Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
466,11 KB
Nội dung
Hệcócấutrúcđặcbiệt
www.Vuihoc24h.vn
Trang 1
HỆ CÓCẤUTRÚCĐẶCBIỆT
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
a.
2
33
2
2000
19
x y y
NNI x ty
xy
.Điều kiện : t khác 1
2
3
3
2
2
3
3
12
1 3 1
19
2 1 3 19 ( 1)
2
1
1 3 1 19
ty
t t t
t t t t t
t
y t t t
2
1
17 15 2 0
2
17
t
tt
t
. Thay lần lượt các giá trị của t vào phương trình (1) :
t=1: Loại
t=-2/7 thì x=-2/7y suy ra :
3
2
2
3
2
2
2
17
17
2
2.17
2
1
19
17
xy
xy
y
y
b.
22
22
23
98
10
y x y x
MDC x ty
x x y y
32
2 4 2 4 2
2
32
5
2 1 3
2 1 1
3
20 20 3 3 3 17 20 0
3
10
1
1 10
4
y t ty
tt
t
t
t t t t t
tt
ty t y
t
Giống như phần a, thay lần lượt các giá trị t vào một trong hai phương trình của hệ .
c.
2
22
22
19
2001
7
x xy y x y
HH
x xy y x y
2 2 2
2
22
22
22
0
3 19 6
0
19
*
1
7
7 ( )
6
xy
x y xy x y xy x y
xy
x xy y x y
xy
x xy y x y
x y xy x y x y x y
xy
Giải (*) cho ta nghiệm x,y .
d.
2
2
3
2
2001
3
2
xy
x
TL
yx
y
. Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải .
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau :
Hệ cócấutrúcđặcbiệt
www.vuihoc24h.vn
Trang 2
a.
2 3 2
42
5
4
2008
5
12
4
x y x y xy xy
KA
x y xy x
Hệ viết lại :
22
2
2
22
55
44
;
55
44
x y xy x y xy u v uv
u x y v xy
x y xy u v
Học sinh giải tiếp ta được :
2
3
3
2
0
0
5
5
4
4
3 25 3
; ; , 1;
1
1
4 16 2
2
2
3
3
2
2
u
xy
v
xy
xy
u
xy
v
xy
b.
2 2 2
17
08
1 13
xy x y
KB
x y xy y
2
2
2 2 2
2
2
2
2
1
1
7
7
17
11
7 13 *
1
1 13
1
13
13
x
x
x
x
yy
xy x y
yy
xx
x
yy
x y xy y
x
x
x
yy
yy
Đặt :
2
2
3 89
1
2
* : 3 20 0 1
1
10
3 89
2
x ty
t
x ty
t x t t
t ty
y
ty ty
y
t
Giải (1) tìm được x,y.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau :
a.
4 3 2 2
32
11
12
x x y x y
x y x xy
Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình :
2
2
4 3 2 2 2 2 2
2
1
2 2 0 2 0
2
x xy
x x y x y x xy x xy x xy
x xy
Thay lần lượt vào (2) :
2
2
2
22
2
3
2
22
3
2
22
1
1
1
10
0
0
2
22
3
3
23
x xy
x xy
x xy
xx
x xy
xy
x xy
x xy x xy
xy
x xy
xx
Học sinh giải tiếp
b.
4 3 2 2
2
2 2 9
08
2 6 6
x x y x y x
CD KB
x xy x
Hệ cócấutrúcđặcbiệt
www.vuihoc24h.vn
Trang 3
2
2
4 3 2 2
2
2
2 9 3
2 2 9
66
2 6 6
4
2
x xy x
x x y x y x
xx
x xy x
xy
. Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có :
4 3 2
3
32
0
0
0
12 48 64 0
4
12 48 64 0
40
x
x
x
x x x x
x
x x x
x
X=0 loại . Vậy hệcó nghiệm duy nhấy :
17
; 4;
4
xy
c.
2 1 2 1
22
1
1
11
0
2 2 0 2 2
10
11
22
22
2 2 2 1 3 2 2
x x x x
x y x
x y x
xx
x y x y
x y x y
x y y x
x y x y
xy
xy
xx
Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)
Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệcó nghiệm : (x;y)=(1;0)
d.
2
2
1
2
22
3
2 2 1
2
2 2 4 1 0 2
x
y
x
xy
x y x x y x
.
Từ (2) :
2
2
2
2 2 2
12
2 2 2 1 0 2 1 0 *
12
x
y
x
x y x x y x x y x
x
xy
x
Thay vào phương trình (1):
2
22
1 1 2
11
22
2
xx
xx
x
. Phương trình này đã biết cách giải ở phần
phương pháp giải phương trình mũ .
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a.
3
3
33
3 3 3
3
3
2
22
2
1
1
19
19
19
1 19
1
.6
6
6
6
y
y
uv
x y x
x
x
y
u v u v
yy
y xy x
y
xx
xx
. Với :
1
;u v y
x
Học sinh tự giải tiếp .
b.
2
3 2 2
3
2 2 2 2
2
1 2 12 0
2 12 0 1 2 12 0
8 12 8 1 12
12
81
yy
x xy y u uv
xx
y x u v
y
xx
. Với :
2
1
;
y
uv
xx
Giải tiếp tìm được u,v , sau đó tìm x,y .
c.
22
22
22
22
22
1
11
15
5
5
11
53
1
49
1 49
xy
xy
xy
uv
xy
uv
xy
xy
xy
xy
.
Hệ cócấutrúcđặcbiệt
www.vuihoc24h.vn
Trang 4
Với :
11
;u x v y
xy
. Học sinh giải tiếp .
d.
22
22
2 5 2 1 0
4 12 12 10 0
x xy y x y
x y xy x y
. Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có :
22
22
11 11 9 0 11 9 11 9 *x y xy x y x y xy x y xy x y x y
Phương trình (2) :
2
2 12 10 0x y xy x y
.
Thay (*) vào ta được :
2
2
3 10 8 0
3
4
xy
x y x y
xy
Vậy hệ đã cho :
2
2
2
3
3
659
22
11 9
9
33
4
4
37
16 11.4 9
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
. Giải tiếp ta tìm được x,y
Bài 5. Giải các hẹ phương trình sau :
a.
22
2 10 0
12 20 0
ln 1 ln 1
ln 1 ln 1
x y x y
x xy y
x y x y
x y x y
Từ (2) :
1
ln 1 ln(1 ) ( ) ln 1; '( ) 1 0 0x x y y f t t t f t t
t
. Chứng tỏ hàm số
f(t) đồng biến . Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y.
Nếu :
x=2y
; 0;0
x=y
xy
,
Nếu :
10
; 0;0
xy
xy
xy
b.
3 2 3
3 2 3
2
3 3 2 1
1 3 3 1 3 3 3
21
log log 3 2
12
yx
x x y y
x x x y y x
xy
x
yx
33
33
1 3 3 1 1 3 1 3 *x y y x x x y y
Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 .
2
1
1
x
y
Thay vào (2) ta có :
22
log 1 log 1 3 3 0 3
yx
x x x
.Vậy : y=x-1=3-1=2
Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2).
c.
3
2 2 2 2 4
2 3 4 6
2 2 3 2
2
2
2
20
22
20
2 1 1
2 1 1
2 1 1
y x x y yx x
x y y x x
x y x y x
x y x
x y x
x y x
-Trường hợp 1: y=
2
x
, thay vào (2) :
2 2 2
2 1 1 2 2 2 0 2;x x x x t x t x t t x
Hệ cócấutrúcđặcbiệt
www.vuihoc24h.vn
Trang 5
22
2
1 2 3 3
.
1
x x x
x x x
-Trường hợp :
2 2 2 4 2 2 2 4
2 0 yx 2 0x y yx x y x x
4 2 4 4 2
4 2 3 8 0 0
yy
x x x x x x R
2 2 2 4
(, ) 2 0 ,f y x y yx x x y
. Phương trình vô nghiệm .
Do đó hệcó hai nghiệm : (x;y)=
3;3 , 3;3
d.
2
2 6 2
2 2 2 3 0
2 2 6 0
2 3 2
2 3 2
2 3 2
x
y x y
x y y x y y
x y y x y y
y
x x y x y
x x y x y
x x y x y
- Trường hợp 1:
2
0
22
24
y
x y y
x y y
.
Thay vào (2)
2 2 2
2 4 5 2 2 4 5 2 4 7 2 0x y y y y y y y y
- Trường hợp :
22
00
2 3 *
2 9 9 2
yy
x y y
x y y x y y
.
