở đây, số nghiệm phương trình (3) định số nghiệm hệ (I) + Nếu A≠0 pt (3) có nghiệm Hệ (I) có nghiệm + Nếu A=0; B=0 pt (3) vô số nghiệm Hệ (I) vô số nghiệm + Nếu A=0; B≠0 pt (3) vô nghiệm Hệ (I) vơ nghiệm Trên sở này, giúp giải tốt tập hệ phương trình (I) + Xác định số nghiệm hệ + Tìm nghiệm hệ - giải hệ + Giải biện luận số nghiệm hệ theo tham số + Các tốn nghiệm hệ Đây ưu điểm hẳn nói phương pháp vận dụng để giải tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp nêu GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2.1 Dạng 1: Xác định số nghiệm hệ phương trình Bài 1: Mỗi hệ phương trình cho sau có nghiệm? 2 x − y = 1(1) − x + y = 2(2) a) x − y = 1(1) − x + y = −2(2) b) x − y = 2(1) 2 x + y = −3(2) c) Vẽ đường thẳng (1) Vẽ đường thẳng (1) Vẽ đường thẳng (1) x y x y x y -1 1/2 Vẽ đường thẳng (2) x y -1/2 0 -1 Vẽ đường thẳng (2) x y -1 0 -2 Vẽ đường thẳng (2) x y -3 -3/2 Đồ thị Liên hệ hệ sô PP Cộng đại số Hai đường thẳng (1) (2) trùng Ta có Ta có Hai đường thẳng (1) (2) cắt 1điểm Ta có a −1 b −1 c = = ; = ; = a ' − b' c ' a b c = = a ' b' c ' a b −1 c = ; = = ; = a ' − b' − c ' − a b c = = = a ' b' c ' a b −1 = ; = a ' b' a b = a ' b' 2 x − y = − x + y = 4 x − y = = − x + y = = x + y = x − y = − x + y = −2 2 x − y = = − x + y = −2 (vô nghiệm) (vô số nghiệm) Hai đường thẳng (1) (2) song song Phương 2 x − y = 1(1) pháp − x + y = 2(2) = x + y = x − y = 1(1) − x + y = −2(2) x − y = 2 x + y = −3 => 3x = -1 (nghiệm nhất) x − y = 2(1) 2 x + y = −3(2) Thế Từ (1) y=2x-1 Từ (1) y =x-1 vào (2) ta có: vào (2) ta có: -4x+2(2x-1)=2 -2x+2(x-1)=-2 0x=4 (vơ nghiệm) 0x=0 (vơ số nghiệm) Hệ phương trình Hệ phương trình vơ nghiệm có vơ số nghiệm KL Từ (1) x=y+2 vào (2) ta có: 2(y+2) +y = -3 3y = -7 (nghiệm nhất) Hệ phương trình có nghiệm 2.2 Dạng 2: Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình 2 x − y = 1(1) x + y = 2(2) a) * PP a) Từ (2) y=2-x (2’) Thay vào (1) ta có: 2x-(2-x)=1 3x = x=1 thay vào (2’) ta có: y=1 x − y = 1(1) − x + y = 2(2) x + y = 4(1) 2 x + y = 8(2) c) b) b) Từ (1) x=4-2y (1’) Thay vào (2) ta có: 2(4-2y) + 4y=8 0y = (vô số nghiệm) c) Từ (1) x=y+1(1’) Thay vào (2) ta có: -2(y+1) +2y=2 0y = (vô nghiệm) * PP cộng đại số 2 x − y = 3 x = a) = x + y = x + y = x = x = = = 1 + y = y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x=1;y=1) x + y = 2 x + y = b) = 2 x + y = 2 x + y = x + y = = = x = − y 0 x + y = Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (x=4-2y; yR) x − y = 2 x − y = c) = −2 x + y = −2 x + y = x − y = = 0 x + y = 4(vl ) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Bài Giải hệ phương trình sau 3 x − y = a) −1 x + y = 0,5 x + 0,25 y = 2,5 x + 1,25 y = b) − x − y = c) 1 x + y = (Gợi ý biến đổi tương đương đưa hệ pt có hệ số nguyên tiến hành giải ) chuyển − x − y = 6(1) 3x − y = 4(1) 2 x + y = 4(1) hệ số 4 x + y = 12(2) nguyên − x + y = 4(2) 10x + y = 20(2) PP (2) x= 2y-4 (2’) (2’) vào (1) ta có: 3(2y-4)-8y=4 -2y=16y=-8 Thay vào (2’) ta có x=-20 3 x − y = − x + y = PP cộng đại số 3 x − y = = − x + y = 16 − x = 20 = − x + y = x = −20 = 20 + y = x = −20 = y = −8 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x=-20;y=-8) KL 12 − x (1) y = 4-2x (1’) Thế (1’) vào (2) ta có: 