Tài liệu Hệ có cấu trúc đặc biệt ppt

Hệ có cấu trúc đặc biệt www.Vuihoc24h.vn Trang 1 HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 1. Giải các hệ phương trình sau a.      2 33 2 2000 19 x y y NNI x ty xy         .Điều kiện : t khác 1               2 3 3 2 2 3 3 12 1 3 1 19 2 1 3 19 ( 1) 2 1 1 3 1 19 ty t t t t t t t t t y t t t                          2 1 17 15 2 0 2 17 t tt t            . Thay lần lượt các giá trị của t vào phương trình (1) :  t=1: Loại  t=-2/7 thì x=-2/7y suy ra : 3 2 2 3 2 2 2 17 17 2 2.17 2 1 19 17 xy xy y y                     b.        22 22 23 98 10 y x y x MDC x ty x x y y                  32 2 4 2 4 2 2 32 5 2 1 3 2 1 1 3 20 20 3 3 3 17 20 0 3 10 1 1 10 4 y t ty tt t t t t t t t tt ty t y t                           Giống như phần a, thay lần lượt các giá trị t vào một trong hai phương trình của hệ . c.       2 22 22 19 2001 7 x xy y x y HH x xy y x y                                 2 2 2 2 22 22 22 0 3 19 6 0 19 * 1 7 7 ( ) 6 xy x y xy x y xy x y xy x xy y x y xy x xy y x y x y xy x y x y x y xy                                                        Giải (*) cho ta nghiệm x,y . d.   2 2 3 2 2001 3 2 xy x TL yx y           . Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải . Bài 2. Giải các hệ phương trình sau : Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang 2 a.     2 3 2 42 5 4 2008 5 12 4 x y x y xy xy KA x y xy x                    Hệ viết lại :       22 2 2 22 55 44 ; 55 44 x y xy x y xy u v uv u x y v xy x y xy u v                             Học sinh giải tiếp ta được :   2 3 3 2 0 0 5 5 4 4 3 25 3 ; ; , 1; 1 1 4 16 2 2 2 3 3 2 2 u xy v xy xy u xy v xy                                                               b.   2 2 2 17 08 1 13 xy x y KB x y xy y             2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 7 7 17 11 7 13 * 1 1 13 1 13 13 x x x x yy xy x y yy xx x yy x y xy y x x x yy yy                                                            Đặt :     2 2 3 89 1 2 * : 3 20 0 1 1 10 3 89 2 x ty t x ty t x t t t ty y ty ty y t                                 Giải (1) tìm được x,y. Bài 3. Giải các hệ phương trình sau : a.     4 3 2 2 32 11 12 x x y x y x y x xy             Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình :       2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 2 0 2 x xy x x y x y x xy x xy x xy x xy                      Thay lần lượt vào (2) :         2 2 2 22 2 3 2 22 3 2 22 1 1 1 10 0 0 2 22 3 3 23 x xy x xy x xy xx x xy xy x xy x xy x xy xy x xy xx                                                                       Học sinh giải tiếp b.   4 3 2 2 2 2 2 9 08 2 6 6 x x y x y x CD KB x xy x              Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang 3       2 2 4 3 2 2 2 2 2 9 3 2 2 9 66 2 6 6 4 2 x xy x x x y x y x xx x xy x xy                       . Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có :   4 3 2 3 32 0 0 0 12 48 64 0 4 12 48 64 0 40 x x x x x x x x x x x x                            X=0 loại . Vậy hệ có nghiệm duy nhấy :   17 ; 4; 4 xy     c.    2 1 2 1 22 1 1 11 0 2 2 0 2 2 10 11 22 22 2 2 2 1 3 2 2 x x x x x y x x y x xx x y x y x y x y x y y x x y x y xy xy xx                                                            Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)  Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0) d.       2 2 1 2 22 3 2 2 1 2 2 2 4 1 0 2 x y x xy x y x x y x                 . Từ (2) :       2 2 2 2 2 2 12 2 2 2 1 0 2 1 0 * 12 x y x x y x x y x x y x x xy x                        Thay vào phương trình (1): 2 22 1 1 2 11 22 2 xx xx x      . Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ . Bài 4. Giải các phương trình sau : a.   3 3 33 3 3 3 3 3 2 22 2 1 1 19 19 19 1 19 1 .6 6 6 6 y y uv x y x x x y u v u v yy y xy x y xx xx                                             . Với : 1 ;u v y x  Học sinh tự giải tiếp . b. 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 12 0 2 12 0 1 2 12 0 8 12 8 1 12 12 81 yy x xy y u uv xx y x u v y xx                                     . Với : 2 1 ; y uv xx  Giải tiếp tìm được u,v , sau đó tìm x,y . c.     22 22 22 22 22 1 11 15 5 5 11 53 1 49 1 49 xy xy xy uv xy uv xy xy xy xy                                        . Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang 4 Với : 11 ;u x v y xy     . Học sinh giải tiếp . d. 22 22 2 5 2 1 0 4 12 12 10 0 x xy y x y x y xy x y                  . Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có :           22 22 11 11 9 0 11 9 11 9 *x y xy x y x y xy x y xy x y x y                   Phương trình (2) :     2 2 12 10 0x y xy x y       . Thay (*) vào ta được :     2 2 3 10 8 0 3 4 xy x y x y xy                Vậy hệ đã cho : 2 2 2 3 3 659 22 11 9 9 33 4 4 37 16 11.4 9 xy xy xy xy xy xy xy xy                                                                    . Giải tiếp ta tìm được x,y Bài 5. Giải các hẹ phương trình sau : a.            22 2 10 0 12 20 0 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 x y x y x xy y x y x y x y x y                          Từ (2) :   1 ln 1 ln(1 ) ( ) ln 1; '( ) 1 0 0x x y y f t t t f t t t               . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y.  Nếu :     x=2y ; 0;0 x=y xy     ,  Nếu :     10 ; 0;0 xy xy xy       b.         3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 1 1 3 3 1 3 3 3 21 log log 3 2 12 yx x x y y x x x y y x xy x yx                                        33 33 1 3 3 1 1 3 1 3 *x y y x x x y y            Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 . 2 1 1 x y    Thay vào (2) ta có :     22 log 1 log 1 3 3 0 3 yx x x x        .Vậy : y=x-1=3-1=2 Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2). c.                    3 2 2 2 2 4 2 3 4 6 2 2 3 2 2 2 2 20 22 20 2 1 1 2 1 1 2 1 1 y x x y yx x x y y x x x y x y x x y x x y x x y x                                        -Trường hợp 1: y= 2 x , thay vào (2) :       2 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2;x x x x t x t x t t x             Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang 5 22 2 1 2 3 3 . 1 x x x x x x                 -Trường hợp :   2 2 2 4 2 2 2 4 2 0 yx 2 0x y yx x y x x           4 2 4 4 2 4 2 3 8 0 0 yy x x x x x x R              2 2 2 4 (, ) 2 0 ,f y x y yx x x y       . Phương trình vô nghiệm . Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=     3;3 , 3;3 d.    2 2 6 2 2 2 2 3 0 2 2 6 0 2 3 2 2 3 2 2 3 2 x y x y x y y x y y x y y x y y y x x y x y x x y x y x x y x y                                             - Trường hợp 1: 2 0 22 24 y x y y x y y          . Thay vào (2) 2 2 2 2 4 5 2 2 4 5 2 4 7 2 0x y y y y y y y y              - Trường hợp :   22 00 2 3 * 2 9 9 2 yy x y y x y y x y y             . Thay vào (2) : 2 2 2 2 9 2 3 9 2 3 2 9 5 9 5 2 0y y y y y y y y y y             2 2 2 2 1 2 9 5 0 9 5 4 0 4 9 5 2 20 9 y t t y y yy y yy tt                              Thay lần lượt các giá trị của y vào (*) ta tìm được x . Bài 6. Giải các hệ phương trình sau : a.     22 2 2 11 2 xy xy xy x y x y             . Từ (2) viết lại :   2 22 x y x y x x x y x y x x           Ta xét hàm số f(t)=     2 0 ' 2 1 0 0t t t f t t t        . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : 2 x y x y x x     . (*) Thay vào (1) :         2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 1 1 1 2 1 0 x x x xy x y x x x x x x x xx                          2 32 10 1 1 1 2 0 ** 30 x x x x x x x x                 Giải (**) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ b.       22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 96 3 48 2 96 24 24 2 24 4 y x y y x y y x y x y x y y x y x x y x y x                                . Thay (3) vào (4) ta có : 22 576 96 480 96 48 576 10 48 48 x x x x          Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang 6 Thay vào (1) :   2 2 2 2 2 4 2 2 36 100 48 100 48 100 2034 0 64 y y y y y y y y                 Vậy : (x;y)=(10;-6),(10;6),(10;-8),(10;8) c.                 2 2 22 2 2 2 3 2 0 2 2 3 0 2 3 4 6 4 4 12 3 2 4 12 7 0 2 2 7 2 1 0 y x x xy xy x y x y x y x y y x y y                                      -Trường hợp : x+2=0 , thay vào (2) :   7 71 2 ; 2; , 2; 1 22 2 y xy y                           -Trường hợp : 2y+3=0 hay : 2y=-3 , thay vào (2) :          22 2 2 33 2 3 7 3 1 0 2 4 ; 2; , 6; 6 22 x x x x y x                                   d.         2 12 2 2 2 2 12 2 2 2 2 . 