Thay vào (2) :
2 2 2 2
9 2 3 9 2 3 2 9 5 9 5 2 0y y y y y y y y y y
2
2
2
2
1
2
9 5 0
9 5 4 0
4
9 5 2
20
9
y
t
t y y
yy
y
yy
tt
Thay lần lượt các giá trị của y vào (*) ta tìm được x .
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau :
a.
22
2
2
11
2
xy
xy
xy
x y x y
. Từ (2) viết lại :
2
22
x y x y x x x y x y x x
Ta xét hàm số f(t)=
2
0 ' 2 1 0 0t t t f t t t
. Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng
biến , cho nên ta có :
2
x y x y x x
. (*)
Thay vào (1) :
2
2
2
2 2 2 2 2 2
22
2
2
1 1 1 1 2 1 0
x x x
xy
x y x x x x x x x
xx
2
32
10
1 1 1 2 0 **
30
x
x x x x
x x x
Giải (**) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ
b.
22
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
2 96 3
48 2 96
24 24 2 24 4
y x y
y x y y x y
x y x y y x y x x y x y x
.
Thay (3) vào (4) ta có :
22
576 96 480
96 48 576 10
48 48
x x x x
Hệ cócấutrúcđặcbiệt
www.vuihoc24h.vn
Trang 6
Thay vào (1) :
2
2 2 2 2 4 2
2
36
100 48 100 48 100 2034 0
64
y
y y y y y y
y
Vậy : (x;y)=(10;-6),(10;6),(10;-8),(10;8)
c.
2
2
22
2
2 2 3 2 0
2 2 3 0
2 3 4 6
4 4 12 3
2 4 12 7 0
2 2 7 2 1 0
y x x
xy
xy x y
x y x y
x y y
x y y
-Trường hợp : x+2=0 , thay vào (2) :
7
71
2
; 2; , 2;
1
22
2
y
xy
y
-Trường hợp : 2y+3=0 hay : 2y=-3 , thay vào (2) :
22
2
2
33
2 3 7 3 1 0 2 4 ; 2; , 6;
6
22
x
x x x y
x
d.
2
12
2
2
2
2
12
2
2
2
2 . 1
12
2
1
2 2 0
12
u
y
y
y
xy
v
xy
xy
uv
x
x
x
y u v
u
y x y x
xy
xy y x
x
v
.
Với u=x-y và v=
2y
x
. Học sinh giải tiếp .
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau :
a.
22
2
2 2 1 2 1
2 2 1 6 2
x y x y
y x y xy
. Lấy (1) cộng với (2) vế với vế :
22
2
3 2 0
4
xy
x xy y
xy
Với : x=2y thay vào (2) :
2
5 3 5
5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5
20
10 5 1 0 ; ; . ;
10 20 10 20
5 3 5
20
y
y y x y
y
Với x=4y, thay vào (2) :
2
1
4 1 1
11
22 9 1 0 , ; , 2;
1
11 11 2
2
y
y y x y
y
b.
2 2 4 2
2
1 3 1
22
x y y y
xy x y
. Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty .
Cách khác :
Lấy (1) trừ cho hai sau khi nhân hai vế với x ( Khử
22
xy
ở hai phương trình của hệ ) :
2
2
4 2 2 4 2 2 2 2
1 3 2 2 1 2 1y x y xy y y x xy y y x y
22
22
11
11
y x y x y y
y y x x y y
. Thay vào (2)
Nếu :
2 2 4 3 3
1 1 2 1 0 1 1 0y y y y y y y y y
Hệ cócấutrúcđặcbiệt
www.vuihoc24h.vn
Trang 7
1; 1
1; 1
yx
yx
Với : x=
2
1yy
, thay vào (2) ta được :
3
1 1 0 1y y y
Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1).
c.
2
2 2 2
2
21
1
32
x y y
x x y
x
Cách 1:
Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi nhân hai vế của nó với
2
xy
, ta được
phương trình :
2
2
2
2
2
1
1
1
x
xy x a
x
x
xy x
x
x
x xy b
x
-Thay a) vào (1) :
2
3
2
21
1 1 0 1
1
xx
y x x x
xx
-Tương tự thay b) vào (1) . Học sinh tự làm
Cách 2:
Do x=0 không là nghiệm cho chia hai vế phương trình (1) cho xy
0
.
