VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A. MỤC TIÊU: Học sinh nắm được - Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:và Cách giải - Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn B. NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản 1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:
CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A LÝ THUYẾT Hệ phương trình ax + by = c Cho hệ hai phương trình bậc hai ẩn a x + b y = c (I) • Cặp số (x0 ; y0 ) nghiệm hệ (I) hai phương trình hệ có chung nghiệm (x0 ; y0 ) • Nếu hệ (I) khơng có nghiệm ta kết luận hệ (I) vơ nghiệm • Giải hệ phương trình tìm tập nghiệm • Tập nghiệm hệ phương trình (I) biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng (d1 ): ax + by = c (d2 ): a x + b y = c Khi đó: +) Nếu (d1 ) cắt (d2 ) hệ (I) có nghiệm +) Nếu (d1 ) // (d2 ) hệ (I) vơ nghiệm +) Nếu (d1 ) trùng (d2 ) hệ (I) có vơ số nghiệm • Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm Giải hệ phương trình khơng Phương pháp đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa Bước 2: Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn có Bước 3: Giải hệ theo ẩn đặt Bước 4: Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp: • Từ phương trình rút y theo x thay vào phương trình cịn lại để phương trình ax = b • Biện luận: b thay vào biểu thức để tìm y, hệ có nghiệm a +) Nếu a = ta có 0.x = b +) Nếu a = x = Nếu b = hệ có vơ số nghiệm Nếu b = hệ vơ nghiệm B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: Sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số • Giải hệ phương trình phương pháp Phương pháp: Bước 1: Từ phương trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình cịn lại, ta phương trình cịn ẩn Bước 2: Giải phương trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ cho Chú ý: Ở bước ta thường chọn phương trình có hệ số có giá trị tuyệt đối khơng q lớn Ví dụ: Giải hệ phương trình sau phương pháp x − 2y = −1 2x + 3y = Hướng dẫn x − 2y = −1 2x + 3y = (1) Từ phương trình (1) ⇒ x = y − vào phương trình (2) (2) ta 2(y − 1) + 3y = ⇔ y =1 ⇒ x = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm y = Ví dụ: Giải hệ phương trình sau phương pháp √ x−y =3 5x + y = 2√2 1) 2) 3x − 4y = −x + 4y = 10 √ x − √3y = 2x + 3y = 4) 5) √ √ x + 3y = 6x + 9y = √ 5x − 4y = 3x − √2y = −1 7) 8) √ √ 7x − 9y = 2 + 3y = 2x + y = √ √ x − y = x − 2y = 6) −2x + 4y = −6 x + √2y = 9) √ 2x − 3y = 3) • Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Phương pháp: Bước 1: Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối Bước 2: Cộng hay trừ vế với vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình ẩn Bước 3: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ giữ ngun phương trình Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằngphương pháp cộng đại số x+y =2 x − 2y = a) b) 2x − y = 2x + 3y = Hướng dẫn 3x = x=1 x = a) Cộng vế hai phương trình hệ ta có: ⇔ ⇔ 2x − y = 2x − y = y = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm y = x − 2y = 2x − 4y = 12 −7y = y = −1 y = −1 b) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2x + 3y = 2x + 3y = 2x + 3y = 2x + 3y = x=4 x = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm y=4 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số x−y =2 2x + 3y = −4x + y = −12 1) 2) 3) 2x + y = x + 2y = x−y =2 √ x − √3y = 2x + 3y = x − 2y = 4) 5) 6) √ √ x + 3y = 6x + 9y = −2x + 4y = −6 √ x + √2y = 5x − 4y = 3x − √2y = −1 7) 8) 9) √ √ √ 2x − 3y = 7x − 9y = 2 + 3y = Ví dụ: Giải hệ phương trình sau y x + y x y + = = 0, 1) x + 2) y x − y − = = 0, y+4 