Luận văn Thạc sĩ Phương pháp phân tích trực giao chuẩn (POD) cho bài toán xác định tham số trong phương trình Elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ Phạm Hữu Thuần PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ: TỐN HỌC Hà Nội – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Phạm Hữu Thuần PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Đinh Nho Hào Hà Nội – 2022 i LỜI CAM ĐOAN Luận văn thực dựa tìm tịi, học hỏi cá nhân tơi hướng dẫn thầy Đinh Nho Hào Mọi giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2022 Học viên Phạm Hữu Thuần ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn tới thầy hướng dẫn GS.TSKH Đinh Nho Hào, thầy khơng giúp đỡ tơi hồn thành luận văn cách tốt mà cịn ln quan tâm bảo sống Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn tới quỹ đổi sáng tạo (VINIF) tài trợ học bổng cho tôi, giúp tập trung hồn tồn vào việc học tập, nghiên cứu để hồn thành tốt chương trình thạc sĩ Tơi xin cảm ơn trung tâm đào tạo sau đại học Viện Toán học Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo môi trường học tập, nghiên cứu tốt suốt q trình tơi học tập thực luận văn Bên cạnh tơi xin gửi lời cảm ơn tới anh Nguyễn Xuân Quý, người bạn người anh lớp với hỗ trợ tơi q trình tìm hiểu lập trình ví dụ số cho luận văn Đặc biệt, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình tơi Những người ln làm việc chăm để tơi thực ước mơ Cảm ơn tình u thương vơ điều kiện bố, mẹ tơi tin họ ln tự hào hành trình iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục hình vẽ, đồ thị v Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 0.1 Đại số tuyến tính 0.2 Giải tích hàm 0.3 Phương trình đạo hàm riêng 0.4 Lí thuyết tối ưu 14 PHƯƠNG PHÁP POD 17 1.1 Trường hợp rời rạc 17 1.2 Trường hợp liên tục 26 Phương pháp POD-Galerkin cho phương trình elliptic 37 iv 2.1 Bài tốn biên Robin cho phương trình elliptic 37 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 42 2.3 Tìm sở POD 44 2.4 Phương pháp POD-Galerkin cho toán biên Robin 48 2.5 Ước lượng sai số phương pháp POD-Galerkin 50 2.6 Ví dụ số 57 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 61 3.1 Đặt tốn 61 3.2 Điều kiện cần tối ưu bậc 68 3.3 Thay ràng buộc bất đẳng thức 74 3.3.1 Phương pháp SQP cho (Pϱλˆ ) 77 3.3.2 Damping Hessian 86 3.3.3 Line search 87 Xấp xỉ Galerkin thuật toán SQP 88 3.4 Kết luận kiến nghị 95 Tài liệu tham khảo 96 v Danh sách hình vẽ 2.1 Tốc độ giảm giá trị riêng 59 2.2 Nghiệm theo phương pháp phần tử hữu hạn 59 2.3 Nghiệm theo phương pháp POD 60 2.4 Sai khác nghiệm theo hai phương pháp 60 MỞ ĐẦU Phương pháp phân tích trực giao chuẩn Phân tích trực giao chuẩn (Proper Othorgonal Decomposition, viết tắt POD) phương pháp số cho phép giảm độ phức tạp mơ máy tính động lực học chất lỏng tính tốn phân tích cấu trúc (như mơ va chạm) Điển hình phân tích động lực học chất lỏng tua bin, sử dụng để thay phương trình Navier-Stokes mơ hình đơn giản để giải [1] Phương pháp phân tích trực giao (POD) có lịch sử lâu dài Tiền thân POD phương pháp vector riêng K Pearson khởi xướng từ năm 1901 để chọn thành phần lượng liệu lớn Tuy nhiên, phương pháp ảnh tức thời (snapshots) cho POD Sirovich khởi xướng vào năm 1987 