TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 8 1

Chapter 8: Tích phân phức Chương 8: Nội dung 8.1 Tích phân phức 8.2 Khi đường C cho bởi phương trình tham số 8.3 Định lý Cauchy và hệ quả 8.4 Công thức tích phân Cauchy 8.5 Công thức tích phân Poisson Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 8.1 Tích phân phức (Complex line integral) a) Định nghĩa: Cho hàm phức f(z) và đường cong C có hướng, trơn từng đoạn mặt phẳng phức, tích phân đường phức của f(z) đường cong C được định nghĩa: n  f (z)dz  lim  f ( )  z n  C y k 1 z-plane k n z1 a 1 z0 zn-1 k  z k 1  b zn (C) x Nếu a  b, C là Đường kín, ta có Tích phân chu tuyến (chiều dương là CCW) ký hiệu : Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  C f (z)dz b) Lưu ý:  Nếu f(z) = u(x, y) + iv(x y) thì ta có tích phân phức là hai tích phân đường thực: C f ( z)dz  C (udx  vdy)  jC (vdx  udy)  Định lý: (Về chặn của tích phân đường phức) ° f(z) LT C; f (z)  M, z  C; L là chiều dài của C thì: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM C f(z)dz  ML c) Các tính chất bản của TP đường phức:  k.f (z)dz  k  f (z)dz; C C k  complex const  [f (z)  g(z)]dz   f (z)dz   g(z)dz C  C C1 C2  B A C [f (z)]dz   f (z)dz   f (z)dz C1 C2 A f (z)dz    f (z)dz B Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 8.1.1: TP phức  TP đường loại Tính  b a z 2dz Ta viết: z2dz = (x + jy)2(dx + jdy) = (x2 – y2 + j2xy)(dx + jdy) = [(x2 – y2)dx – (2xy)dy] + j[(2xy)dx + (x2 – y2)dy] Áp dụng tính chất:  b a c b z dz   z dz   z 2dz  I1  I 2 a c Trên a-c: y =  dy = và –  x  Ta có: c I1   z dz  a   (x  y )dx  j 2xydx  2 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1 y1 VD 8.1.1: TP phức  TP đường loại (ttheo) 5 I1   (x  1)dx  j 2xdx  36  j24 1 1 Trên c-b: x =  dx = và  y   x 5 I2   (10y)dx  j (25  y )dy  40  j 124 b I2   z dz  c  3 (2xy)dy  j (x  y )dy I  I1  I2  4  j Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 196 d) Các PP tính tích phân đường phức: Representation of Path Complex Integral Cauchy’s Integral Residue Theory Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM e) Ứng dụng của tích phân đường phức: i Tính giá trị hay đạo hàm cấp n của một hàm phức tại một điểm miền D (công thức tích phân Cauchy) ii Tính một số tích phân thực đặc biệt sẽ được đưa về tính tích phân đường phức iii Tính biến đổi Laplace và Fourier ngược bằng lý thuyết tích phân đường phức Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 8.2 Tính TP phức có ptrình thơng sớ của C:  Cách tính tốn này có thể dùng hàm phức dưới dấu tích phân là hàm giải tích hay không giải tích a) Phương trình thông số của đường cong C:  Đường cong (C) mp phức là xác định ta biết phương trình thông số của nó ở dạng: z(t) = x(t) + jy(t), với a  t  b  Biết hàm thông số z(t), ta cũng có hướng của đường cong (C), tức là từ z(a) đến z(b) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10 VD 8.3.4: Công thức Newton-Leibnits j Compute I   cos(z)dz  ?  j  j  j j cos(z)dz  sin z  j  2sin( j)  j2sinh()  j23.097 I  j23.097 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 32  VD 8.3.5: Tính tích phân phức Cho hàm phức f(z) = z2 Tính: a) I1   |z| 1 f (z)dz 1i b) I2   f (z)dz  ? a) Ta có : f(z) giải tích với mọi z miền |z| = nên : I1   |z| 1 f (z)dz  b) Ta xác định được một nguyên hàm của f(z) là : F(z) = z3/3nên : 1i I2   z dz  z3 1i  (1i)3 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM   i 3 2 I2    i 3 33 Using MATLAB: Symbolic Toolbox Use int(fz,z,a,b) to compute :  b a f (z)dz % The first Evaluation Method % Script File: ex8_1.m syms z; fz = z^2; ans = int(fz,z,0,1+i); disp(ans);% -2/3+2/3*i % EX2 syms z; fz = cos(z); ans = int(fz,z,-i*pi,i*pi); disp(ans);% 2*i*sinh(pi) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 34 8.4 Công thức tích phân Cauchy  Định lý Cauchy xoay quanh tính tích phân phức miền giải tích  Với công thức tích phân Cauchy, chúng ta tiếp cận phép tính tích phân phức có chứa