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
22
12
12
12
3
2
1
5 5 4 0 4
5
x
x
x
x xy
x xy
x xy
x y x y x y
x x y
xy
x
Từ (4) suy ra :
2 2 2 2
14x y x y
( loại ). Cho nên :
2
2
1
1
1
12
2
2 1 0 1
41
4
1 2 1
2 2 0
2
xy
xy
y
x
x x x
x xy
xy xy
xy
x
xx
x
x xy
2
2
1
1
1
12
2
2 1 0 1
44
4
1 2 1
2 2 0
2
xy
xy
y
x
x x x
x xy
xy xy
xy
x
xx
x
x xy
Vậy hệcó nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1)
d.
3
31
32
y
x y x
x
x y x x
. Điều kiện :
0; 0x x y
Hệ cócấutrúcđặcbiệt
www.vuihoc24h.vn
Trang 8
Phương trình (1) :
30
33
3
3
y
yy
x
x y x x
x y x
Với y=3 , thay vào (1) : 2
3 0 3 0xx
( loại )
Với
3
3 3 3 1; 8
3
x y x x
y x x x y
x y x x
Bài 8. Giải các hệ phương trình sau :
a.
22
11
12
x y x y x y
xy
. Điều kiện :
0, 0,x y x y
Phương trình (1)
1 0 1 1 0x y x y x y x y x y x y
Với :
11
1
0; 1
1; 0
1 2 0
1
x y x y
xy
xy
xy
x y xy
xy
Với :
11
1
2 1 2 2 2
1
x y x y
xy
x y xy x xy
xy
. Học sinh giải tiếp .
b.
22
2
3
4 4 7 1
1
2 3 2
xy x y
xy
x
xy
. Điều kiện :
0xy
Phương trình (1) :
2 2 2 2
2
3
3 6 2 7x y xy x y xy
xy
22
2
3
37x y x y
xy
Phương trình (2) :
1
3x y x y
xy
Vậy : Đặt
2
2
2
11
;2x y u v x y u x y
xy
xy
Hệ trở thành :
22
2
22
17
3 2 7
,
3 3 13 0 4 6 4 0
22
3
2; 1
uv
uv
u u u u
uv
uv
11
2
7
2
xy
xy
xy
. Hệ vô nghiệm .
2
1
1
2
1; 0
20
1
xy
xy
xy
xy
y
xy
c.
2
2
2
1 1 1
21
4
4
24
11
3
11
1 1 1
4
4
x
x
x y y x xy
x x y
xy
x
xx
x xy y
x
x x xy y
x x y
Hệ cócấutrúcđặcbiệt
www.vuihoc24h.vn
Trang 9
Trường hợp :
2
1
2
2 1 0
; 1;1
1
1
2
2
x
xx
x
xy
y
x
x
y
d.
2
3
2
2
2
3
2
1
29
2
2
29
xy
x x y
xx
xy
y y x
yy
.
Lấy (1) cộng với (2) vế với vế , ta được :
22
22
33
22
3
1 8 1 8
xy xy
xy
xy
Do :
2
3
3
3
2
2
3
3
2
3
2
1 8 8 2
29
2
2
1 8 8 2
29
xy
xy
x
xx
VT xy
xy
y
xy
yy
;
22
2VP x y xy
Cho nên để xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi : VT=VP=2xy và : x=y=1. Do đó hệcó nghiệm
duy nhất : (x,y)=(1;1).
Bài 9. Giải các hệ phương trình sau :
a.
11
2 5 1
25
5 2 4 3 2 1
11
34
3 4 2
xy
x y xy x y xy
yx
x y y x x y
x y xy x y xy
xy
yx
Thay vào (2) :
32
2 1 2 1 5 3 4 2 1 10 19 10 1 0y y y y y y y y y
2
1
1 10 9 1 0
9 41 9 41
20 20
y
y y y
yy
b.
4 4 2 2 4 4 2 2
4 4 2 2
4
2 2 2 2
6 41 6 41
6 41
10 4 40
81
x y x y x y x y
x y x y
xy x y xy x y
xy
.