1 12 2 1 2 2 0 12 u y y y xy v xy xy uv x x x y u v u y x y x xy xy y x x v                                                                                . Với u=x-y và v= 2y x . Học sinh giải tiếp . Bài 7. Giải các hệ phương trình sau : a.     22 2 2 2 1 2 1 2 2 1 6 2 x y x y y x y xy              . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế : 22 2 3 2 0 4 xy x xy y xy           Với : x=2y thay vào (2) :   2 5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5 20 10 5 1 0 ; ; . ; 10 20 10 20 5 3 5 20 y y y x y y                                      Với x=4y, thay vào (2) :   2 1 4 1 1 11 22 9 1 0 , ; , 2; 1 11 11 2 2 y y y x y y                           b.     2 2 4 2 2 1 3 1 22 x y y y xy x y          . Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty . Cách khác : Lấy (1) trừ cho hai sau khi nhân hai vế với x ( Khử 22 xy ở hai phương trình của hệ ) :     2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 1 3 2 2 1 2 1y x y xy y y x xy y y x y               22 22 11 11 y x y x y y y y x x y y                   . Thay vào (2)  Nếu :        2 2 4 3 3 1 1 2 1 0 1 1 0y y y y y y y y y             Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang 7 1; 1 1; 1 yx yx           Với : x= 2 1yy , thay vào (2) ta được :     3 1 1 0 1y y y      Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1). c.     2 2 2 2 2 21 1 32 x y y x x y x          Cách 1: Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi nhân hai vế của nó với 2 xy , ta được phương trình :       2 2 2 2 2 1 1 1 x xy x a x x xy x x x x xy b x                  -Thay a) vào (1) :     2 3 2 21 1 1 0 1 1 xx y x x x xx            -Tương tự thay b) vào (1) . Học sinh tự làm Cách 2: Do x=0 không là nghiệm cho chia hai vế phương trình (1) cho xy 0 .         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 12 12 12 3 2 1 5 5 4 0 4 5 x x x x xy x xy x xy x y x y x y x x y xy x                                       Từ (4) suy ra : 2 2 2 2 14x y x y   ( loại ). Cho nên : 2 2 1 1 1 12 2 2 1 0 1 41 4 1 2 1 2 2 0 2 xy xy y x x x x x xy xy xy xy x xx x x xy                                                                      2 2 1 1 1 12 2 2 1 0 1 44 4 1 2 1 2 2 0 2 xy xy y x x x x x xy xy xy xy x xx x x xy                                                                           Vậy hệ có nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1) d.     3 31 32 y x y x x x y x x               . Điều kiện : 0; 0x x y   Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang 8 Phương trình (1) : 30 33 3 3 y yy x x y x x x y x                Với y=3 , thay vào (1) : 2 3 0 3 0xx      ( loại )  Với 3 3 3 3 1; 8 3 x y x x y x x x y x y x x                       Bài 8. Giải các hệ phương trình sau : a.     22 11 12 x y x y x y xy             . Điều kiện : 0, 0,x y x y   Phương trình (1)    1 0 1 1 0x y x y x y x y x y x y                Với : 11 1 0; 1 1; 0 1 2 0 1 x y x y xy xy xy x y xy xy                             Với : 11 1 2 1 2 2 2 1 x y x y xy x y xy x xy xy                           . Học sinh giải tiếp . b.         22 2 3 4 4 7 1 1 2 3 2 xy x y xy x xy               . Điều kiện : 0xy Phương trình (1) :       2 2 2 2 2 3 3 6 2 7x y xy x y xy xy               22 2 3 37x y x y xy        Phương trình (2) :     1 3x y x y xy       Vậy : Đặt     2 2 2 11 ;2x y u v x y u x y xy xy             Hệ trở thành :     22 2 22 17 3 2 7 , 3 3 13 0 4 6 4 0 22 3 2; 1 uv uv u u u u uv uv                            11 2 7 2 xy xy xy               . Hệ vô nghiệm .   2 1 1 2 1; 0 20 1 xy xy xy xy y xy                     c. 2 2 2 1 1 1 21 4 4 24 11 3 11 1 1 1 4 4 x x x y y x xy x x y xy x xx x xy y x x x xy y x x y                                                       Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang 9  Trường hợp :     2 1 2 2 1 0 ; 1;1 1 1 2 2 x xx x xy y x x y                    d.     2 3 2 2 2 3 2 1 29 2 2 29 xy x x y xx xy y y x yy                . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế , ta được :       22 22 33 22 3 1 8 1 8 xy xy xy xy         Do :     2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2 1 8 8 2 29 2 2 1 8 8 2 29 xy xy x xx VT xy xy y xy yy                         ; 22 2VP x y xy   Cho nên để xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi : VT=VP=2xy và : x=y=1. Do đó hệ có nghiệm duy nhất : (x,y)=(1;1). Bài 9. Giải các hệ phương trình sau : a.         11 2 5 1 25 5 2 4 3 2 1 11 34 3 4 2 xy x y xy x y xy yx x y y x x y x y xy x y xy xy yx                                     Thay vào (2) :      32 2 1 2 1 5 3 4 2 1 10 19 10 1 0y y y y y y y y y                2 1 1 10 9 1 0 9 41 9 41 20 20 y y y y yy                 b.       4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 6 41 6 41 6 41 10 4 40 81 x y x y x y x y x y x y xy x y xy x y xy                        .         2 4 22 22 2 2 9 10 0 4 2 81 41 40 4 41 9 3 3 x y xy xy x y xy x y xy x y xy xy xy                                      TH1: 2 1, 2 2, 1 3 1, 2 2, 1 xy x y x y x y x y x y                               ; 1; 2 , 2; 1 1;2 2;1xy       TH2. 2 5 55 3 0 9 4 1 0 2 22 3 xy tt xy                        .Hệ vô nghiệm Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang 10 c.                     2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 8 3 4 14 2 2 2 1 7 1 7 4 17 x x x y yx x y xy y y yy y x y x y x x y x y x y y                                                 2 5 2 15 0 3 xy x y x y xy               . Thay lần lượt vào (3) ta có hai hệ :   22 22 55 1 13 1 9 9 46 0 1 13 7 13 1 13 7 13 ; ; , ; 2 2 2 2 2 33 3 1 3 0 x y y x x y x x x xy x y y x yx x y x x                                                                     d.           3 3 22 33 2 2 22 2 22 2 11 1 4. 1 16 . 4 1 4 1 3 4 16 1 1 5 1 2 11 1 15 5 4 1 4 xx xx y y y y x y y x y y y yx x x y y y yy                                                                      Đặt : x t y  (*) Từ (3) và (4) :     3 2 3 2 1 5 1 4 1 21 5 4 0t t t t t t         2 1 0 3 4 21 5 4 0 7 t t tt t                 . Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ tìm đượcnghiệm của hệ .(x,y)=(1;-3),(-1;3) Bài 10. Giải các hệ phương trình sau : a.             2 2 2 2 2 22 22 22 1 2 1 13 1 14 12 ( ) 1 x y x y xy uv x y x y u v uv x x y xy y xy x y xy x y xy                                      . Với : u=x-y,v=xy . Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có :      2 0; 1 10 1; 0 2 3 0 34 , uv u v uv uv u v u v u v uv uv                                           01 11 ; 1; 1 , 1;1 , 0; 1 , 1;0 1 0; 1 0 1; 0 x y x y xy x y xy x y x y xy x y                                      b.                 2 22 22 2 2 2 2 41 2 2 2 4 4 0 2 2 8 6 0 1 3 1 4 1 0 2 1 4 1 2 2 2 2 4 xx x x y y x y x y y x x xy y x y x x x x x y                                             Từ (3) :   2 21 2 1 xx y x      , thay vào (4) ta được : [...]... xy 2  2 y  2 x   x  y   x 2  y 2  2xy   2( x  y)   x  y  x  y   2  x  y   0   x  y   x 2  y 2  2   0 2 * Với : x-y=0 thay vào (1) ta có x2  1   x; y   (1; 1), 1;1 Trang 11 Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn  x 2  y 2  2  3  * Với :  2 2 Lấy (3) nhân với 2 trừ cho (2) nhân với 3 ( Khử số hàng tự do ) x  y  xy  3  4    x  y  y 6 ta :.. .Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn 2  x2  2 x  1  2 2 2  x  2x  2  2    0   x  2 x  2  x  2 x  1  2  x  2 x  1  0  x 1   x2  2x  0 t  0 t  x 2  2 x  x  0; x  2  ...  6  2 1 * Khi : u  1  6  v   1  6  1  3  6    2  x x  1 6 y x  1 6 y  y  1  6         1 3 6  1  y2  y   3 6   3 6  y 2 3  3 6  3    Do đó ta có hệ :   x x  1 6 y x  1 6 y   1  6     y    1 1  1 2  y   y   2  3  6 3 6 3 6     y            Cách khác : Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình...  x  y   6 x  5  3  x  y   2  2  x  y   6 xy  x  y   6 x  5  3  x  y   2 xy      2 Đặt : a=x+y,b=xy Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta được : www.Vuihoc24h.vn cung cấp tài liệu học tập miễn phí ! Trang 12 . Hệ có cấu trúc đặc biệt www.Vuihoc24h.vn Trang 1 HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Bài 1. Giải các hệ phương trình sau a. .  2 2 3 2 2001 3 2 xy x TL yx y           . Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải . Bài 2. Giải các hệ phương trình sau : Hệ có cấu trúc đặc biệt www.vuihoc24h.vn Trang