TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 9 1

Chapter 9: Chuổi phức Chương 9: Nội dung 9.1 Chuổi phức 9.2 Chuổi lũy thừa 9.3 Chuổi Taylor 9.4 Chuổi Laurent 9.5 Tìm chuổi phức dùng MATLAB Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9.1 Chuổi phức (complex series) a) Định nghĩa:  Cho dãy số phức: z1, z2, … , chuổi phức định nghĩa là tổng vô hạn số phức viết dưới dạng:  z n 1 n  z1  z  z3  : Chuổi phức (9.1)  Do zn = an + jbn nên chuổi phức sẽ hội tụ chuổi thực là hội tụ Tuy nhiên, giống tích phân phức, chuổi phức có thể xét riêng về hội tụ cũng cách khai triển chứ không dựa chuổi thực Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 9.1.1: Khái niệm hội tụ chuổi phức  Biểu diễn số hạng của chuổi phức:  n 1 i n 1 n  Ta có số hạng của chuổi: 1;  ; ; i i ;  ;  ; i i  Biểu diễn mp phức:  Kết luận: chuổi hội tụ về z = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM b) Hội tụ của chuổi phức:  Cả chuổi thực và chuổi phức đều tuân theo định lý hội tụ Cauchy  Gọi Sn = tổng n số hạng đầu tiên của chuổi phức Sn  z1  z2   zn If limSn  S n  : Chuổi hội tụ Ngược lại ta nói ch̉i phân kỳ Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM c) Điều kiện hội tụ :  Có điều kiện bản sau đây: i Điều kiện so sánh: Nếu |zn| ≤ số dương Mn   Chuổi M n 1 n Chuổi hội tụ z n 1 n hội tụ ii Điều kiện tỉ số: z n 1 n  z n lim 1  Ch̉i Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM z n 1 n hội tụ VD 9.1.2: Kiểm tra hội tụ  Xác định tính hội tụ hay phân kỳ của chuổi phức: e  (2 j3)n n 1  Dùng điều kiện tỉ số: z n 1 n  z n lim  lim n  e (  j3)( n 1) e  (  j3) n e  (2 j3) 2  e 1  Kết luận: ch̉i hợi tụ Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM d) Tính chất của chuổi phức hội tụ: i Tổng hay hiệu của hai chuổi hàm phức hội tụ: Trong miền hội tụ chung E = E1E2 của hai chuổi (9.1), tổng hay hiệu có thể tìm bằng cách cộng trừ từng số hạng ii Tích của hai chuổi hàm phức hội tụ: Trong miền hội tụ chung E = E1E2 của hai chuổi (9.1), tích của hai chuổi hội tụ có thể tìm bằng cách nhân kiểu đa thức hay tích Cauchy  (Lưu ý: Tích Cauchy của hai chuổi:  là chuổi c n 1 n n với: a n 1 cn   a k b n k  n &  bn n 1 ) k 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM e) Chuổi hàm phức :  Trong trường hợp tổng quát, mỗi số hạng của chuổi là một hàm phức f(z) thay vì một số phức : ta có chuổi hàm phức  f n 1 n (z)  f1 (z)  f (z)  f (z)  : Chuổi hàm phức (9.2)  Tập hợp tất cả số phức z để chuổi hàm phức hội tụ ta gọi là “miền hợi tụ” của ch̉i Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 9.1.3: Tìm miền hội tụ  Tìm miền hội tụ của chuổi hàm phức:  zn n 1 n 2n  Dùng điều kiện tỉ số: f n 1 n  f n lim  lim z n 1 n 1 n  (n 1) (n)2 2n z n  z 1 z 2  Kiểm tra thêm tại z = 2: ta có chuổi hội tụ  Kết luận: chuổi hội tụ tại điểm và bên đường tròn tâm O, bán kính Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10  VD 9.4.1: Khái niệm chuổi Laurent (tt) Khai triển f(z) = 1/(z + 1) dưới dạng chuổi phức quanh z = ?  