10x+5(4-2x)=20 0x=0 (vô số nghiệm) (2) y= 2 x + y = 10 x + y = 20 − x − y = 4 x + y = 12 4 x + y = 12 = 0 x + y = 18(vl) (2’) Thay (2’ vào (1) ta có: -4x-3 12 − x =6 0x =18 (vn) 2 x + y = = 2 x + y = 0 x + = = 2 x + y = = x + y = = y = − x Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm (xR ,y=4-2x) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Bài Giải hệ phương trình sau (2 − ) x − y = + (1) b) 5 x + y = 2 (1) a) x − y = 2(2) 4 x + y = − (2) (1) = y = 2 − 5x (1’) (2) y = 4-2 -4x (2’) (2’) vào (1) ta có: Thế (1’) vào (2) có: Phương pháp Phương pháp cộng đại số KL x − (2 − 5x 3) =2 (2 − 3) x − 3(4 − − x) = + 6x =6 x= 1/ thay vào (1’) => y =-1/ (14 − 3) x = 14 − = x = thay vào (2’) => y = -2 5 x + y = 6 x = (2 − ) x − y = + = x − y = 5 x + y = 2 12x + y = 12 − x = / (14 − ) x = 14 − x = = = = = y = −1 / 4 x + y = − y = −2 Vậy hệ phương trình có Vậy hệ phương trình có nghiệm nghiệm (x= 1/ ; y = -1/ ) (x= ; y = -2 ) 2.3 Dạng 3: Rèn kỹ giải hệ phương trình cách đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn 2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn Bài 5: Giải hệ phương trình 2x + 3y + = b) x − y 5 x − y = 2( x − y) + 3x − y = a) 3( x + y) + 2( x − y) = Khai triển – thu gọn PP PP cộng đại số KL x − y = 0(1) 5 x + y = 6(2) 5 x + 15 y = −4(1) 5 x − y = 2(2) => (1) y = x (1’) thay (1’) vào (2) có : 6x =6 x = thay vào (1’) => y = Cộng vế (1) (2) => 6x = => x = thay vào (1) => 1-y = => y=1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 1) ĐK: x≠y (2) y = 5x-2 (2’) Thế (2’) vào (1) có 5x+15(5x-2)= -4 80x = 26 x = 13/40 thay vào (2’) => y = -3/8 Trừ vế (1) (2) => 16y = -6 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 13/40; y = -3/8) 2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 6: Giải hệ phương trình 2 x − a) 2 + x =5 y =1 y x − 2y + x + 2y = b) + = −1 x − 2y x + 2y x + − y + = c) 2 x + + y + = * Sơ lược cách giải a) Đặt 1 = u; = v x y ĐK:uv≠0 b) Đặt c) Đặt 1 = u; =v x − 2y x + 2y ĐK: uv≠0 10 x + = u; y + = v ĐK: u,v≥0 2u − 3v = 2u + v = Hệ thành: Giải hệ pt ta (u=1, v=-1) - thoả mãn ĐK => (x= 1; y = -1) Vậy hệ pt có nghiệm (x=1;y=-1) 6u + 2v = 3u + 4v = −1 Hệ thành: Giải hệ ta −5 ) thoả ĐK x − y = Suy x + y = − ( u = ;v = Giải hệ ta (x= −1 − 29 ) ;y = 36 72 u − 2v = 2u + v = Hệ pt thành: Giải hệ pt ta (u=2;v=0)-thoả mãn ĐK x+3 = Suy y + = Giải hệ ta có (x=1;y=-1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x=1;y=-1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x= −1 − 29 ) ;y = 36 72 2.4 Dạng 4: Hệ phương trình chứa tham số Loại 1, Loại 2: Đã có giảng minh họa Loại 3: Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình Bài Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình sau theo tham số m mx + 4y = 10 - m(1) x + my = 4(2) 2 x + my = 1(1) mx + y = 1(2) b) a) * Sơ lược cách giải a) Ta có (1) x= − my (1’) Thay (1’) vào (2) ta có: − my + y = = m − m y + y = 2 = (4 − m ) y = − m = (2 − m)(2 + m) y = − m(3) m *) Nếu m=2, pt(3) thành 0y = (vơ số nghiệm) => Hệ phương trình vơ số nghiệm b) Ta có (2) x = 4-my (2’) Thay (2’) vào (1) ta có: m(4-my)+4y=10-m (4-m2)y=10-5m (3) *) Nếu m =2, pt (3) thành : 0y = (vô số nghiệm) => Hệ pt vô số nghiệm: (x=4-my; yR) *) Nếu m = -2, pt(3) thành: 0y = 20 (vô nghiệm) 11 *) Để x+y=1- m2 m2 2m + 5m − + = m = 2 2 m +3 m +3 m +3 m +3 m2 hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1- m +3 (a + 1) x − y = a + Bài 11: Cho hệ phương trình x + (a − 1) y = Vậy với m = a) Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình theo tham số a b) Khi hệ có nghiệm (x;y) nhất, lập hệ thức liên hệ x y độc lập với a Từ chứng tỏ M(x;y) nằm đường thẳng cố định c) Tìm giá trị nguyên a để hệ có nghiệm thoả mãn x, y nguyên d) Tìm giá trị a để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn điều kiện x+y nhỏ Hướng dẫn giải (a + 1) x − y = a + 1(1) x + (a − 1) y = 2(2) Xét hệ phương trình a) Từ (1) => y= (a+1).x- (a +1) Thay vào (2) ta có: a2 x = a2+1 (3) +) a ≠ hệ có nghiệm (x= a2 +1 a2 +1 ;y= ) a2 a2 +) a = hệ phương trình vơ nghiệm b) Theo câu a, a ≠ hệ có nghiệm (x= a2 +1 a2 +1 ; y= ) a2 a2 => x- y = hay y =x (hệ thức độc lập với a) => Khi hệ có nghiệm (x; y) điểm M(x; y) nằm đường thẳng y =x (cố định) ĐPCM c) Theo câu a, a ≠ hệ có nghiệm (x= a2 +1 a2 +1 ; y= ) a2 a2 Khi a nguyên, để x, y nguyên a2+1 chia hết cho a2 => chia hết cho a2 => a2 = => a = ±1 (thoả mãn a≠0) Vậy: a = ±1 hệ có nghiệm thoả mãn x, y nguyên a2 +1 a2 +1 ; y= ) a2 a2 a2 + a + 2 1 7 Khi x + y = = + + = 2( + ) + a a a 8 a d) Theo câu a, a ≠ hệ có nghiệm (x= Dấu “=” xảy a = - (thoả mãn a ≠ 0) => Min(x+y) = 14 a = - C BÀI GIẢNG MINH HỌA I Hoạt động khởi động: Mục đích - Tạo tị mị gây hứng thú cho học sinh - Hình dung đối tượng nghiên cứu áp dụng dạng toán hệ phương trình Nội dung - Giáo viên kiểm tra kiến thức hệ phương trình Cách thức GV: Chiếu câu hỏi HS quan sát trả lời câu hỏi GV: Hỏi HS, đưa bảng kiến thức hệ phương trình HS nêu câu trả lời 2x -y = -m vô nghiệm khi? -4x + 2y = Câu hỏi 1: Hệ phương trình B m -1 A m D m -2 C m y = mx+3 y = (2m -1)x+4 Câu hỏi 2: Với giá trị m hệ phương trình Có nghiệm? A Mọi m B Mọi m C Mọi m 2mx + y = x + y = 2m Câu hỏi 3: Tìm m để hệ phương trình ax + by = c Câu hỏi 4: Cho hệ phương trình a'x + b'y = c' A m = - B m = D Mọi m vô số nghiệm ? C m = - D Một giá trị khác (I) Trong đó: a, b, c, a’, b’, c’ R: a, b; a’, b’ không đồng thời Em nối cột A với cột B để khẳng định Cột A a) Hệ (I) vô nghiệm ? b) Hệ (I) vô số nghiệm ? c) Hệ (I) có nghiệm ? KQ a2 b1 c4 Cột B 1) 2) 3) 4) 15 a b c = = a' b' c' a b c = a' b' c' a c a' c' a b a' b' II Hoạt động luyện tập: LUYỆN TẬP MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Đặt vấn đề: Trong chương trình tốn lớp 9, đặc biệt đề thi vào THPT rất hay gặp loại tốn hệ phương trình chứa tham số Bài học hôm nêu phương pháp cách giải cụ thể với số loại tốn hệ phương trình chứa tham số Mục tiêu - Thành thạo việc giải hệ phương trình với giá trị tham số cho trước - Xác định giá trị nguyên tham số để hệ có nghiệm nghiệm nguyên - Xác định giá trị tham số để phương trình hệ phương trình có nghiệm cho trước - Xác định giá trị tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện nghiệm Nội dung cụ thể Bài toán mở đầu Cho hệ phương trình: a Giải hệ phương trình với m = b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn x = 3y + Hướng dẫn: a Giải hệ phương trình với m = Cách 1: Với m = ta có