Hệ phương trình đại số và mũ lôgarit phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THANH HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ MŨ - LƠGARIT Chun ngành: Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội, 2014 Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Chương I: Hệ phương trình đại số .4 I Hệ phương trình bậc hai ẩn II Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc cao III Hệ phương trình đối xứng loại I 13 IV Hệ phương trình đối xứng loại II .22 V.Hệ đẳng cấp 29 VI Hệ ba phương trình ba ẩn bậc cao 37 VII Các dạng khác 46 Chương II: Hệ phương trình mũ - lơgarít 55 I Công thức biến đổi 55 II Bài tập 56 Phương pháp biến đổi tương đuơng .56 Phương pháp đặt ẩn phụ 61 Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số 68 Chương III: Các toán thi học sinh giỏi hệ phương trình 76 I Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 76 II Phương pháp khảo sát hàm số 86 III Một số phương pháp khác 95 KẾT LUẬN 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 105 LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ em thời gian học tập hoàn thành luận văn Em xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội thầy cô giáo công tác giảng dạy trường nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu thầy giáo tổ Tốn em học sinh trường THPT Trần Phú - Thành phố Vĩnh Yên - Tỉnh Vĩnh Phúc tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình thực luận văn Xin cảm ơn gia đình, người thân tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều nghiên cứu đề tài trình bày luận văn, song chắn cịn nhiều thiếu sót Rất mong góp ý hội đồng phản biện khoa học, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 26 tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thanh MỞ ĐẦU Trong chương trình giảng dạy mơn Tốn bậc phổ thơng tốn hệ phương trình đại số mũ - lơgarít đề cập SGK lớp - 10 - 11 Do tính đa dạng nên đề thi tuyển sinh cấp THPT, tuyển sinh Đại học ta gặp tốn hệ phương trình Việc giải tốn hệ phương trình khơng mẫu mực địi hỏi kỹ tính tốn định học sinh Vì hầu hết đề thi tuyển sinh THPT Chuyên, thi HSG cấp THCS, THPT có tốn hệ phương trình Luận văn trình bày số phương pháp giải hệ phương trình đại số mũ - lơgarít tìm hiểu kỹ thuật hay giải tốn hệ phương trình đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thành, cấp Quốc gia hệ THPT Chƣơng I: Hệ phƣơng trình đại số I Hệ phƣơng trình bậc hai ẩn Dạng tổng quát cách giải a1x + b y = c1  a2 x + b y = c2 Dạng tổng quát: Cách giải: Thông thường ta có cách để giải hệ phương trình dạng (1) • Cách 1: Phương pháp • Cách 2: Phương pháp cộng đại số • Cách 3: Phương pháp dùng định thức Kí hiệu: a1 b1 D= =ab a2 b2 −ab D = x c1 b1 =cb −c b D c2 b2  D x= x  D TH1: D ≠ : Hệ có nghiệm  Dy y =  D TH2: D = , Dx = Dy TH3: D = , Dx ≠ = : Hệ có vơ số nghiệm thỏa mãn = y a1 c1 a2 c2 =ac −a c a1x + b1y = c1 Dy ≠ : Hệ vơ nghiệm Một số ví dụ Bài 1: Giải hệ phương trình sau 4  + =3 2(4 − x ) + = x y − a  y  b   x y − 2  − =4 y 8 = 17  + c. x y 4 − x2 + =4  21  7x − 3y =  xy Lời giải: a Điều kiện: x ≠  y ≠ 1 Hệ trở X = ;Y = thành Đặ x y  −1 t: 4X + Y = 2X − 2Y = X = = −10,DY = 10 ⇒ Y = −1 X Ta có: D = −10,D Thay vào cách đặt ta :  x = y = Vậy hệ có nghiệm (x,y)=(0;0) b Điều kiện: y > Tương tự ta đặt: X = − x2 y ;Y = (Y > 0) ,từ đó tính Y = −6 nên hệ ban đầu vô nghiệm Nh vậy, < ⇔ (1 + 