Phương pháp phát triển cho nhiều toán lĩnh vực khác nhau, xử lý tín hiệu nhận dạng mẫu, thống kê, thủy động học, khí tượng, kỹ thuật y sinh Một thời gian dài kể từ năm 1987, phương pháp POD chủ yếu sử dụng để thực phân tích thành phần (PCA) tính tốn thống kê Đặc biệt, phương pháp POD Galerkin bắt đầu áp dụng vào xây dựng mơ hình giảm số chiều cho phương trình đạo hàm riêng PDEs đề xuất cơng trình xuất sắc năm 2001 2002 Kunisch Volkwein Từ thời điểm trở đi, việc giảm số chiều phương pháp tính tốn số dựa POD cho PDE trải qua trình phát triển nhanh chóng, cải tiến hiệu suất cho giải pháp số cho PDE Phương pháp xây dựng mơ hình với bậc nhỏ dựa sở POD ngày ứng dụng vào nhiều mơ hình nhiều lĩnh vực sống y tế, địa chất Đối tượng nghiên cứu luận văn Trong luận văn này, áp dụng phương pháp POD cho tốn ước lượng tham số vơ hướng phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic qua quan sát biên Trong nhiều ứng dụng, để phù hợp với ý nghĩa vật lý, kĩ thuật tham số cần ước lượng phải thỏa mãn ràng buộc bất đẳng thức Do đó, tốn ước lượng tham số xây dựng dạng tốn điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng với ràng buộc bất đẳng thức Trong luận văn này, chúng tơi tập trung vào thuật tốn Lagrange tăng cường, kết hợp với phương pháp SQP toàn cục cho toán điều khiển tối ưu này, [2], [3] Các phương pháp SQP cho vấn đề ước lượng tham số nghiên cứu [4], [5] Ràng buộc bất đẳng thức toán điều khiển tối ưu xử lý thuật toán Lagrange tăng cường Ở bước phương pháp Lagrange tăng cường, phương pháp SQP toàn cục sử dụng để giải vấn đề với hạn chế đẳng thức Ước lượng tham số thường yêu cầu thực phép lặp nhiều lần mà lần lặp ta phải giải hai toán giá trị biên Do đó, phương pháp số để giải toán đắt đỏ Để khắc phục hạn chế này, chúng tơi áp dụng mơ hình giảm số chiều cho toán điều khiển tối ưu để tiết kiệm thời gian tính tốn Phương pháp giảm số chiều cho phương trình elliptic phụ thuộc tham số thảo luận [6], [7] Trong luận văn chúng tơi áp dụng phân tích trực giao chuẩn (POD) để thu mơ hình giảm số chiều toán điều khiển tối ưu POD phương pháp để xấp xỉ phương trình vi phân mơ hình bậc thấp cho hệ tuyến tính phi tuyến tính Nó dựa việc chiếu hệ cần giải lên không gian bao gồm phần tử sở chứa đặc điểm (features) lời giải Trong luận văn, sở POD bắt nguồn từ nghiệm cho phương trình PDE cho giá trị tham số khác (chúng gọi giải pháp ’snapshot’) Bố cục luận văn Luận văn viết dựa theo tài liệu [6], [8], [9] trình bày theo bố cục: Chương 1: Giới thiệu phương pháp POD cho trường hợp rời rạc liên tục Chương 2: Phương pháp POD-Galerkin cho phương trình đạo hàm riêng elliptic ước lượng sai số phương pháp POD-Galerkin, ngồi chương chúng tơi giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn để tạo snapshot cho phương pháp POD Chương 3: Giới thiệu chi tiết vấn đề ước lượng tham số không gian hàm vơ hạn chiều Chúng tơi trình bày cách thuật toán Lagrange tăng cường (bao gồm phương pháp SQP) rời rạc sở Galerkin phần tử hữu hạn POD X s.t u φ αj yjh , max u i φi i i u1 , ,unF E i=1 j=1 i=1 L2 (Ω) với ui = Ui1 (2.13) Đặt u = u1 , , unF E
T = 1, (2.19) L2 (Ω) , (2.19) có hàm lagrange L : RnF E × R → R cho :  * 2 + n n n FE FE X X X  h + λ 1 − αj