hệ: Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: Cách 2: Thay m = ta có: 16 Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm là: b Hệ phương trình có nghiệm (x, y) thoả mãn: x = 3y + m = 3(m + 1) +1 m = 3m + m = - Vậy với m = -2 hệ phương trình cho có nghiệm (x, y) thoả mãn x = 3y + Khai thác thêm toán trên: * Sau tìm x, y theo m vốn kiến thức có em giải loại tập sau: Loại 1: Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện ( K) sau: ax + by = c; ax + by > c; ax + by < c; xy < 0; xy > 0; x2 +2.y đạt giá trị nhỏ nhất; x,y số nguyên; … ; * Phương pháp giải: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m Bước 2: Thay nghiệm (x, y) vừa tìm vào biểu thức điều kiện K Bước 3: Giải điều kiện K tìm m Bước 4: Trả lời yêu cầu tốn Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình (I) có nghiệm (x, y) cho K = x + 2.y có giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ ? HD Giải: Theo tốn mở đầu ta có x = m, y = m + vậy: K = x2 + 2y = m2 + 2(m+1) = m2 + 2m + = (m+1)2 + ≥ Vậy Knhỏ nhât = m = -1 mx + y = m + (1) Ví dụ 2: Cho hệ phương trình : x + my = 3m (2) a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên HD Giải: 2 x + y = 2 x + y = a) Với m = hệ phương trình x + 2y = 2 x + y = 12 y = 3 y = 7 hệ có nghiệm (x, y) = ( , ) 3 x + 2y = x = b) Từ (2) suy ra: x = 3m – my, thay vào (1) ta được: 17 m(3m – my) + y = 2m+1 (m2 – 1) y = 3m2 – 2m – (3) Để hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (3) phải có nghiệm m2-1 ≠ m ≠ ±1 Khi nghiệm hệ phương trình là: 2m =2− x = m+1 m+1 3m+1 =3 − y= m+1 m+1 Để hệ có nghiệm ngun ( m + 1) m + 1 Ư(2) m + = {-2; -1; 1; 2} m = {-3; -2; 0; 1} m ≠ ±1 m = {-3; -2; 0} Vậy với m = {-3; -2; 0; 1} hệ phương trình cho có nghiệm nguyên Loại 2: Tìm mối liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m * Phương pháp giải Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m Bước 2: Bằng cách áp dụng qui tắc cộng đại số qui tắc ta làm tham số m Bước 3: Trả lời yêu cầu toán x + y = 2m + Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: (I) x − y = m −1 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x, y không phụ thuộc vào m HD Giải: x = m x − y = −1 Theo toán mở đầu, ta có: y = m +1 Vậy x − y = −1 hệ thức liên hệ nghiệm x, y không phụ thuộc vào m Chú ý: Nếu biểu thức liên hệ x y có bậc tốn trở thành “ Chứng minh hệ phương trình ln có nghiệm nằm đường thẳng cố định” Ví dụ 2: Chứng minh hệ phương trình : ln có nghiệm nằm đường thẳng cố định HD Giải: Ta có : x- y = -1 Vậy hệ phương trình (I) ln có nghiệm nằm đường thẳng cố định x - y = - (1) x + my = Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: (với m tham số) (2) mx − y = −m 18 a) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình cho ln có nghiêm b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào giá trị m HD Giải a) Để hệ có nghiệm thì: m m2 −1 m2 + (Luôn với m) m −1 Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm 1− x 1− x 1− x x−y=− b) Từ (1) my = − x m = thay vào (2), ta : y y y (1− x ) x − y2 = x −1 x − x − y2 = x −1 x + y2 = Vậy biểu thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m là: x + y2 = Hộp quà may mắn: Luật chơi: Có hộp quà khác nhau, hộp quà chứa câu hỏi phần quà hấp dẫn Nếu trả lời câu hỏi q Nếu trả lời sai q không Thời gian suy nghĩ cho câu 10 giây * Hộp quà màu vàng Khẳng định sau đúng hay sai ? 