Như vậy, miền |z – 1| > ta có : f (z)  (z 1) 22 23  (z1)2  (z1)3  (z1)4  Ta thấy chuổi phức có dạng chuổi Laurent và hội tụ miền < |z – 1| Chuổi Taylor R=2 –1 Chuổi Laurent  Kết luận: miền |z – 1| < : f(z) xấp xỉ = chuổi Taylor miền < |z – 1| : f(z) xấp xỉ = ch̉i Laurent Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 42 Chuổi Laurent của f(z) quanh điểm bất thường z1:  Cho hàm f(z) và z1 là điểm bất thường của nó (H9.8), khai triển chuổi Laurent của f(z) quanh z1 có dạng: f(z)  H9.8  Miền hội tụ:   an ( z  z1) n (9.8) n   | z  z1 |  R2 (9.9)  R2 = |z2 – z1| = Khoảng cách từ điểm khai triển z1 đến Điểm bất thường z2 gần z1 nhất Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43  VD 9.4.2: Chuổi Laurent của f(z) Tìm chuổi Laurent biểu diễn hàm f(z) = 1/z3(1 – z) quanh điểm bất thường z =  Khai triển 1/(1 – z) dạng chuổi MacLaurin: (1z)   z  z   z  n  Và có Chuổi Laurent biểu diễn f(z) : 1 1 z z3 (1z) z3 z2 f (z)  (với |z| < 1)      z  z  Phần chính Phần giải tích  Miền hội tụ của chuổi: < |z| < Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 44 VD 9.4.3: Chuổi Laurent của f(z) Expand f (z)  sin z z4 in a Laurent series about z0  ? We have : sin z  z  z3 3! f (z)    sin z z  z3  1/ 3! z (Principal part) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  z5 5! z 5!  z7 7! z3 7!   (Laurent Series) (Analytic part) 45 Các Phương pháp tìm chuổi Laurent:  Tương tự tìm chuổi Taylor Dùng phương pháp thế: Đặt w = z – a ; suy z và thế vào f(z) ta có F(w) Đưa F(w) về chuổi bản sau đó trả lại biến w = z – a Dùng phương pháp partial fraction: Ta phân tích Hàm hữu tỷ f(z) = P(z)/Q(z) thành tổng của nhiều hàm hữu tỷ sơ cấp, rồi dùng Chuổi nhị thức, để khai triển Lưu ý xác định miền hội tụ chung của chuổi Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 46 VD 9.4.4: Xác định chuổi Laurent f (z)  z(z2)3 Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân cận z = – ? Xác định miền hội tụ của chuổi ?  Đặt w = z + 2, có z = w – f (z)  w (w 2) 1  1 2w (1 1 w )  1 2w 1 1   1 w f (z)  2(z2)3  22 (z2)2  23 (z2)  24   Dựa vào miền hội tụ của chuổi nhị thức: Ta có miền hội tụ của chuổi Laurent: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM w  w2  (z  2) 1 2     z2 2 | z  | 47 VD 9.4.5: Xác định chuổi Laurent Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân cận z = – ? Xác định miền hội tụ của chuổi ? f (z)  z (z 1)(z 2)  Đặt w = z+1, có z = w – f (z)  w 1 w(w 1) f (z)  2    1  w 1   w 1  2w  2w  2w   1 (z 1) w   2(z  1)  2(z  1)   Miền hội tụ của chuổi nhị thức: |w| < Ta có miền hợi tụ của ch̉i Laurent: Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM z 1 1 | z  1| 48 VD 9.4.6: Xác định chuổi Laurent a) Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân cận z = ? Xác định miền hội tụ của chuổi ? b) Xác định chuổi Laurent ở miền khác ? f (z)  z(z 1) a) Ta viết lại f(z) và dùng chuổi nhị thức: f(z)  z(z 1)  1 z 1z   1  z  z  z   z Miền hội tụ của chuổi nhị thức này: |z| < Chuổi Laurent: f(z)     z  z  z  Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội tụ của chuổi Laurent: < |z| < Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49 VD 9.4.6: (tiếp theo) b) Ta viết lại f(z) dạng khác và dùng chuổi nhị thức: f(z)  z(z 1)  1 z 1 z 1   z2 1  z  z2  z3   Miền hội tụ của chuổi nhị thức này: |1/z| <  |z| > Chuổi Laurent: f(z)   z5  z4  z3  z2 1 1  Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội tụ của chuổi Laurent: < |z| <  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 50 VD 9.4.7: Xác định chuổi Laurent a) Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân cận z = ? Xác định miền hội tụ của chuổi ? b) Xác định chuổi Laurent ở miền khác ? f (z)  z(z 1) a) Ta viết lại f(z) và dùng chuổi nhị thức: f(z)  z(z 1)  1 z 1 [1(z 1)]   1 z 1  (z  1)  (z  1)  (z  1)   Miền hội tụ của chuổi nhị thức này: |z – 1| < Chuổi Laurent: f(z)  z 1   (z  1)  (z  1)   Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội tụ của chuổi Laurent: < |z – 1| < Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 51 VD 9.4.7: (tiếp theo) b) Ta viết lại f(z) dạng khác và dùng chuổi nhị thức: f(z)  1 (z 1)2 [1 ] z 1 1   (z1)2  (z1)  (z1)2  (z1)3     Miền hội tụ của chuổi nhị thức này: |1/(z – 1)| <  |z – 1| > Chuổi Laurent: f(z)  (z1)2  (z1)3  (z1)4  (z1)5  1 1  Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội tụ của chuổi Laurent: < |z – 1| <  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 52 VD 9.4.8:Laurent Series ez Find Laurent series about the indicated singularity ? Annulus of Convergence ? ez Let u  z   (z1)2  ez (z 1)  (z1)2  e e (z 1) (z 1) eu 1 u 2 ; z 1  u 1  u   e u2 2!  u3 3!      (z  1)  (z  1)  e 2! e 3! e 4! We have: eu converges for all u : R =  Annulus of Convergence: | z  1|  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 53 VD 9.4.9:Laurent Series Find Laurent series about the indicated singularity ? Annulus of Convergence ? Let u  z    sin z (z  ) sin z (z  )  1   sin z (z  ) sin(u  ) u (z  )2 3!   sin u u (z  )4 5! ;z   u   u u3 3!  u5 5!     We have: sin(u) converges for all u : R =  Annulus of Convergence: | z   |  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 54 9.5 Tìm chuổi phức dùng MATLAB: VD 9.5.1: f (z)  By hand: MATLAB: (2z)  (3z)   (z  1)   (1  2n1 )(z  1)  n syms z ; fz = 1/((z-2)*(z-3)); z0 = 1; % about n = 8; % the first terms Taylor_series = taylor(fz,n,z0); pretty(Taylor_series); -1/4 + 3/4z + 7/8(z - 1)2 + 15/16 (z - 1)3 + 31/32(z - 1)4 + 63/64 (z - 1)5 + 127/128 (z – 1)6 + 255/256 (z – 1)7 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 55 VD 9.5.2:Laurent Series using MATLAB Find Laurent series of f(z)  By hand: f (z)  1 (z 1) z (z 1)(z  2) about z0  1   2(z  1)  2(z  1)2  MATLAB: % EX9_2: Tim chuoi Laurent syms f z ; fz = z/((z+1)*(z+2)); terms = 8; % the first terms Laurent_series = maple('series',fz,'z=-1',terms); chuoi = char(Laurent_series); disp('Laurent series of f(z) is:'); fprintf('%s \n',chuoi(8:end-9)); % bo ky tu thua - (z + 1)–1 + - (z + 1) + (z + 1)2 - (z + 1)3 + (z + 1)4 - 2(z + 1)5 + (z + 1)6 - (z + 1)7 + O(z + 1)8 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 56