2
4
22
22
2
2 9 10 0
4 2 81 41 40
4 41
9
3
3
x y xy
xy x y xy
x y xy x y
xy
xy
xy
TH1:
2 1, 2 2, 1
3 1, 2 2, 1
xy x y x y
x y x y x y
; 1; 2 , 2; 1 1;2 2;1xy
TH2.
2
5
55
3 0 9 4 1 0
2
22
3
xy
tt
xy
.Hệ vô nghiệm
Hệ cócấutrúcđặcbiệt
www.vuihoc24h.vn
Trang 10
c.
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
1
1 2 8 3
4
14
2
2
2 1 7
1 7 4
17
x
x x y
yx
x y xy y
y
yy
y x y x y
x x y
x y x
y
y
2
5
2 15 0
3
xy
x y x y
xy
. Thay lần lượt vào (3) ta có hai hệ :
22
22
55
1 13
1 9 9 46 0
1 13 7 13 1 13 7 13
; ; , ;
2
2 2 2 2
33
3
1 3 0
x y y x
x y x x
x
xy
x y y x
yx
x y x x
d.
3
3
22
33
2
2
22
2
22
2
11
1
4. 1 16 .
4 1 4 1 3
4 16 1
1 5 1 2
11
1
15
5 4 1 4
xx
xx
y y y y
x y y x
y y y
yx
x
x
y y y
yy
Đặt :
x
t
y
(*) Từ (3) và (4) :
3 2 3 2
1 5 1 4 1 21 5 4 0t t t t t t
2
1
0
3
4
21 5 4 0
7
t
t
tt
t
. Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ tìm
đượcnghiệm của hệ .(x,y)=(1;-3),(-1;3)
Bài 10. Giải các hệ phương trình sau :
a.
2
2 2 2 2
22
22
22
1 2 1
13
1
14
12
( ) 1
x y x y xy
uv
x y x y
u v uv
x x y xy y xy
x y xy x y xy
.
Với : u=x-y,v=xy . Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có :
2
0; 1
10
1; 0
2 3 0
34
,
uv
u v uv
uv
u v u v
u v uv
uv
01
11
; 1; 1 , 1;1 , 0; 1 , 1;0
1 0; 1
0 1; 0
x y x y
xy x y
xy
x y x y
xy x y
b.
2
22
22
2
2
2
2
41
2 2 2 4 4 0
2 2 8 6 0 1
3
1
4 1 0 2
1 4 1
2 2 2 2 4
xx
x x y y
x y x y
y
x
x xy y x
y x x x
x x y
Từ (3) :
2
21
2
1
xx
y
x
, thay vào (4) ta được :
[...]... xy 2 2 y 2 x x y x 2 y 2 2xy 2( x y) x y x y 2 x y 0 x y x 2 y 2 2 0 2 * Với : x-y=0 thay vào (1) ta có x2 1 x; y (1; 1), 1;1 Trang 11 Hệ cócấutrúcđặcbiệt www.vuihoc24h.vn x 2 y 2 2 3 * Với : 2 2 Lấy (3) nhân với 2 trừ cho (2) nhân với 3 ( Khử số hàng tự do ) x y xy 3 4 x y y 6 ta :.. .Hệ cócấutrúcđặcbiệt www.vuihoc24h.vn 2 x2 2 x 1 2 2 2 x 2x 2 2 0 x 2 x 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 0 x 1 x2 2x 0 t 0 t x 2 2 x x 0; x 2 ... 6 2 1 * Khi : u 1 6 v 1 6 1 3 6 2 x x 1 6 y x 1 6 y y 1 6 1 3 6 1 y2 y 3 6 3 6 y 2 3 3 6 3 Do đó ta cóhệ : x x 1 6 y x 1 6 y 1 6 y 1 1 1 2 y y 2 3 6 3 6 3 6 y Cách khác : Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình... x y 6 x 5 3 x y 2 2 x y 6 xy x y 6 x 5 3 x y 2 xy 2 Đặt : a=x+y,b=xy Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta được : www.Vuihoc24h.vn cung cấp tàiliệu học tập miễn phí ! Trang 12 . Hệ có cấu trúc đặc biệt
www.Vuihoc24h.vn
Trang 1
HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
a.
.
2
2
3
2
2001
3
2
xy
x
TL
yx
y
. Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải .
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau :
Hệ có cấu trúc đặc biệt
www.vuihoc24h.vn
Trang