Một số hệ phương trình không mẫu mực

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC Pham Th% Nhan M®T SO Hfi PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MAU MUC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NGUYEN XUÂN THAO Hà N®i – Năm 2015 Mnc lnc Ma đau lài cam ơn H¾ phương trình ban 1.1 H¾ phương trình tuyen tính .4 1.1.1 H¾ hai phương trình tuyen tính .4 1.1.2 H¾ ba phương trình tuyen tính 1.2 H¾ phương trình phi tuyen .6 1.2.1 H¾ phương trình đoi xúng .6 1.2.2 H¾ hai phương trình cap 12 1.2.3 H¾ phương trình hốn v% 14 1.2.4 H¾ hai phương trình b¾c tőng quát 16 M®t so phương pháp giai h¾ phương trình 18 2.1 Phương pháp c®ng đai so the .18 2.2 Phương pháp đ¾t an phu 21 2.3 Phương pháp lưong giác 24 2.4 Phương pháp su dung tính chat cna hàm so 27 2.5 Phương pháp đánh giá .32 Giai 3.1 3.2 3.3 3.4 mđt so hắ khụng mau mEc 37 Hắ phng trình đai so 37 H¾ phương trình vơ ti .45 H¾ phương trình chúa mũ logarít 48 H¾ phương trình hon hop 50 KET LU¾N 53 Tài li¾u tham khao 54 Ma au Hắ phng trỡnh l mđt nhung phõn mụn quan TRQNG cna Đai so có nhung úng dung ngành khoa hQc ky thu¾t can xem xét nhieu đai lưong Sóm biet đưoc tù xa xưa nhu cau tính tốn cna ngưòi ngày phát trien theo thòi gian đen chi xét Tốn HQc h¾ phương trình rat đa dang ve hình thúc như: h¾ phương trình đai so, h¾ phương trình vơ ti, h¾ phương trình có chúa mũ logarít phúc tap ve cách tìm hưóng giai Trong nhung năm gan tù năm 2002 - 2014 h¾ phương trình khơng mau mnc thưịng xun xuat hi¾n kỳ thi Olympic Toán, VMO, tuyen sinh Đai HQc - Cao Đây m®t loai tốn khó địi hoi HQc sinh phai v¾n dung linh hoat, sáng tao kien thúc giai tích, hình HQc lưong giác Tác gia cHQN e ti Luắn "Mđt so hắ phng trỡnh khụng mau mEc" nham nghiờn cỳu mđt cỏch hắ thong cỏc h¾ phương trình khơng mau mnc v¾n dung chúng đe thi quoc te quoc gia Trong lu¾n văn "h¾ phương trình khơng mau mnc" đưoc hieu h¾ có chúa lóp hàm khác (chúa căn, mũ logarít, lưong giác ) ho¾c cách giai cna chúng khơng thnc hi¾n đưoc bang bien đői thơng thưịng can v¾n dung phương pháp so sánh, ưóc lưong Lu¾n văn gom chng vúi nđi dung nh sau Chng Hắ phương trình ban đưa loai h¾ phương trình thưịng g¾p chương trình phő thơng đe cắp cỏch giai tng quỏt Chng Mđt so phng pháp giai h¾ phương trình đe c¾p phương pháp giai hắ truyen thong: phng phỏp the v cđng so, phương pháp đ¾t an phu, phương pháp lưong giác hóa phương pháp giai đ¾c bi¾t cho h¾ khơng mau mnc: phương pháp su dung tính chat cna hàm so, phương pháp đánh giá Chương Giai m®t so h¾ phương trình khơng mau mEc chương chn yeu giói thi¾u h¾ phương trình khơng mau mnc kỳ thi quoc te quoc gia Lài cam ơn Tác gia xin gui lòi cam ơn chân thành sâu sac đen PGS.TS Nguyen Xuân Thao - mđt ngũi thay tắn tõm vúi nghe, thay khơng chi ngưịi chap bút cho tác gia hồn thành xuat sac Lu¾n văn, mà thay cịn cho tác gia ngh % lnc phan đau, m®t nhìn khác ve đ%nh hưóng tương lai nghe nghi¾p Tác gia xin gui lịi cam ơn tói Ban giám hi¾u, phịng Đào tao Sau đai HQc Khoa Toán - Cơ - Tin HQc, thay cô tham gia giang day cho lóp Cao HQc Tốn niên khóa 2013 - 2015, thay anh ch% cna Seminar "Phương pháp Tốn sơ cap" trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Seminar "Giai tích" Vi¾n Tốn tin úng dung trưịng Đai HQc Bỏch Khoa H Nđi ó tao ieu kiắn v giúp đõ tác gia suot thịi gian hQc t¾p nghiên cúu tai trưòng Nhân tác gia xin gui lòi cam ơn ban HQc viên cao HQc khóa 2013 - 2015, gia đình ban bè ó luụn nng hđ khớch lắ, tao MQI ieu kiắn thu¾n loi đe tác gia hồn thành khóa HQc Lu¾n văn M¾c dù tác gia co gang rat nhieu ket qua Lu¾n văn cịn khiêm ton khó tránh khoi nhung khiem khuyet Tác gia mong nh¾n đưoc sn đóng góp q báu cna thay cụ v cỏc đc gia e Luắn hon thiắn hn H Nđi, ngy 24 thỏng nm 2015 HQc viên Pham Th% Nhan Chương H¾ phương trình ban Trong Chương tác gia khái quát lai mđt so hắ phng trỡnh c ban hắ thong chương trình THPT, phương pháp giai tőng quát ví du minh HQA cho tùng dang cu the Các ví du trình bày đưoc trích cuon "Boi dưõng HQc sinh gioi mơn Tốn - Văn Phú Quoc", "Tuyen cHQN giai h¾ phương trình thưịng g¾p kỳ thi Đai hQc Cao - Hà Văn Chương" 1.1 H¾ phương trình tuyen tính 1.1.1 H¾ hai phương trình tuyen tính H¾ hai phương trình tuyen tính có dang J J J a x+by=c Cách giai Cách Su dung phương pháp Cramen Tính đ%nh thúc D= ax + by = c a b = abJ − aJ b aJ bJ Dx = c b = cbJ − cJ b c J bJ Dy = a c = acJ − aJ c aJ c J TH1 a = a’ = b = b’ = + Neu c = c’ = h¾ vơ đ%nh + Neu c ƒ= ho¾c cJ ƒ= h¾ vơ nghi¾m TH2 Trong h¾ so a, a’, b, b’ có nhat mđt hắ so khỏc khụng Chng + Hắ có nghi¾m nhat ⇔ D ƒ= Chương H¾ phương trình ban Dx Dy Nghi¾m nhat cna h¾ (x, y) = ; Σ D D D = + Dx = Dy = ⇒ h¾ vơ đ%nh (có vơ so nghi¾m) D=0 + Dx ƒ= 0(Dy ƒ= ⇒ h¾ vơ nghi¾m 0) Cách Su dung phương pháp Gauss Nhân ho¾c chia mđt phng trỡnh no ú cna hắ vúi mđt so thớch hop, e cđng hoắc trự cỏc phng trình khác cna h¾ ta se loai dan đưoc an ax + by = c JJ a x=c Tiep tuc làm trên, ta se bien đői h¾ cho ve h¾ tam giác J Tù h¾ tam giác ta rút đưoc nghi¾m Ngồi ra, ta có the giai h¾ phương trình b¾c nhat hai an bang loai máy tính bo túi CASIO fx - 500 MS, CASIO fx - 570 E, SHARP EL - 506W Ví dn 1.1 (Đai HQc Giao Thơng V¾n Tai - 1995) Cho h¾ phương trình (m + 1)x − my = 3x − 5y = m Tìm m đe h¾ phương trình có nghi¾m (x; y) thoa mãn x − y < Lài giai Ta có D = −2m − 5, Dx = m2 − 20, Dy = m2 + m − 12 • D= ⇔m= • D ƒ= ⇔ m : Dx ƒ= nên h¾ vơ nghi¾m Dx : h¾ có nghi¾m nhat x Dy , y = = D D (m2 − 20) − (m2 + m − 12) ⇔ Theo yêu cau đau D−D x−y ⇒ h¾ vơ nghi¾m Đieu ki¾n x > Phương trình thú hai cna h¾ tương đương √ √ + x = −xy + y2 > ⇔ 16(1 + x) =2 x2 y (4 + y) 2 ⇔ 4x y − 16x + x y − 16 = ⇔ (xy −2 4)(4x + xy 4+ 4) = ⇔ xy Thay x = −4= 0⇔x= y2 y2 vào phương trình thú nhat cna h¾ ta đưoc log2 y2 = 2y+2 ⇔ 4.2y + log2 (−y) − = Nh¾n thay y = −1 nghi¾m cna (3.8) Xét hàm so f (y) = 4.2y + log2(−y) − , ∀y < Ta có f J (y) = 4.2y ln 2− > 0, y < y ln ⇒ f (y) đong bien (−∞; 0) ⇒ phương trình (3.8) có nghi¾m nhat y = −1 V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (4; −1) Ví dn 3.22 Giai h¾ phương trình xy+1 =2 (y + −4x + 18x − √ x 20 + 1) 2x2 − 9x + = 2x − 9x + √y + ; x, y ∈ R (3.8)  Lài giai Đieu ki¾n Đ¾t t = Ta có y+1 >0 −4x2 + 18x − 20 ≥0  2x − 9x + ƒ= ⇔ y > −1 ≤x≤ Σ √ −4x2 + 18x − 20 = − x − √ ⇒0≤t≤ Σ0; Σ + 28x − 20 2x 9x + = f (t), t − ∈ = t+ 1+ 2 + t+4 8t 2x − 9x + ⇒ f J (t) = − > 0, ∀t ∈ Σ0; Σ ⇒ = f (0) ≤ f (t) 83 < ≤f −4x2 (t2 + 4)2 √ Suy y + 1≥2⇒y+ ≥ Ta có ()= ln x 34 ln(y + 1) xy+1 = (y + 1)x ⇔ = ⇔ g(x) = g(y + 1) (3.9) x y+ ln t J − ln t Trong g(t) = , g (t) = ⇒ g1J (t) > ⇔ t < e t t2 Vì x < e < y + nên g(x) ngh%ch bien, g(y + 1) đong bien Do đó, (3.9) neu có nghi¾m nghi¾m có nhat c¾p nghi¾m Nh¾n thay x = 2; y = l mđt nghiắm cna hắ Vắy h¾ có nghi¾m nhat (2; 3) Tóm lai Chương III tác gia tőng hop đưoc m®t so ví du đien hình, cách giai h¾ khơng tn theo m®t phương pháp nhat đ%nh Đe giai đưoc can phoi hop rat nhieu ky thu¾t bien đői, phương pháp giai khác Ví du h¾ phương trình xuat hi¾n thúc ta phai khu thúc, có chúa mũ logarít ta bien đői mũ logarít đe quy ve phương trình đai so Cách đánh giá tinh te địi hoi sn khóe léo nhay bén đoi vói tùng h¾ phương trình khác KET LU¾N Lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu h¾ phương trình khơng mau mnc Các ket qua cna lu¾n l - Trỡnh by mđt so dang hắ phng trình ban chương trình phő thơng, đưa ví du minh HQA lịi giai chi tiet cho tùng dang - Trình bày m®t so phương pháp giai thơng dung vi¾c giai h¾ phương trình phúc tap xuat hi¾n kỳ thi Olympic Tốn, VMO, đe tuyen sinh Đai HQc - Cao ang - i sõu khai thỏc mđt so hắ phng trình khơng mau mnc đe thi quoc te quoc gia Cho thay sn đa dang ve hình thúc moi quan h¾ phúc tap giua bien so h¾, tìm lịi giai dna so hắ phng trỡnh c ban v mđt so phng pháp giai h¾ thưịng áp dung Kien ngh% hưóng nghiên cúu tiep theo - Khai thác phương pháp giai khác giai h¾ phương trình khơng mau mnc như: Phương pháp tham bien, phương pháp su dung tính chat cna đa thúc, phương pháp su dung kien thúc hình HQc, phương pháp su dung tính chat cna so phúc - Nghiên cúu hưóng đe thi Olympic Tốn, VMO, THPT Quoc gia nhung năm tói 53 Tài li¾u tham khao [1] Hà Văn Chương (2012), Tuyen CHQN giai h¾ phương trình thưàng g¾p kỳ thi Đai HQc Cao đang, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [2] [3] Nguyen Anh Huy (2012) Dien đàn MATHSCOPE Chun đe Phương trình - H¾ phương trình, boxmath.com Nguyen Văn M¾u (2006) Bat thúc đ%nh lí áp dnng, NXB Giáo duc [4]Nguyen Vũ Lương, Pham Văn Hùng, Nguyen NGQc Thang (2014) H¾ phương trình phương trình chúa thúc, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [5] Văn Phú Quoc (2014) Boi dưãng hQc sinh giói mơn Tốn, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [6]T8/415, (2012) Tap chí Tốn HQc tuői tré, NXB Giáo duc [7] Lê Trung Tín (2012) Chuyên đe tốn phő thơng, Tuyen t¾p h¾ phương trình, boxmath.com 54 ... H¾ phương trình ban 1.1 H¾ phương trình tuyen tính .4 1.1.1 H¾ hai phương trình tuyen tính .4 1.1.2 H¾ ba phương trình tuyen tính 1.2 H¾ phương trình phi tuyen .6 1.2.1 H¾ phương. .. H¾ phương trình ban − V¾y m < − 2 Chương H¾ phương trình ban ho¾c m > Chương H¾ phương trình thoa mãn u cau tốn ban 1.1.2 H¾ ba phương trình tuyen tính Cách giai Giong h¾ hai phương trình. ..  V¾y nghi¾m cna h¾ phương trình cho 1.2 1.2.1 H¾ phương trình phi tuyen H¾ phương trình đoi xÉng a) H¾ hai phương trình đoi xÉng loai f (x, y) = Nh¾n dang Cho h¾ phương trình g(x, y) = Neu ta