2 x − y = −4 x + y = a) Đúng Hệ sau có nghiệm : b) Sai * Hộp quà màu xanh ( Đề thi vào THPT Vĩnh Phúc năm 2018-2019 ) x − y =1 Số nghiệm hệ phương trình: ? 3x + y = A B C D Vơ số * Hộp q màu Tím x − y = có vơ số nghiệm ? 3x − y = Hệ phương trình 19 a) Đúng b) Sai D BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: Bài 2 x + y = −2 3x − y = −3 a) x − y = 17 5 x + y = 23 d) 9 x + y = 2x − y = 4 x + y = 2x + y = c) b) 7 x + y = 74 3x + y = 32 x − 3y = −2 x + y = −12 f) e) Bài x y + −2=0 a) x − y = 11 a b + =− b) 3 4a − 5b = 10 x y = c) x + y = 10 Bài x − y = a) x + y = x − y = d) x + y = ( − 1) x − y = b) x + ( + 1) y = x − (1 + 3) y = e) (1 − 3) x + y = x − 3y = c) 2 x + y = −2 5 x + y = 2 f) x − y = Bài 6( x + y ) = + x − y 5( y − x) = + 3x + y a) ( x − 1)( y − 2) = ( x + 1)( y − 3) ( x − 5)( y + 4) = ( x − 4)( y + 1) b) ( x − 2)( y + 1) = xy ( x + 8)( y − 2) = xy c) Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ: Bài 1 x − y =1 a) 3 + = x y 6 x + y =3 b) − 10 = x y 1 1 x + y = c) 10 − = x y 1 1 x + y = 24 d) 2=3 x y + x − y −1 = e) − =1 x − y − 1 8 − x y = 12 = g) 1 + = x y + 12 2x +1 + h) − x + + x − y +1 = f) + = 29 x − y + 20 + x −1 y − = i) − =1 y − x − 7 x + 13 y = −39 5x − 11y = 33 j) = −1 y −1 13 = y −1 2 x + y = 36 2 3x + y = 37 k) 20 3x + y = 2 x − 3y = l) x − y = m) 2 x + y = 18 x − + y −1 = n) 2 x − − y − = −2 x−7 − y+6 = o) + =21 x − y+6 Bài y 2x x +1 + y +1 = a) x + y = −1 x + y + x − y + 3x + y = −2 b) − = 21 3x + y x − y x − y + − x + y −1 = c) + =4 x − y + x + y − x x y − y + 12 = d) x − x =2 y + 12 y x − y − x + y = −1 e) − =0 x − y x + y 5 x + y −1 − x − y + = f) + = x + y −1 + 2x − y + xy x+ y xy + x + y = g) x − y + xy = 10 xy x− y 2x y −1 − x + y = h) y − 5x = x − y − Một số tập hệ phương trình chứa tham số Bài 1: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình với m = -1 b) Chứng tỏ với m ≠ 1 hệ ln có nghiệm nằm đường thẳng cố định Bài 2: Cho hệ phương trình a) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm ( x,y) thoả mãn x > y < b) Tìm giá trị lớn cảu biểu thức S = 2x - y với (x,y) nghiệm hệ phương trình cho Bài 3: Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) cho H = x - y + có giá trị nhỏ Bài : Giải biện luận hệ phương trình sau: Bài 5: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = -2 b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm nguyên 21 ... Vậy hệ phương trình có Vậy hệ phương trình có nghiệm nghiệm (x= 1/ ; y = -1/ ) (x= ; y = -2 ) 2.3 Dạng 3: Rèn kỹ giải hệ phương trình cách đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn 2.3.1 Phương pháp khai... + Từ phương trình hệ cho, biểu diễn ẩn theo ẩn + Thế vào phương trình cịn lại phương trình có ẩn + Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ cho (Tr1 3,15 SGK Toán 9.Tập – NXBGD) 1.2.3 Phương. .. vận dụng nhuần nhuyễn dạng tốn “ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ” Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống “ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ” Nâng cao chất lượng môn B