Đây là một cuốn sách giúp các em học sinh tiếp cận tốt hơn với bài toán hệ phương trình trong trường phổ thông và cũng như là ôn thi đại học tốt hơn ở phần phương trình vô tỉ..................................
HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Trong năm gần , đề thi đại học Hệ phương trình đại số thường hay dạng hệ có cấu trúc đặc biệt Vì ta phải ngiên cứu cách giải chúng Thông thường ta có số phương pháp sau I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Là phương pháp chủ yếu dùng kỹ biến đổi hai phương trình hệ đưa phương trình đơn giản rút x theo y ngược lại để vào phương trình khác hệ Ta xét số ví dụ sau Loại 1: Trong hệ có phương trình bậc theo ẩn x theo ẩn y Khi ta rút x theo y y theo x thay vào phương trình lại x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − x + ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình : xy + y + = x ( ) Giải Ta thấy x=0 nghiệm phương trình (2) từ phương trình (2) ta có : y ( x + 1) = x − ⇒ y = x − ↔ y + = x thay vào phương trình (1) ta có : x ( x ) ( x + x ) = 3x − x + ⇔ ( x − 1) ( x + x − x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x + x − x ) = ⇔ x ( x − 1) ( x + x − ) = ⇒ x = 0; x = 1; x = −2 x + y + xy ( x + y ) = xy x + y + xy ( x − y ) = xy Ví dụ Giải hệ phương trình : Giải Ta có x=y=0 nghiệm hệ Các cặp số (x;y) với x = 0, y ≠ 0; x ≠ 0, y = không nghiệm hệ 1 x + y + 2x + y = Xét xy ≠ chia hai vế phương trình cho xy ≠ ta : + + 3x − y = x y Suy : − x − y = + y − 3x ⇔ x = y − 1(*) thay vào phương trình thứ hai ta có : 2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y ⇔ y − + y ( 10 y − 11 y + 3) = y − y ⇔ 10 y − 19 y + 10 y − = ⇔ ( y − 1) ( 10 y − y + 1) = + 41 − 41 ;y= 20 20 + 41 41 − − 41 − 41 − Đáp số : (x;y)= ( 1;1) , 20 ; 10 ÷; 20 ; 10 ÷ ÷ ÷ ⇔ y − 1; y = Loại Một phương trình hệ đưa dạng tích hai phương trình bậc hai ẩn Khi ta dưa giải hai hệ tương đương Luyện thi Đại học 2016 xy + x + y = x − y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình : x y − y x − = x − y( ) Giải Điều kiện : x ≥ 0, y ≥ x = − y x = y +1 Phương trình (1) ⇔ ( x + y ) ( x − y − 1) = ⇒ Ta thay lượt trường hợp vào phương trình (2) Giải kết 5 x5 y − xy + y − ( x + y ) = ( 1) Ví dụ ( ĐH-KA-2011) Giải hệ phương trình sau : 2 ( 2) xy ( + y ) + = ( x + y ) Hướng dẫn 2 Từ (2) ta có : ( xy − 1) ( x + y − ) = ⇒ xy = ∨ x + y = • xy=1; từ (1) suy : y − y + = ⇔ y = ±1 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(1;-1) 2 2 2 • Với : x + y = ⇒ ( 1) ⇔ y ( x + y ) − xy + x y − ( x + y ) = 2 ⇔ y − xy + x y − ( x + y ) = ⇔ ( − xy ) ( y − x ) = → xy = ∨ x = y Xét : xy=1 Đã giải 10 10 10 10 2 Với : x=2y , thay vào x + y = ⇒ ( x; y ) = ; ÷, − ; − ÷ ÷ ÷ 10 10 10 10 ; ;− ÷, − ÷ ÷ ÷ 5 Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1), x + y + x − y = + x − y ( 1) Ví dụ Giải hệ sau : ( 2) x + y =1 Giải Điều kiện : x ≥ 0; y ≥ (1) ⇔ x + y − x − y − = Suy hệ trở thành : ( )( ) x = 1; y = x + y = x=0 x + y = ⇔ y = ⇒ ( x; y ) = ( 1;0 ) ; ( 0;1) x − y = x = x + y = y=0 y −3 x + y + x + = x ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình : x+ y + x = x+3 ( 2) Điều kiện : x>0; y ≥ Nguyễn Quang Huy Giải sđt:0987896144 Luyện thi Đại học 2016 y −3 y −3 Ta có : ( 1) ⇔ x + y − +3 = x Suy : • Với y=3 ; ta có : x + = ⇔ x = −3 ( loại ) x+ y − x+3 = x y ≠ ta có : ⇒ x + − x = x + y = x + x + ⇔ y = Vậy • Với x+ y + x = x+3 hệ có nghiệm : (x;y)=(1;8 ) * Chú ý : Trong số toán ta phải cộng trừ hai phương trình hệ sau xuất phương trình dạng tích x + y + x y = 41 Ví dụ Giải hệ phương trình sau : 2 xy ( x + y ) = 10 Hướng dẫn : Ta sử dụng đẳng thức : ( x + y ) = x + y + xy ( x + y ) + x y x + y + x y = 41 Hệ cho ⇔ Ta cộng vế với vế hai phương trình ta : 2 4 xy ( x + y ) = 40 ↔ x + y + xy ( x + y ) + x y = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇒ x = ±3 x + y = x + y = 2 xy ( x + y ) = 10 xy ( − xy ) = 10 ⇔ Hệ cho ⇔ Học sinh giải tiếp x + y = −3 x + y = −3 2 xy ( − xy ) = 10 xy x + y ) = 10 ( xy + x + y = x − y Ví dụ ( ĐH-KD-2008 ) Giải hệ phương trình sau : x y − y x −1 = 2x − y Hướng dẫn y ( x + y) + ( x + y) + ( x − y) ( x + y) = Hệ viết lại : x y − y x −1 = 2x − y ( x + y ) ( y + − x ) = ⇔ x y − y x −1 = 2x − y Học sinh giải tiếp Đáp số : (x;y)=(5;2) Loại 3: Một phương trình hệ phương trình bậc hai theo ẩn chẳng hạn x ẩn Khi ta coi y tham số y = ( x + ) ( − x ) ( 1) Ví dụ Giải hệ sau ; 2 −5 x + y − xy + 16 x − y + 16 = ( ) Hướng dẫn : 2 Coi phương trình (2) phương trình theo ẩn y ta có : y − ( x + ) y − x + 16 x + 16 = y = 5x + Giải theo y ta có : Thay hai trường hợp vào phương trình (1) ta y = 4− x tìm nghiệm hệ Nguyễn Quang Huy sđt:0987896144 Luyện thi Đại học 2016 x + xy + y = Ví dụ Giải hệ phương trình sau : y + xy + x = Hướng dẫn : Trừ hai phương trình hệ cho ta có : x − y + xy + y − x + = y +1 x = Thay trường hợp vào phương ⇔ x + ( y − 5) x − y + y + = ⇒ x = − y 2 trình (1) ta tìm nghiệm hệ II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ * Quan trọng học sinh phải nhanh trí phát ẩn phụ : u=f(x;y) v=g(x;y) hai phương trình hệ , sau biến đổi để phát u v Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình chia vế phương trình cho số hạng khác sẵn phương trình hệ để tìm phần chung mà sau ta đặt ẩn phụ Việc phát ẩn phụ nhanh hay chậm phụ thuộc vào kỹ biến đổi kỹ nhìn học sinh x2 + + y ( x + y ) = y Ví dụ Giải hệ phương trình sau : ( x + 1) ( y + x − ) = y ( 1) ( 2) Hướng dẫn : Ta thấy : y=0 không nghiệm hệ Chia hai vế phương trình (1) (2) cho y ta x2 + y +x+ y = u + v = x2 + ;v = x + y − ⇒ có hệ : Đặt : u = y u.v = x + ( x + y − ) = ÷ y Giải hệ suy u,v sau tìm x,y y + xy = x ( 1) Ví dụ ( SPIHN-KA-2000) Giải hệ phương trình 2 1 + x y = x ( ) Hướng dẫn Nhận xét : x=0 không nghiệm hệ ( phương trình (2) vô nghiệm ) Chia hai vế hai phương trình hệ cho x ≠ Khi hệ cho trở thành : 1 y y1 y x x ÷+ y x ÷ = x x + y ÷= ⇔ ⇔ + y2 = + y2 = x2 x2 uy ( u + y ) = sp = ⇔ Đặt : u = ; ⇒ 2 x u + y = s − 5s − = ( s = u + y; p = uy ) Học sinh giải tiếp : Đáp số (x;y)=(1;2),(1/2;1) Nguyễn Quang Huy sđt:0987896144 Luyện thi Đại học 2016 2 =7 xy + ( x + y ) + ( x + y) Ví dụ Giải hệ phương trình sau : 2 x + = x+ y Hướng dẫn : Điều kiện : x + y ≠ 2 =7 3 ( x + y ) + ( x − y ) + ( x + y) Khi hệ trở thảnh : Đặt : u = x + y + x + y ; v = x − y x + y + + ( x − y ) = x+ y 3u + v = 13 Học sinh giải tiếp tìm u,v sau tìm x,y u + v = Hệ : x ( y + 1) = y − ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau : 2 2 x y + x y + y ( x + 1) = 12 y − ( ) Điều kiện : y ≠ 0; y ≠ −1 Giải : 4y − y +1 2 2 Khi : ( 1) ⇔ x y ( y + 1) = y − y ⇒ x − = y + ; x + = y + 2 2 2 2 Thay vào (2) , ta có : x y + x y + y + y − y = 12 y − ⇔ ( x − ) ( x + 3) y − y + = ⇔ ( y − 1) ( y + 1) y ( y + 1) y =1→ x = ± y =1 = y −1 ⇔ ⇔ y = → x = ( y + 1) y = ( y + 1) ( x + y ) 1 + ÷ = 18 xy Ví dụ 5.( AN-98) Giải hệ phương trình sau : x + y + = 208 ) x2 y ÷ ( Giải : 1 1 x + ÷+ y + ÷ = 18 x y Hệ cho viết lại : x + + y + = 208 ÷ ÷ x2 y2 x + x = u = y + = 14 y u + v = 18 u + v = 18 1 v = 14 ⇔ ⇔ ⇔ Đặt : u = x + ; v = y + ⇒ 2 u = 14 x y uv = 56 u + v = 212 x + x = 14 v = y + = y Nguyễn Quang Huy sđt:0987896144 Luyện thi Đại học 2016 x = ± x2 − x + = y = ± y − 14 y + = ⇔ ⇔ ⇒ ( x; y ) = − 3;7 − ; − 3;7 + x − 14 x + = y = 2± y − y + = x = ± ( )( ) x y + ÷( x + y ) = 15 y x Ví dụ Giải hệ phương trình sau : 2 x + y x + y = 85 ) y x ÷( Giải : x y Điều kiện : x ≠ 0, y ≠ Đặt : u = y + x ; v = x + y u > x2 y x2 + y2 v2 + = u − 2; x + y = ( x + y ) − xy = v − xy; u = ⇒ xy = Khi ta có : y x xy u+2 uv = 15 Hệ ⇔ u − 15v = 85 Học sinh giải tiếp tìm u,v sau suy x,y ) u+2÷ ( ( x + y ) 1 + ÷ = xy Ví dụ Giải hệ phương trình sau : xy + = xy Hướng dẫn : u = u + v = 1 v = ⇔ Điều kiện : xy ≠ Đặt : u = x + ; v = y + ⇒ u = Học sinh giải tiếp x y uv = v = x y + y + x = xy Ví dụ Giải hệ : 1 x x + xy + y = Hướng dẫn : Điều kiện : x ≠ 0, y ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm vào hai vế 1 x + x + x + y = phương trình (2) nhóm chuyển dạng tích ⇒ x + + = ÷ ÷ x x y u + v = 1 ⇔ u = v = Học sinh giải tiếp Đặt : u = x + ; v = + ⇒ x x y uv = Nguyễn Quang Huy sđt:0987896144 Luyện thi Đại học 2016 x ( x + y ) ( x − 1) = 14 x + x + 3y = Ví dụ Giải hệ phương trình sau : Hướng dẫn x = 1y = x + x = x = 2; y = ( x + x ) ( x + y ) = 14 2 x + y = ⇔ ⇔ x = + 29 ; y = − 29 Hệ viết lại : 2 ( x + x ) ( x + y ) = x + x = 2 x + y = x = − 29 ; y = + 29 2 ( x + y ) − ( x − y ) − 10 ( x − y ) = Ví dụ 10 Giải hệ phương trình sau : =6 3 x + y + 3x − y Hướng dẫn Điều kiện : 3x − y ≠ ⇒ y ≠ 3x Chia hai vế phương