Dạng GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CƠ BẢN 2x + y = 3) x−y =2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa Bước 2: Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn có Bước 3: Giải hệ theo ẩn đặt Bước 4: Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm Ví dụ: Giải hệ phương trình sau 1 3√x + 2018 + 2(y + 2020) = 13 + = −1 x + y − b) a) √ x + 2018 − 3(y + 2020) = − =7 x+1 y−2 Hướng dẫn a) Điều kiện: x = −1; y = a + b = −1 1 = a; = b Khi hệ trở thành Giải phương trình 3a − 2b = x+1 y−2 a=1 ta b = −2 x = =1 x + Trở lại ẩn x; y ta có ⇔ y = = −2 y−2 x = Vậy hệ phương trình có nghiệm y = b) Điều kiện: x ≥ −2018 3a + 2b = 13 √ Đặt x + 2018 = a; (y + 2020) = b Khi hệ trở thành Giải phương trình 5a − 3b = a = ta b = Đặt √x + 2018 = x = −2009 ⇔ (y + 2020) = y = −2018 x = −2009 Vậy hệ phương trình có nghiệm y = −2018 Trở lại ẩn x; y ta có Ví dụ: Giải hệ phương trình sau x+2 (x2 − 2x)2 + 4(x2 − 2x) = x+ =− + =6 y−2 y 2) 1) x + 3) 1 + = 2x − = − − =3 x y − y x√+ y − y y − 15 =1 + =5 √ 3 2x − − + = y+1 +2 x − |2y − 1| 5) 4) √ 6) xx−−19 y 30 2y √ 2x − + =5 + =3 + =2 y+1 x−1 y+2 x − |2y − 1| Ví dụ: Giải hệ phương trình sau 5x y 1 + = − = −1 + = 27 y x+y x+1 y−3 2) 2x − 3) 1) 3x 4y 1 2x 3y − = −1 − =0 − =4 x y 2x − y x + y x + y − 2x 2y y + =2 + = 27 − = −1 x + y x + 2y − x + y + 5) 6) 4) 6y 2x x − = − =4 − =− x+2 y x + 2y − 3 x + y + 3x √ √ √ √ + =4 3x − − 2y + = x−2+ y−3=3 x+1 y+4 7) 8) 9) √ √ 2x 2 3x − + 3√2y + = 12 2 x − − 3√y − = −4 − =9 x+1 y+4 2x + 3y − 105 81 12 2(x2 − 2x) + √y + = + =8 = x+y x−y x−y+2 13 10) 11) 12) 54 42 3(x2 − 2x) − 3√y + = −7 + =4 2x + 3y + = x+y x−y 5 + = 5|x − 1| − 3|y + 2| = 13) x + 3y − xy − 12x − 14) √ 2 4x2 − 8x + + y + 4y + = 13 − = x + y − xy − 2x − 1 1 x+y+ = x+y+ + =4 − =1 2y x − 2y x y y x 15) 16) x + 17) 20 1 4y x + y − = x + y + + =1 + =4 2 x y x x x + 2y x − 2y x + y + x2 + y + xy = x + y + xy = x3 + y = 18) 19) 20) xy(x + y) = x + y + 2xy = x + +y + xy = Dạng GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: • Từ phương trình rút y theo x thay vào phương trình cịn lại để phương trình ax = b • Biện luận: b thay vào biểu thức để tìm y, hệ có nghiệm a +) Nếu a = ta có 0.x = b +) Nếu a = x = Nếu b = hệ có vơ số nghiệm Nếu b = hệ vơ nghiệm Ví dụ: Giải biện luận hệ mx − y = 2m 1) x − my = m + mx + y = 3m − 4) x + my = m + x + my = 3m 7) mx − y = m2 − (m + 1)x − y = m + 10) x + (m − 1)y = phương trình sau 2x + my = 5√2 2) mx + 2y = 2m + mx + 4y = 10 − m 5) x + my = x − my = + m2 8) mx + y = + m2 mx − y = 2m 3) 4x − my = m + (m − 1)x − my = 3m − 6) 2x − y = m + 2x − y = + 2m 9) mx + y = (m + 1)2 Ví dụ: Tìm giá trị m ∈ Z để hệ phương trình sau có nghiệm (x; y) với x, y ∈ Z (m + 1)x − my = x + my = m2 + 4m Hướng dẫn (m + 1)x − my = x + my = m2 + 4m (1) (2) Từ (2) suy x = m2 + 4m − my Thay vào (1) (3) ta m(m + 2)y = m + 5m + 4m − m=0 • Nếu phương trình (3) vơ nghiệm m = −2 m=0 m3 + 5m2 + 4m − m2 + 4m + • Nếu Khi y = Từ ta x = m(m + 2) m+2 m = −2 Trướ hết ta tìm m ∈ Z để x ∈ Z m2 + 4m + x= =m+2+ Để x ∈ Z m + ∈ Ư(1) m+2 m+2 Suy m + = ±1 ⇒ m = −3; m = −1 Với m = −3 ⇒ y = ∈ / Z Với m = −1 ⇒ y = ∈ Z Vậy với m = −1 hệ có nghiệm ngun (2; 5) mx + 4y = 10 − m Ví dụ: Cho hệ phương trình x + my = 2m + a) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) cho x > 0, y > b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên dương Hướng dẫn a) Điều kiện hệ có nghiệm duy m = ±2 8−m x = 2+m Khi hệ có nghiệm y = 2+m 8−m x > >0 + m Điều kiện ⇔ ⇔ −2 < m < y > >0 2+m Với m ∈ Z ⇒ m ∈ {−1; 0; 1; 2; 3; ; 7} b) m = {−1; 3} Thử trực