3m)(3 − m) < + ⇔ m xy < ⇔ − m  m 1+ m2 1+ m2 < − Kết luận: Với  m >3  hệ có nghiệm thỏa mãn xy < m < −  Gọi (x,y) Bài (Dự bị A – 2004): nghiệm hệ phương trình x − my A = x2 + y2 − 2x = (x − 1)2 + y2 -1 = − 4m m + y = 3m + Tìm giá trị lớn biểu thức (**) (m tham số) A m = thay x2 đổi + y2 − x (x − 1) − my = − 4m 2(x2 − 1) + my − 2m(x − 1)y2 = (1 − 4m) (**) ⇔  ⇔ −2 m   (x − m 1)2 + y + (x 2m(x − 1) 1)y = (2m + + 1) y = m + Lời giải: T D ∀m nên hệ a (**) ln có c = nghiệm ó + m ≠ Mặt khác Cộng hai vế hệ ta : Lời giải :ĐKXĐ: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≠ Ta có x = 0, y = khơng nghiệm phương trình nên từ ĐKXĐ suy x > 0, y > 0 Khi đó:  3x 7y  1+ = (*)  3x x 7yy + (I) ⇔  ⇔ 14  2  1 − 7y − = 3x =  + =2 (2) (1) x+y  x + y Lấy (1) nhân (2) ta được: − = ⇔ (7y − 24x)(x + y) = 21xy ⇔ 32− = 7y − 38xy + 24x2 = ⇔ x+y 3x 7y 3x 7y x + y ⇔ (y − 6x)(7y + 4x) = ⇔ y = 6x (Vì x > 0, y > ⇒ 7y + 4x > ) Thay y = 6x 3x x = vào phương trình (*) ta được: (7x + 1) x= 14x ⇔ 3(7x + 1) = 14 (3)(Vì x > ) Đặt t = 727 , (3)3trở thành: 3t − 14t + 73 Từ suy 11 ±74 x ⇒y= 21 7 =0⇔t= 22 ±  22 +   11 22 − 8 −4  11 + Vậy hệ cho có nghiệm:   ; 21 ,    ;   Bài 5( Đề thi HSG 2x  y  y năm 2001 Quốc7xGia – Bảng B)  Giải hệ phươ ng trình: x = (I) + y +    x + y + x − y = Lời giải: ĐKXĐ: 7x + y ≥ 0, 2x + y ≥ Ta x − y = (7x + y) − (2x + y) có: 5 Đ ặ t = a , 2x  y = b (a > 0, b > 0) , hệ (I) trở thành: a + b = ba = − + =  −577 + b =  ⇔ ⇔   2 a − b + 15 −  b 77 5b − 13 = + b=  a=   x = − 10 77 77 102 − 10 7x y Thay vào  ta cách đặt được:   77 + 77 =  ⇔  382 − 38 y =   30 77 2x 2− y 30  77 Vậy nghiệm  nhất:hệ có − 10; 382 − 38       Bài ( Đề thi HSG Quốc gia năm 2004 – Bảng A)  3 x + z + z(x − y) x(y − Giải hệ z)  phương y3 + trình: y(z − Lời giải: x)2  = = (2) (I) (1 = 16 ) Lấy (2) trừ (1), (2) trừ (3) ta được: (y − x) (x + y + z ) = 28 (4)  (y − z) (3) x( x2 + y2 + z2 ) = 2x yz +2 (1)  T a  c ó : (I) +  y(x y + z2 ) = 2xyz + 30 (2)  z( (x + y + z ) = 14 (5) Lấ = ⇔y= y 2z − x (4 ⇔ x2 ) ch  ia (5 + ) y2 ta + đư z2 ) ợc = : y 2x yz − + x 16 y− z (3) Thay y = 2z − vào PT (1) (3) ta được: x  x + x(x − z) = 2x − 2x z + xz =  ⇔ (II) + = = 5z2 3 z 4z(x − 8z x2 + 4zx − z) Dễ thấy z = không nghiệm (II) suy z ≠ hệ (II) trở thành: (2t − 2t + = (6) Đặt x = tz t)z3  = 16 (7) (5 − 8t + 4t ) z3 Lấy (6) chia (7) ta được: 16t − 2t − 2t + 20t2 t − 8t + = ⇔ 4t + 16t − =  t=  ⇔ (2t − 1)(8t2 − 6t + 5) = ⇔  8t − 6t + = 0(VN) t = vào (6) ta được: z3 = ⇔ z = 2 Thay z = 2, t = ⇒ x = ⇒ y = Vậy hệ cho có nghiệm nhất: (1;3;2) Bài 7( Đề thi HSG Quốc Gia – 2010) Giải hệ phương trình:  x − y = 240 (1)   x − 2y = 3(x −4y ) − 4(x − 8y) (2) Lời giải Nhân vế (2) với −8 cộng với (1) ta được: x4 − 8x + 24x2 − 32x + 16 = y − 16y + 96y − 256y + 256 x = y − ⇔ (x − = (y − 4) x− =y− ⇔  2) x=6−y ⇔ • TH1: x = y − , thay vào (1) ta được: 8y3 + 24y2 − 32y + 16 = 240 ⇔ y3 − 3y2 + 4y + 28 = ⇔ (y + 2)(y2 − 5y + 14) = ⇔ y = −2 y = −2 ⇒ x = −4 • TH2: x = − y , thay vào (1) ta được: 24y3 + 216y2 − 864y + 1296 = 240 ⇔ y3 − 9y2 + 36y − 44 = ⇔ (y − 2)(y2 − 7y + 22) = ⇔ y = y=2⇒x=4 Vậy hệ cho có nghiệm: (4;2), (−4;−2) Bài (Đề thi HSG Tỉnh Yên Bái – 2011) Giải hệ phương trình:  x − y = 35 (1)  2x + = 4x − 9y (2) 3y2 Lời giải Lấy (2) nhân với −3 cộng với (1) ta được: x −6x2 + 12x − = y3 + 9y2 + 27y + 27 ⇔ (x − 2)3 = (y + 3)3 ⇔ x − = y + ⇔ x = y+5 y = −2 Thay x = y + vào (2) ta được: y + 5y + = ⇔  y = y = −2 ⇒ x = y = −3 ⇒ x = Vậy hệ cho có nghiệm: (3;−2), (2;−3) Bài (Đề thi Olympic 30 – năm 2011 trƣờng Chun Lê Q Đơn – Bình Định)  x − y x2 − y2 =   − x2 + y 2 Giải hệ phương trình:   y − x x2 − = y2  (I) Lời giải: Ta có:  − x2 + y2 x  y(x  y)(x  y) y)  (x  y)(x  y)  =  (x + y) − (x + y) (x − y)(x + ⇔ = 3+ 2  (I) ⇔ 1− (x − y)(x + y)  y − x = (x − y) − (x + y) =  (x − y) + (x − y) (x − y) (x + y)   y) − ( x − y ) ( x +   − (x − y)(x + y) Đặt u = x + y, v = x − y ≤ x2 − y2 Khi đó: Thay u, v vào  v  +v  = uv 2 (1) 3+ uv = 3− ,y= u−v  hệ (I), ta được:  u − u  = uv < 1, x = u+v = + z) −y(x (*) Giả x2 + x + y = i hệ −2yz ph (I) ươ  2 ng 3x + 8y + trìn 8xy + 8yz = h: 2x + 4z +  uv (2)  uv Lấy (1) nhân (2) ta được: uv(1 − uv) = Do uv < nên uv = 3+ được: u = Lời giải : Ta có: 1 (1 − uv) , thay vào (1) (2) ta ,v= − 6 3+2 Thay vào cách đặt ta suy x , y6 = = + Vậy hệ cho có nghiệm 6+  6 + 26 ,   Bài 10 (Đề thi Olympic 30 – năm 2012 trƣờng Chuyên Phan Ngọc Hiển – Cà Mau) x2 + y2   x(x + y) + y(y + z)  = (I) ⇔  x(x + 1) + y(2z + 1) =  2 2 4(x + y) + 4(y + z) = (x + 1) + (2z + 1) Đặt: u = (x;y), v = (x + y;y + z), w = (x + 1;2z + 1) rr u.v =  Khi hệ (I) trở thành: r ur = u.w  r ur  4v= w  r r x = (1) (2) (3)  1 • TH1: u = ⇔  , vào hệ ta z = − Hệ có nghiệm:  0;0;−  2  y = • TH2: u ≠ , từ (1) (2) suy v, w phương w = 2v r Do đó, từ (3) suy ur  w = −2v x = r  1 ur r u =  0;   x + = 2x + 2y Vớ w = 2v ⇔ ⇔ y = ⇒   2 i ur  2z + = 2y + 2z   w = (1;2z + 1) z ∈ R r ur  1 Mà u.w = ⇔ z = Hệ có nghiệm:  0; ;−  −  2  z = x ur r Vớ x + = −2x − 2y  i w = −2v ⇔  ⇔ −1 − 3x 2z + = −2y − 2z  y=  Thế vào (*) ta được: 5x2 + 5x + = (VN) 1  1 Vậy hệ cho có nghiệm: 0;0;− , −    0; ;  2     KẾT LUẬN Qua trình thực đề tài, luận văn thu kết sau: Thống kê lại dạng hệ phương trình đại số bản, cách giaỉ số ví dụ cụ thể cho dạng.Sau dạng có tập tương tự kèm hướng dẫn đáp án Đối với hệ phương mũ - lơgarít luận văn giải toán đề thi đại học theo dạng chia Luận văn trình bày cụ thể tốn hệ phương trình đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thành cấp Quốc gia Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO Hà Văn Chƣơng (2012), Tuyển chọn giaỉ hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình khơng mẫu mực NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Tài Chung (2013), Sáng tạo & Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình NXB Tổng hợp TP Hồ Chí Minh Ban tổ chức kì thi(2012), Tổng hợp đề thi Olympic 30 tháng (Toán học 11, năm 2010,2011) NXB Đại học Sư phạm Ban tổ chức kì thi(2012), Tổng hợp đề thi Olympic 30 tháng lần thứ XVIII - 2012 NXB Đại học Sư phạm PGS.TS Đàm Văn Nhỉ (2013), Bất đẳng thức cực trị - hệ phương trình NXB Thơng Tin Truyền Thơng ... I: Hệ phương trình đại số .4 I Hệ phương trình bậc hai ẩn II Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc cao III Hệ phương trình đối xứng loại I 13 IV Hệ phương. .. bày số phương pháp giải hệ phương trình đại số mũ - lơgarít tìm hiểu kỹ thuật hay giải tốn hệ phương trình đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thành, cấp Quốc gia hệ THPT Chƣơng I: Hệ phƣơng trình đại. .. chương trình giảng dạy mơn Tốn bậc phổ thơng tốn hệ phương trình đại số mũ - lơgarít đề cập SGK lớp - 10 - 11 Do tính đa dạng nên đề thi tuyển sinh cấp THPT, tuyển sinh Đại học ta ln gặp tốn hệ phương