TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 5 1

Chapter 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải Phương trình vi phân (PTVP) Chương 5: Nội dung 5.1 Giải PTVP hệ số hằng 5.2 Giải hệ PTVP với điều kiện đầu 5.3 Ứng dụng vào học Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5.1: PTVP hệ số hằng :  Giải PTVP sau: dny d n 1 y dy an n  an 1 n 1   a1  a0 y  f (t ) dt dt dt t > , Với điều kiện đầu (IC) : (1)  y (0)  y0  '  y (0)  y1    y (n 1) (0)  y  n 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  Qui trình chung: Phương Trình Vi Phân với điều kiện đầu LT Phương trình đại số Easy Difficult Nghiệm của bài tốn Giải phương trình Đại sớ Inverse LT Recall: L y (t)  s Y  s   s y(0)   y (n) n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM n 1 (n 1) (0) a) Giải PTVP cấp I:  Xét mạch điện hình:  Ta có theo KVL: resistor +_ e(t) 10e–2t R iL(t) L 1H inductor  Áp dụng công thức tính áp R và cuộn dây: 2Ω di L (t) L  R.i L (t)  e(t) dt  Nếu biết giá trị iL(0) và dùng biến đổi Laplace ta có thể giải PTVP  Nhắc lại: L di(t) / dt  sI  s   i(0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 5.1.a1: Solve ODE by MATLAB Solve y ' y  13sin(2t ) with y(0)   By hand : (Ans: 8e–3t – 2cos(2t) + 3sin(2t) )  Using Symbolic in MATLAB : % VD5.1: Giai ptrinh vi phan bac % y' + 3y - 13sin(2t) = with y(0) = 6; syms t s Y ; % Laplace Transform ve Equa = (s*Y - 6) + 3*Y - 13*2/(s^2+2^2); % Goi function giai ptrinh Sol = solve(Equa,Y); yt = ilaplace(Sol); simple(yt); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 8*exp(-3*t)-2*cos(2*t)+3*sin(2*t) VD 5.1.a2: Solve ODE by Laplace Trans Using the Laplace Transform to solve: y’ + y 0  f(t)  = f(t) with initial conditions y(0) = and 3cos(t)  Step1: Laplace Transform {sY  5}  Y   (s2 1) e πs Step2: Solving in s-domain Y   ( s 1)(s2 1) e (0 t  π) (t  π) 3s 3s  πs  ( s 1) Step3: Using transformation pairs 1 t { ( s 1)(s2 1) }   e  3s y(t)  { 32 e (t  )  cos(t  45 ) o o t cos(t  225 )} u ( t   )  e Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM b) Giải PTVP cấp II: a) Viết phương trình vi phân mô tả quan hệ uC(t) và nguồn e(t) ? R i(t) +_ e(t) L capacitor C  Ta có: inductor resistor b) Tìm nghiệm uC(t) của PTVP ở câu (a) dùng biến đổi Laplace biết : R = 160Ω; L = 1H; C = 100µF; e(t) = 20.u(t) V; uC(0) = 10 V và u’C(0) = ? d2uc du c LC  RC  u c  e(t) dt dt  Nhắc lại: L d u c (t) / dt 2   s U s   su (0)  u (0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM c c ' c VD 5.1.b1: Solve ODE by Laplace Trans Using the Laplace Transform to solve the differential equation : y’’ + y = t with initial conditions : y(0) = 1, y’(0) = - ? s Y (s)  s  2  Y (s)  Step1: Laplace Transform s2 Step2: Solving in s-domain Y(s)  s2 ( s2 1)  ( s2 1)  ( s2 1) [s  1]Y(s)  s2  s  2 1 s