điểm bất thường bên đường lấy tích phân Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35 a) Công thức tích phân Cauchy thứ nhất:  Cho f(z) giải tích miền đơn liên D, C = đường cong kín trơn từng đoạn D và có chiều dương (H8.10), giá trị hàm f(z) tại điểm z = a nằm bên C xác định theo công thức tích phân Cauchy thứ nhất : a (C) D (H8.10) f (z) f (a)  dz (z  a )  2j C  Từ đó cho phép tính tích phân: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM f (z)  C (z  a) dz  2j.f (a) 36 VD 8.4.1: Tích phân Cauchy thứ Find  z C (4z dz ? )(z  j/ 2) Với C = đường tròn đơn vị theo hướng dương  Let f (z)  4z2 z  f(z) = giải tích và C (z = ±2 nằm ngoài C ) Im j (C) j/2 –2  a = j/2 bên C Dùng CT tích phân Cauchy thứ  f (z) C (z  j/ 2) dz  2j.f ( j/ 2)  2j Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Re –j  j/ 4( j/ 2)  4 17 37 VD 8.4.2: Tích phân Cauchy thứ Find  z C dz ? (z 9)  Let f (z)  Với C = đường tròn | z – 2i| = theo hướng dương 6i Im z z 3i (C) 3i  f(z) = giải tích và C (z = – 3i nằm bên ngoài C) 2i Re –2i –3i  a = 3i bên C Dùng CT tích phân Cauchy thứ  z (z 3i) C (z 3i) dz  2i.f (3i)  2i Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM    i 3i 3i 3i 38 VD 8.4.3: Tích phân Cauchy thứ Find  Với C = đường tròn | z – 3i| = theo dz ? (z  4z 13) C hướng dương  Let f (z)  [z ( 23i)] 6i Im (C) -2+3i 3i  f(z) = giải tích và C (z = – – 3i nằm bên ngoài C)  a = – + 3i bên C Re –3 Dùng CT tích phân Cauchy thứ  [z ( 23i)] C [z ( 23i)] dz  2i.f (2  3i)  2i Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM -2-3i    6i  39  VD 8.4.4: Tính tích phân I  Tích phân Cauchy thứ  ez dz (z  2)(z  4) C với C = đường tròn tâm O, bkính 3, theo hướng dương  Ta đặt f(z) = ez/(z + 4) j3 Im  Ta thấy f(z) giải tích và C  Áp dụng với z1 = ở C: I e2 2j.f(z1 )  2j  je2 (C) z2 = – Re –3 z1 = –j3 D  Lưu ý: nếu chiều C đổi lại là CW thì ta có I = – je2/3 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 40 b) Công thức tích phân Cauchy thứ hai:  Nếu f(z) giải tích miền đơn liên D thì nó cũng có đạo hàm đến mọi cấp D Giá trị đạo hàm cấp n của f(z) tại điểm z = a nằm bên D xác định theo công thức tích phân Cauchy thứ hai : f (a)  (n) n! j  f (z) C (z a)  Từ đó cho phép tính tích phân: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM n 1  a D (H8.11) dz f (z) C (z a) (C) n 1 dz  j (n) n! f (a) 41 VD 8.4.5: Tích phân Cauchy thứ  Find (z 1) C dz ? z3 (z  2i)  Let f (z)  Với C = đường tròn đơn vị lấy theo hướng dương (z 1) (z  2i)  f(z) = giải tích và C (do –2i nằm ngoài C) i  z = là điểm bên C –i f (z)   C dz  z (z  2i) i (31)! f ''(0)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (C) Re –1 Dùng công thức tích phân Cauchy thứ (24i) ''  Tính đạo hàm: (z  2i)3 (z 1) Im i    i – 2i i     42  VD 8.4.6: Tích phân Cauchy thứ  Find e z (z  1) C Let C = circle |z – 1| = dz ?  Let f (z)  ez Im (C)  f(z) = giải tích và C  z = – : là điểm bên C a –2 Re –1 Dùng công thức tích phân Cauchy  Tính đạo hàm: f’(z) =  f (z) C (z 1) dz  ez j 1! D f '(1)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM j 1 e  j e 43 VD 8.4.7: Tích phân Cauchy thứ Find  z2 C (z 1) dz ? (z 2) Let C = circle |z | = 5/2  Do có điểm bất thường bên C , ta phân tích: 1/3 z2 (z)  (z1)2 (z2)  (z1)2  5/9 z 1  f(z) 4/9 z 2 Im  Áp dụng công thức tích phân Cauchy & 2: I j 1! f'   1 z 1  2j.f  z 1  2j.f  z 2 –2,5 (C) a Re –1 2,5 I   2j  2j  2j Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 44 VD 8.4.8: Áp dụng tích phân Cauchy Tính:  I C z (z 2)(z 4) dz ?  Do có điểm bất thường bên C, ta phân tích: (z)  1/ z  3/ 32 z  1/ z 2  1/ 32 z 4 f(z)  Áp dụng công thức tích phân Cauchy & : 1 I  2j  2j  2j  0 1! 32 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM I j 16 45 8.5 Công thức tích phân Poisson: ● Cho C là đường tròn bán kính R, dùng công thức tích phân Cauchy ta có: 2 R2  r2 u(r, )  u(R, )d 2  2 R  2R.r cos(  )  r Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 46