trình (1) cho 3x − y ≠ Khi Phương trình (1) hệ trở thành : 3x + y 3x + y 3x + y 3x + y = 5∨ = −2 Khi ÷ − 3 ÷− 10 = ⇒ 3x − y 3x − y 3x − y 3x − y 3x + y 3 x + y = x = 1; y = 3x − y = ⇔ ⇔ * Trường hợp 1: x = ; y = =3 3 x + y + 3x − y =6 5 3x − y ( ) ( ) 3 + 11 3x + y = −2 x = + 11 ; y = 3x + y = 3x − y 12 ⇔ ⇔ Trường hợp 2: 3 − 11 3 x + y + = 3x − y = − 11 x= ;y= 3x − y x ( x + y − 1) = Ví dụ 11 (ĐH-KD-2009 ) Giải hệ : ( x + y ) − + = x Hướng dẫn : Điều kiện : x ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho x ≠ , (1) trở thành : 3 ⇔ x + y + − = ⇔ x + y = − Thế vào phương trình (2) hệ (2) trở thành : x x 1 x = 1; y = x =1 x = 3 3 ⇔ − 1÷ − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ( x; y ) = ( 1;1) , 2; ÷ x x x x 2 x = x = 2; y = 1 = x xy + x + = y Ví dụ 12 ( ĐH-KB-2009 ) Giải hệ sau : 2 x y + xy + = 13 y Nguyễn Quang Huy sđt:0987896144 Luyện thi Đại học 2016 Hướng dẫn Nhận xét : y=0 không nghiệm (1) vô lý , ta chia hai vế phương trình (1) (2) hệ cho y ≠ 0; y ≠ Khi hệ trở thành : 1 x x 1 x+ + =7 x + ÷+ = ( 3) x + y = −5 y y y y 1 1 ⇔ ⇔ ⇔ x + ÷ − x + ÷− 20 = ⇒ y y 1 x x + x + = 13 x + y = x + ÷ − = 13 ( ) y y y y x = 12 y x = 1; y = 1 12 y + y + = ⇔ ⇔ ⇒ ( x; y ) = 1; ÷, ( 3;1) x = 3y 3 x = 3; y = 3 y − y + = x + y + x y + x y + xy = − Ví dụ 13 ( ĐH-KA-2008 ) Giải hệ : x + y + xy ( + x ) = − Hướng dẫn : 5 x + y + xy ( x + y ) + xy = − u + v + uv = − ⇔ ( u = x + y; v = xy ) Hệ viết lại : 5 ( x + y ) + xy = − u + v = − x2 + y = u = xy = − v=− 25 3 ⇔ Học sinh giải tiếp ta : 1 ⇒ ( x; y ) = ; − 16 ÷, 1; − ÷ ÷ x +y=− u=− v = − xy = − x + x y + x y = −2 x + Ví dụ 14 ( ĐH-KB-2008 ) Giải hệ : x + xy = x + Hướng dẫn : ( x + xy ) = x + 9(3) x ( x + y ) = 2x + ⇔ Hệ viết lại : Thay (4) vào (3) rút gọn ta có : x + − x2 x + xy = x + xy = (4) x = x = x = ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = ⇔ ⇔ ⇒ ( x + ) = x = −4 x + 12 x + 48 x + 64 = 17 Học sinh giải tiếp Đáp số nghiệm hệ : (x;y)= −4; ÷ 4 Nguyễn Quang Huy sđt:0987896144 Luyện thi Đại học 2016 x − x = y − y Ví dụ 15 ( ĐH-KA-2003 ) Giải hệ : 2 y = x3 + Hướng dẫn Điều kiện : x, y ≠ x y Từ (1) hệ : x − y − + = ⇔ ( x − y ) 1 + x − y = ÷= ⇒ xy xy = −1 • Nếu : x=y , thay vào (2) hệ : ⇔ x − x + = ⇔ x = → ( x; y ) = ( 1;1) 2 1 1 • Nếu xy=-1 , thay vào (2) hệ : x + x + = ⇒ x − ÷ + x + ÷ + = 2 2 Phương trình vô nghiệm Do hệ vô nghiệm III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Loại Một phương trình hệ có dạng : f(x)=f(y) Một phương trình cho ta biết tập giá trị x y Từ suy hàm số f(x) đơn điệu suy x=y x − x = y − y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau : 8 x + y = 1( ) Hướng dẫn : Từ (2) suy : x , y ≤ Từ (1) ta xét hàm số : f(t)= t − 5t ⇒ f '(t ) = 3t − < ∨ t ∈ [ −1;1] Do f(t) hàm số nghịch biến Vậy để có (1) xảy x=y 1 1 1 Khi (2) trở thành : x = ⇔ x = ± ⇒ ( x; y ) = − ; − ÷; ; ÷ 2 2 2 x3 − 3x = y − y Ví dụ 2.