TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 2 1

Chương 2: Tích phân và biến đổi Fourier 2.1 Tích phân Fourier 2.2 Phép biến đổi Fourier 2.3 Các tính chất của phép biến đổi Fourier 2.4 Biến đổi Fourier của hàm bản 2.5 Phương pháp tìm biến đổi Fourier 2.6 Tìm biến đổi Fourier dùng MATLAB 2.7 Ứng dụng của biến đổi Fourier Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2.1 Tích phân Fourier  Chuổi Fourier: dùng phân tích tác động là tín hiệu tuần hoàn lên mạch điện và hệ thống  Tích phân Fourier: dùng phân tích tác động là tín hiệu không tuần hoàn lên mạch điện và hệ thống Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2.1.1 Tích phân Fourier dạng chuẩn:  Từ chuổi Fourier lượng giác của một hàm tuần hoàn:  f(t)  12 a    a n cos(nω0 t)  bn sin(nω0 t)  (2.1) n 1  Thế công thức:    T/2 f(t)cos(nω t)dt cos(nω t)    T  0   T/2 T/2 f(t)  T  f(t)dt     T/2  T/2 n 1   T2  f(t)sin(nω0 t)dt sin(nω0 t)   T/2     (2.2) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2.1.1 Tích phân Fourier …  Đặt:  = n0 (2.3) ω  (n  1)0  n0  0   Thế vào (2.2):  2π T  (2.4)  T/2 f(t)cos(ωt)dt cos(ωt)    π  T/2   T/2 f(t)  T  f(t)dt     T/2  T/2 n 1   1π  f(t)sin(ωt)dt sin(ωt)   T/2     (2.5)  Khi cho chu kỳ T  ∞, số hạng đầu  0, ta có thể biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn ở dạng: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2.1.1 Tích phân Fourier …     f(t)cos(ωt)dt cos(ωt)    π    f(t)      n 1   π  f(t)sin(ωt)dt sin(ωt)       (2.6)  Ta có thể thay tổng bằng tích phân từ  ∞, và cho phép thiết lập công thức biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier dạng chuẩn Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Công thức tích phân Fourier dạng chuẩn: Nếu định nghĩa hàm hệ số A() và B() bởi: A(ω)  B(ω)      f(t) cos(ωt)dt (2.7)    f(t) sin(ωt)dt (2.8)  Thì f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier dạng chuẩn:  f(t)   [A(ω) cos(t )  B(ω)sin(t )]d (2.9) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2.1.2 Tích phân Fourier côsin và sin:  Tương tự chuổi Fourier, ta có thể đưa tín hiệu không tuần hoàn [0, L] thành tín hiệu chẵn hay lẻ để có tích phân Fourier côsin và tích phân Fourier sin  Tất nhiên , biểu diễn chỉ có nghĩa khoảng [0, L] a) Nếu f(t) chẵn , ta có : A(ω)   f(t) cos(ωt)dt   (2.10) Và f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier côsin:  f(t)   [A(ω) cos(t )]d (2.11) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM b) Nếu f(t) là hàm lẻ: ta có  B(ω)   f(t)sin(ωt)dt 0 (2.12) Và f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier sin:  f(t)   [B(ω)sin(ωt)]d (2.13) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier :  Ta đề cập ứng dụng để tích tích phân suy rộng  Xét tín hiệu f(t) cho bởi (2.14): 0 |t|  f(t)   1 |t|  (2.14) Vì f(t) chẵn nên hàm hệ số A() của nó cho bởi (2.10): A(ω)  π  cos(ωt)dt  sin(ω) π ω (2.15) Và f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier côsin (2.16):  sin(ω) cos ωt f(t)   d π0 ω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.16) 2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo)  Áp dụng tích chất hội tụ của tích phân Fourier ta được : 1 |t|  sin  cos t  d  1/2 |t|   0  0 |t|    (2.17)  Cho t = 0, ta có :  sin   0  d  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.18) 10 3) Giải phương trình vi phân: (đọc slides) Bài toán: Tìm nghiệm của PT vi phân : y’ + y = 2e–2tu(t) ?  