Step3: Using the transformation pairs Y(s)  s2 ( s2 1)  ( s2 1)  ( s2 1)  s2  ( s2 1)  ( s2 1) y(t)  s s 1 {Y(s)}  t  cos t  3sin t Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 5.1.b2: Solve ODE by Laplace Trans Using the Laplace Transform to solve: y’’ – 3y’ + 2y = e– 4tu(t) with initial conditions : y(0) = 1, y’(0) = ? s  Y  s  5  3{sY 1}  2Y  Step1: Laplace Transform Step2: Solving in s-domain [s  3s  2]Y  s 4 s4 s  s 9 Y(s)  ( s 4)( s2 3s 2) s2 Step3: Using partial fraction Y(s)  K1 ( s  4) y(t)   K2 ( s 1)  K3 ( s  2)  1 1/30 ( s  4) {Y( s)}  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 30  e 16/5 ( s 1) 4t   25/6 ( s  2) 16 e  t 25 e 2t 10  Qui trình chung giải hệ PTVP: Hệ PT Vi Phân với điều kiện đầu LT Hệ Ptrình đại số Easy Difficult Nghiệm của bài tốn Recall: Inverse LT Giải hệ ptrình Đại sớ L y (t)  s Y  s   s y(0)   y (n) n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM n 1 (n 1) (0) 18  Giải hệ PTVP dùng biến đổi Laplace:  Nếu biết giá trị tại t = của vc và iL (giả sử zero): 60  {sIL }  VC  s  4 VC  10 {sVC }  50  I L IL (s)  60(s  200) s(s 100) 6.105 VC (s)  s(s100)2 60  sIL  VC  s   10 I L  (s  200)VC  i L   60te 100t  e 100t vC  60  6000te100t  60e100t Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19 VD 5.2.1: System of ODEs  Viết và giải hệ PT trạng thái cho mạch ? Biết R = 5Ω; L1 = 0,01H; L2 = 0,0125H; e(t) = 100.u(t) V và iL1(0) = 0, iL2(0) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 20 VD 5.2.2: System of ODEs  Viết và giải hệ PT trạng thái cho mạch ? Biết R1 = 10Ω; R2 = 5Ω; L = 1H; C = 0,2F; e(t) = 120 (0 < t < 2) và e(t) = (t > 2); i1(0) = 0, vC(0) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21 VD 5.2.3: System of ODEs  Viết và giải hệ PT trạng thái cho mạch ? Biết R1 = R2 = 1Ω; L = 1H; C = 1F; e(t) = (0 < t < 1) và e(t) = 50e–t (t > 1); iL(0) = 0, vC(0) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 22 VD 5.2.4: System of ODEs x '  2x  3y Solve   y '  y  2x Laplace transform of both sides: ( s  2) X  3Y   2 X  ( s  1)Y  x(t)   x(0)  with   y (0)   sX   X  3Y   sY   Y  X X Y 1 s 17 s 3 s  s  22 s 3 s  t  s 1  s 4  s 1  s 4 {X(s)}  5e  3e Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 4t 23 VD 5.2.5: System of ODEs '  y   y  y 6  100 100 Solve  ' 8   y2  100 y1  100 y2  y1 (0)  with   y2 (0)  150  ( s  0.08)Y  0.02Y   s   0.08Y1  ( s  0.08)Y2  150 Y1  100 s Y2  100 s  62.5 s  0.12  37.5 s  0.04  125 s  0.12  75 s  0.04 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 24 Vd 5.2.6: Solve ODEs by MATLAB  By hand :  Using Symbolic in MATLAB : solve() % VD5.3: Giai he ptvp % x'' + y' + 3x - 15*exp(-t) = / y'' - 4x' + 3y - 15*sin(2t) = % with x(0) = 35, x'(0) = - 48; / y(0) = 27, y'(0) = - 55; syms t s X Y ; % Laplace ve, ta co he Equa1 = (s^2*X - 35*s + 