( Ngoại thương -2000) Giải hệ phương trình : 6 x + y = Hướng dẫn : Học hinh giải ví dụ , từ suy cách giải ví dụ Loại Hệ đối xứng mà sau biến đổi thường đưa dạng f(x)=f(y) f(x)=o Trong f hàm số đơn điệu x + x − x + = y −1 + Ví dụ Giải hệ phương trình sau : x −1 y + y − y + = +1 Hướng dẫn giải u + u + = 3v Đặt u=x-1;v=y-1 hệ có dạng : v + v + = 3u Nguyễn Quang Huy sđt:0987896144 Luyện thi Đại học 2016 Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình : u + u + + 3u = v + v + + 3v (*) u Xét hàm số : f (u ) = u + u + + ⇒ f '(u ) = + u u +1 Để có (*) xảy u=v.Thay vào (1) ) ( + 3u ln > Hàm số đồng biến ( ) ⇔ u + u + = 3u ⇔ ln u + u + = u ln ⇒ f (u ) = ln u + u + − u ln 1+ ⇔ f '(u ) = u u + − ln = − ln < ∨ u Chứng tỏ hàm số nghịch biến Nhưng u + u2 +1 u2 +1 ta lại có f(0)=0 phương trình có nghiệm u=0 v=0 Do hệ có nghiệm : x=y=0 ( x + 1) x + ( y − 3) − y = Ví dụ ( ĐH-KA-2010 ) Giải hệ phương trình sau : 2 4 x + y + − x = Hướng dẫn 2 5−t 3 ⇔ x3 + x = t − ÷⇔ 8x + x = t + t Điều kiện : x ≤ , y ≤ Đặt : t = − y ⇒ y = ( − t ) , thay vào (1)của hệ ta có : Xét hàm số : f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = 3x + > ∨ x → f ( x) đồng biến vế trái chẳng qua t=2x Do : − x2 − y = 2x ⇔ y = Thay vào phương trình (2) 2 − x2 3 hệ ta : g ( x) = x + ÷ + − x = ∨ x ∈ 0; ÷ 4 Dễ thấy x=0 x=3/4 không nghiệm 2 Ta xét : g '( x) = x − x − x ÷− 2 4 3 = x ( x − 3) − < ∨ x ∈ 0; ÷, − 4x − 4x 4 với : g ( ) = ⇒ x = ; y = nghiệm hệ x + xy = y10 + y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau : 4x + + y + = ( 2) Hướng dẫn Điều kiện : x ≥ − Chia hai vế phương trình (1) cho y ≠ x x ⇒ ÷ + ÷ = y + y Hàm số : f (t ) = t + t ; f '(t ) = 5t + > ∨ t ∈ R y y x Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để có (*) xảy y = y ↔ x = y Thay vào phương trình (2) ta : x + + x + = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;-1) IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Nguyễn Quang Huy sđt:0987896144 Luyện thi Đại học 2016 Với phương pháp học sinh cần quan sát nắm biểu thức không âm hệ để vận dụng bất đẳng thức Cô si để đánh giá xy = x2 + y x + x − 2x + Ví dụ Giải hệ phương trình sau : xy y + = y2 + x y − 2y + Hướng dẫn Cộng hai vế phương trình hệ vế với vế ta có : xy x − 2x + + xy y − 2y + = x + y Ta có : x=y=0 nghiệm hệ Ta có : x − x + = ( x − 1) + ≥ ⇒ VT ≤ xy + xy = xy Khi : VP = x + y ≥ xy Cho nên dấu xảy : x=y=1 Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(o;0);(1;1) y = − x3 + 3x + Ví dụ Giải hệ phương trình sau : x = y − y − Hướng dẫn ( y − ) = − ( x + 1) ( x − ) ( 1) ⇔ Hệ cho ( x − ) = ( y + 1) ( y − ) ( ) Nếu y>2 từ (1)suy x x ⇔ + x7 = ( + y ) ( + y ) ( + y ) = + y + y + y3 + y + y + y + y > + y ⇒ x > y Vậy hệ vô nghiệm Tương tự y>0 hệ vô nghiệm Xét : x + x ⇒ y > x Tương tự yy Hệ vô nghiệm Xét trường hợp -1