Lưu ý: Bài toán giải phương trình vi phân không có điều kiện đầu là thích hợp nhất dùng biến đổi Fourier Qui trình giải: Step1: Biến đổi Fourier vế của phương trình Step2: Tìm biến đổi Fourier của y(t), tức là Y() Step3: Tìm biến đổi Fourier ngược của Y(), suy tín hiệu y(t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 97 4) Giải tích mạch điện: Mạch điện với nguồn bất kỳ Difficult Tín hiệu y(t) FT Easy Mạch miền tần số (phức theo ) Giải theo nguyên lý mạch điện DC Biến đổi Fourier của tín hiệu Y() Biến đổi Fourier ngược Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 98  Circuit elements in frequency domain: R R L jL C 1  j jC C Source Fourier Transform Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 99  VD 2.7.3: Circuit Analysis  Tìm đáp ứng u(t) e(t) = V 1H + Giaûi 10  _  Mạch miền tần số: u(t) - E()  10 ()  Ảnh Fourier tác động :  Tín hiệu : e(t) + U(ω)  E(ω) 10 10 jω  10 () 10 10 jω  10 ()  Biến đổi ngược: u(t)  F 1 10 ()  V Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 100  VD 2.7.4: Circuit Analysis  Tìm vc(t) biết vin(t) = 50cos(4t) V ?  Mạch miền tần sớ: Giải  Ảnh Fourier của nguồn: Vin (ω)  50 [ (  4)   (  4)]  Áp tụ: VC (ω)  Vin (ω)  Vin (ω)  50π [ (  4)   (  4)] 11/ Z 3 jω 3 jω  Biến đổi ngược: Do: 1 F VC (ω)  10 [e j53.1 (  4)  e j53.1 (  4)] 2 (  4)  e j4t 1 ; F 2 (  4)  e  j4t ; vC (t)  5[e j53.1e j4t  e j53.1e j4t ]  10cos(4t  53.1o )V Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 101  VD 2.7.5: Circuit Analysis  Tín hiệu : Giải e(t) _  Ảnh Fourier tác động : 1H +  Tìm đáp ứng độ u(t) e(t) = 5e-2t.u(t) V + 10  u(t) - E ( )   j U(ω)  E(ω) 1010 jω  25jω 1010 jω  508  21jω  101 jω   Biến đổi ngược: u(t)  F  1 50      6,25  e2t  e10t  u(t)V  2 jω 10 jω  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 102  VD 2.7.6: Circuit Analysis  Tìm u(t)? e(t) 1H t(s)  Ảnh Fourier tác động : e(t) 0.1 u(t) - e(t )  5[1(t ) 1(t  0.1)] E ()  {   ()}  {   ()}e jω 10  _ + Giaûi + jω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  j0.1ω  5  1e j0.1ω jω 103  VD 2.7.6: Circuit Analysis (t.theo)  Tìm u(t)? e(t) t(s) 10 10 jω  50 jω(10 jω) 0.1 (1  e e(t) + 10  _  Tín hiệu : + Giải U(ω)  E(ω) 1H  j0.1ω  Biến đổi ngược: u(t) - 5  )   jω  10 jω  (1  e j0.1ω ) 2.5sgn(t)  5e10t u(t) u(t)  {2.5sgn(t)  5e10t u(t)}  {2.5sgn(t  0.1)  5e10(t 0.1)u(t  0.1)} Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 104  VD 2.7.7: Circuit Analysis &MATLAB The output voltage= 1/6 + 1/4 exp(x) Heaviside(-x) - 1/12 exp(-3 x) Heaviside(x) + 1/6 Heaviside(x) - 1/6 Heaviside(-x) Gia tri va(0-) = 1/4 Gia tri