48) + (s*Y - 27) + 3*X - 15/(s+1); Equa2 = (s^2*Y - 27*s + 55) - 4*(s*X - 35) + 3*Y - 15*2/(s^2+4); % Goi function giai he ptrinh Sol = solve(Equa1,Equa2,X,Y); xt = ilaplace(Sol.X); yt = ilaplace(Sol.Y); disp('xt = ');pretty(xt); disp('yt = ');pretty(yt); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM xt = 3*exp(-t)-15*sin(3*t) +2*cos(2*t)+30*cos(t) yt = -3*exp(-t)+30*cos(3*t) +sin(2*t)-60*sin(t) 25 VD 5.2.7: DSolve of MATLAB  Using Symbolic in MATLAB : dsolve() % VD5.3: Giai he ptvp % x'' + y' + 3x - 15*exp(-t) = / y'' - 4x' + 3y - 15*sin(2t) = % with x(0) = 35, x'(0) = - 48; / y(0) = 27, y'(0) = - 55; syms t x y; eq1 = 'D2x + Dy +3*x - 15*exp(-t)=0'; eq2 = 'D2y - 4*Dx +3*y - 15*sin(2*t)=0'; solution = dsolve(eq1,eq2,'x(0)=35','Dx(0)=-48','y(0)=27','Dy(0)=-55'); disp(solution.x); disp(solution.y); 3*exp(-t)+30*cos(t)-15*sin(3*t)+2*cos(2*t) -3*exp(-t)-60*sin(t)+sin(2*t)+30*cos(3*t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 26 VD 5.2.8: DSolve of MATLAB Find x and y with boundary conditions: x(0) = 0, x’(0) = – 2, y(0) =  x ' y '  t  t x ''  y  e   Using Symbolic in MATLAB : dsolve() % VD5.4: Giai he ptvp syms t x y; eq1 = 'Dx+Dy-t=0'; eq2 = 'D2x-y-exp(-t)=0'; solution = dsolve(eq1,eq2,'x(0)=0','Dx(0)=-2','y(0)=0'); disp(solution.x); disp(solution.y); -1-3/2*sin(t)+1/2*cos(t)+1/2*t^2+1/2*exp(-t) 3/2*sin(t)-1/2*cos(t)-1/2*exp(-t)+1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27 VD 5.2.9: DSolve of MATLAB Find x and y with boundary conditions:  x ' y ' x  y   x(0) = 0, x’(0) =0, y(0) = 0  x '' 3x  y  Using Symbolic in MATLAB : dsolve() % VD5.5: Giai he ptvp syms t x y; eq1 = 'Dx-Dy-2*x+2*y-1=0'; eq2 = 'D2x+3*x+y=0'; solution = dsolve(eq1,eq2,'x(0)=0','Dx(0)=0','y(0)=0'); disp(solution.x); disp(solution.y); 1/16*exp(2*t)+1/16*cos(2*t)-1/16*sin(2*t)-1/8 1/16*cos(2*t)-7/16*exp(2*t)-1/16*sin(2*t)+3/8 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 28 5.3 Ứng dụng vào học: a) Bài toán vật lý: H5.1 P là chất điểm có khối lượng m, hoành độ x(t), vận tốc v(t) và chịu tác động của lực (H5.1) :  f1 = –kx (k > 0) là lực hướng tâm  f2 = –v (  0) là lực ma sát (lực làm tắt dần)  f3 = f3(t) là ngoại lực, chỉ phụ thuộc thời gian Vào lúc t = 0, P có hoành độ đầu xo và vận tốc đầu vo Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29 b) Mơ hình tốn: mx " x ' kx  f (t)  x(0)  x ; x '(0)  v Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (5.23a) (5.23a) 30 c) Đáp ứng tự nhiên:  mx"n  2x'n  n2 x n    x n (0)  x ; v n (0)  v  và   k  n 2m m (5.24a) (5.24a) (5.25) Nghiệm miền s là: Xn (s)  x os  v o  2x o s2  2s  n2 P(s)  Q(s) (5.26) Gỉa sử n cho trước, ta biện luận theo  (mức độ ma sát) Bảng 5.2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31  Bảng 5.2: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 32