tiếp để x ∈Z y ∈ Z có m = −1 thỏa mãn x + my = Ví dụ: Cho hệ phương trình mx − 2y = a) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) cho x > 0, y < b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) mà x, y số nguyên Hướng dẫn a) Với m = hệ có nghiệm 2; thỏa mãn đề m+4 x = m2 + Với m = hệ có nghiệm 2m −1 y = m +2 m+4 x > >0 m2 + Ta có: ⇔ 2m ⇔ −4 < m < Vì m ∈ Z nên m ∈ {−3; −2; −1; 0} − y < 0; y < b) Theo ý a) m = không thỏa mãn m+4 x = m2 + Với m = hệ có nghiệm 2m −1 y = m2 + 2 Trước hết tìm m ∈ Z để x ∈ Z m + m + ⇒ m2 + 4m m2 + ⇒ 4m − m2 + ⇒ 4(m + 4) − (4m − 2) m2 + ⇒ 18 m2 + mà m2 + > nên m2 + ∈ {3; 6; 9; 18} ⇒ m2 ∈ {1; 4; 7; 16} Vì m ∈ Z nên m ∈ {±1; ±2; ±4} Thử trực tiếp để x ∈ Z y ∈ Z có m = −1 thỏa mãn x − 2y = − m Ví dụ: Cho hệ phương trình 2x + y = 3(m + 2) a) Giải hệ phương trình m = −1 b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) cho S = x2 + y đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn x − 2y = x=2 a) Khi m = −1 hệ phương trình có dạng ⇔ 2x + y = y = −1 x = m + b) Hệ phương trình ln có nghiệm với giá trị m y=m • Ta có S = x + y = (m + 3) + m = 2m + 6m + = m + Vậy S nhỏ m = − 2 mx − y = Ví dụ: Cho hệ phương trình sau 2x + my = 2 2 2 + 9 ≥ 2 a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) cho biểu thức P = 3x − y nhận giá trị nguyên Hướng dẫn x = x−y =3 a) Khi m = hệ phương trình có dạng ⇔ y = 2x + y = 3m + x = m2 + với giá trị m b) Hệ phương trình ln có nghiệm 9m −6 y = m2 + 33 • Xét A = 3x − y = m +2 Để A ∈ Z ⇔ m2 + ∈ Ư(33) mà m2 + ≥ 2; m ∈ Z Suy ra: m ∈ {−3; −1; 1; 3} (m + 1)x − y = m + Ví dụ: Cho hệ phương trình sau x + (m − 1)y = a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình c) Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) với x, y có giá trị ngun d) Tìm m để hệ có nghiệm cho x + y đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn 3x − y = x = a) Khi m = hệ phương trình có dạng ⇔ x−y =2 y = b) • Với m = ⇒ hệ phương trình vơ nghiệm x = m + m2 • Với m = ⇒ hệ có nghiệm m y = +1 m2 x = m + m2 c) • Với m = hệ có nghiệm m y = +1 m2 m +1 • Để ∈ Z ⇒ m = ±1 m2 m2 + m + , ∈ Z Thử lại với m = ±1 m2 m2 Vậy với m = ±1 hệ có nghiệm nhât với x, y ∈ Z (x; y) m + x = m d) • Với m = hệ có nghiệm y = m+1 m2 2 m +1 m+1 (m + 4) • Xét x + y = + = + ≥ 2 m m 8m Vậy với m = −4 x + y đạt giá trị nhỏ C MỘT SỐ CÂU GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐỀ THI TUYỂN SINH HÀ NỘI + =2 y Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) x − =1 x y Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2013 - 2014) Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2016 - 2017) Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018) Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019) 3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4(x + y) − (x + 2y) = + =5 x+y y−1 − = −1 x + y y − 2(x + y) + √x + = √ (x + y) − x + = −5 3x − =4 x−1 y+2 2x + =5 x − y + √x + 2√y − = 4√x − √y − = 4x − |y + 2| = x + 2|y + 2| = ... vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình ẩn Bước 3: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ giữ nguyên phương trình Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng? ?phương pháp cộng... Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Phương pháp: Bước 1: Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối Bước 2: Cộng hay trừ vế với vế hai phương. .. VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: • Từ phương trình rút y theo x thay vào phương trình cịn lại để phương trình ax = b • Biện luận: b thay vào biểu thức để tìm y, hệ có nghiệm a