va(0+) = 1/4 Gia tri va(xac lap) = 1/3 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 105  VD 2.7.7: Circuit Analysis &MATLAB (tt) % Sketch vat over range -5s -> 5s tinit = -5; tfinal = 5; N = 200 time = linspace(tinit,tfinal,N); out = linspace(0,1,N); for n=1:N % The t va doi sym ve numeric out(n)= vpa(subs(vat,'x',time(n)),4); end plot(time,out);grid on; xlabel('Time (s)'); ylabel('va(t), V'); title('The Output Voltage'); The Output Voltage 0.35 0.3 0.25 va(t), V % Example4_phan2.6: Giai mach dung Bien doi Fourier syms t x w ; % Thong so mach R1 = 1; Ra = 0.5; C = 1; vgt = sym('exp(t)*Heaviside(-t)+Heaviside(t)'); % Bien doi Fourier cua nguon Vgw = fourier(vgt); % Ham truyen tan so Hw = 1/R1/(1/R1+1/Ra+i*w*C); % Tin hieu Vaw = Vgw*Hw; vat = ifourier(Vaw); disp('The output voltage= ');pretty(vat); % In cac gia tri va(0-), va(0+), va(inf) disp('Gia tri va(0-) = '); disp(limit(vat,x,0,'left')); disp('Gia tri va(0+) = '); disp(limit(vat,x,0,'right')); disp('Gia tri va(xac lap) = '); disp(limit(vat,x,inf,'left')); 0.2 0.15 0.1 0.05 -5 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM -4 -3 -2 -1 Time (s) 106 5) Giải bài toán mạch lọc điện:  Biến đổi Fourier thích hợp dùng để xác định tín hiệu output của mạch lọc điện cho bởi đáp ứng xung h(t) của mạch lọc Mạch lọc h(t) x(t) Tìm biến đổi Fourier X() y(t) Tìm biến đổi Fourier ngược Đáp ứng tần số H() = F{h(t)} Y() = X().H()  Về nguyên tắc, bài toán có thể giải = tích chập Nhưng phức tạp giải dùng biến đởi Fourier Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 107  Analysis Procedure : i Find the system Function H() ii Determine the Fourier Transform of the input signal iii Obtain the Fourier Transform of the output signal iv Determine the output y(t) by finding the inverse of its Fourier Transform , using the table of transform pairs Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 108  VD 2.7.8: Giải bài toán mạch lọc Tìm tín hiệu y(t) của mạch lọc có đáp ứng xung h(t) = sinc(2t) biết tín hiệu vào x(t) = cos(t) + cos(3t) ?  Tìm X():   –3 –1   x(t)  –2   rect   sinc(t)  πrect F sinc(2t)  π2 y(t) Mạch lọc h(t) F /2  Tìm H():  Suy ra:  ω ω  Y(ω)  X(ω).H ()   [ (  1)   ( 1)] y(t)  F 1 Y(ω)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM π cos(t) 109 6) Tìm chuổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn: g(t)  Xét tín hiệu g(t) là phần tín hiệu tuần hoàn chu kỳ đầu tiên: – T/2  Biến đổi Fourier:  G( )   f(t).e   jωt dt   T/2  T/2 f(t).e  jωt T1 T/2 dt  Thay thế  = n0 : G(n0 )   T/2  T/2  Do đó: Cn  f(t).e jnω0 t dt  T Cn G(nω0 ) T Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 110  VD 2.7.9: Tìm chuổi Fourier dùng G() Tìm chuổi Fourier dạng mũ phức của f(t) ?  B/đổi Fourier chu kỳ T = 10: G(ω)  F{10rect  }  20sinc(ω) t  Hệ số chuổi Fourier: Cn  G(nω0 )  2sinc T   nπ  Chuổi Fourier dạng mũ phức: f(t)    2sinc   e n  nπ π jn t  PP này tận dụng tốt t/chất của b/đ F tìm G() !!! Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 111