TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 10 1

Chapter 10: Lý thuyết thặng dư (Residue Theory) Chương 10: Nội dung 10.1 Điểm bất thường và phân loại 10.2 Zero cấp m và cực cấp m 10.3 Thặng dư 10.4 Tính thặng dư tại cực 10.5 Định lý thặng dư Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10.1 Điểm bất thường và phân loại Điểm bất thường cô lập (isolated singularity) (H10.1):  Điểm z = a gọi là Điểm bất thường cô lập của f(z) nếu: f(z) không giải tích tại z = a f(z) giải tích miền lân cận của z = a R2 z2 z=a (H10.1) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD10.1.1 Điểm bất thường không cô lập Tìm điểm bất thường của hàm phức f(z) = 1/sin(/z) ?  Các điểm bất thường z = và z = 1/n, n = ±1, ±2, …  Với một giá trị  > ta tìm được 1/n <   Điểm bất thường z = 1/n nằm miền lân cận của z =  Điểm bất thường z = không phải bất thường lập Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Phân loại điểm bất thường cô lập:  Nếu z = a là điểm bất thường cô lập, f(z) được khai triển thành chuổi Laurent quanh z = a sau: a m a1 n f(z)        a  a (z  a)    a (z  a)   (10.1) o n m za (z  a)  Phân loại điểm bất thường dựa dạng của 10.1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Phân loại điểm bất thường cô lập: (ttheo) a) Điểm bất thường chủ yếu: a là Điểm bất thường chủ yếu của f(z) nếu (10.1) chứa vô số Lũy thừa âm b) Điểm bất thường khử (bỏ) được: a là Điểm bất thường bỏ được của f(z) nếu (10.1) không chứa Lũy thừa âm c) Điểm cực: a là Điểm cực của f(z) nếu (10.1) chỉ chứa số hữu hạn Lũy thừa âm Gỉa sử m là Lũy thừa âm cao nhất thì a = cực cấp m của f(z) Và Phần chính của f(z) quanh cực a cấp m sẽ có dạng: a m a 1 g(z)      m za (z  a) (z  a) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM a 2 (10.2) ● Tổng kết: z=a Chuổi Laurent miền < |z – a| < R2 a m a 1 Điểm bất n       a  a (z  a)    a (z  a)   o n m thường chủ yếu za (z  a) Điểm bất n a  a (z  a)    a (z  a)   n thường bỏ được o Cực cấp m a (m1) a m a 1      a o  a1 (z  a)   m m 1 za (z  a) (z  a) Cực đơn a 1  a o  a1 (z  a)    a n (z  a) n   za Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10.2 Zero cấp m và cực cấp m: Định nghĩa zero cấp m:  Nếu hàm f(z) giải tích có thể biểu diễn dưới dạng: f (z)  (z  a) (z) m Với (z) giải tích và (a) ≠ Thì z = a gọi là zero cấp m của f(z)  Nếu m = thì z = a gọi là zero đơn của f(z) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 10.2.1 Tìm điểm zero của hàm phức  Tìm zeros của hàm phức: (z 1) f (z)  (z2)(z3)2  Theo định nghĩa ta có z = 1: zero đơn của f(z)  Trong kỹ thuật không xét zero tại z =  Có thể có vô số zero hay không có zero nào Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Định nghĩa cực cấp m:  Nếu hàm f(z) giải tích có thể biểu diễn: Thì z = a gọi là cực cấp m của f(z) f (z)  (z) (z  a)m với (z) giải tích và (a) ≠  Nếu m = thì z = a gọi là cực đơn của f(z) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10 10.4 Tính thặng dư tại cực: a) Tính thặng dư tại cực đơn z0 : Chuổi Laurent:f(z)  a 1 (z z0 )  a  a1 (z  z0 )  Res{f (z),z 0}  a 1  lim f (z)(z  z ) zz0 Nếu f(z) có dạng: P(z) f(z)  Q(z) , thì thặng dư tại cực đơn tính dễ dàng theo công thức: P(z ) Res{f (z),z 0}  Q'(z ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17  VD 10.4.1: Tính thặng dư tại cực đơn Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 18 Tính thặng dư tại cực cấp m : b)  Giả sử z0 là cực cấp m của f(z), chuổi Laurent: f(z)  (zz )m   a m a 1 (z z0 )  a  a1 (z  z0 )  (z  z0 ) f(z)  a m   a 1 (z  z0 ) m d m 1 dzm 1 m1  a (z  z0 )  m (z  z0 ) f (z)   [(m  1)!]a 1  [m!]a (z  z )  m  Vậy: m 1 m     d f (z)(z  z )     Res{f (z),z 0}  lim   m 1 z  z (m  1)!  dz    Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19  Qui trình tính thặng dư tại cực cấp m: i Nhân f(z) với (z – z0)m ii Đạo hàm (m – 1) lần iii Xác định lim cho z  z0 iv Chia cho (m – 1)! Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 20  VD 10.4.2: Tính thặng dư tại cực cấp m Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21 c) Tính thặng dư dùng MATLAB: VD 10.4.3: Xác định cực và tính thặng dư tại cực của f(z): z2 4 f (z)  z3 2z2 2z num = [1 4]; den = [1 2 0]; (num < den) [r, p, k] = residue(num,den); disp(['poles = [',num2str(p.',' %0.5g'),']‘ ]); disp(['residues = [',num2str(r.',' %0.5g'),']‘ ]); disp(['constants = [',num2str(k.',' %0.5g'),']‘ ]); output1=p; output2=r; output3=k; poles = [-1+1i -1-1i 0+0i] residues = [-0.5+1.5i -0.5-1.5i 2+0i] constants = [] (Note: pole order m, pole = [ … (m-1) m ] Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 22  Using Function: resid2rhit(b,a) VD 10.4.4: Xác định cực và tính thặng dư tại cực của f(z): f(z)  (z1)2 (z2 4) % Tinh residues of B(z)/A(z) % = (z^2 - 2z)/(z+1)^2(z^2+4) b = [1 -2 0]; a1 = [1 1]; a2 = [1 4]; a = conv(a1,a2); [res,poles,mk,nail,thumb]=resid2rhit(b,a); disp(‘Poles:'); disp(poles); disp('Residues:'); disp(res); (Ans: Res z 2z Poles: -1.0000 -1.0000 -0.0000 - 2.0000i -0.0000 + 2.0000i Residues: 0.6000 -0.5600 0.2800 - 0.0400i 0.2800 + 0.0400i -1 ; 2j ; – 2j ; -0.56 ; 0.28 + j0.04 ;0.28 – j0.04 ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23  VD 10.4.5: Calculate Residue Find the residues at the pole z  of f(z)  z2 (z 2) ?  z = : là cực đơn nên ta dùng công thức: Res{f (z),2}  lim{(z  2)f (z)}  limz  z2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM z3 24  VD 10.4.6: Calculate Residue Find the residues at the poles of f(z)  (z1)2 (z3) ? i z = : cực đơn, ta dùng: Res{f (z),3}  lim{(z  3)f (z)}  lim (z11)2  14 z3 z3 ii z = : cực cấp 2, ta dùng: Res{f (z),1}  lim z1  d 1 (21)! dz 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  (z 1)2 (z 1)2 (z 3)   lim 1 (z  3) z1  25  VD 10.4.7: Calculate Residue Find the residues at the poles of f(z)  (z411) ?  z4 = - → z = 1/4, 13/4 , 15/4 , 17/4 , đều là cực đơn nên ta dùng công thức: Res{f (z),1 / 4}  P Q' Res{f (z),13 / 4}   4z3  P Q' 1 3  /  4z3   0.25  1350 9  /  0.25  450 Res{f (z),15 / 4}  Q'P  4z13  4151  /  0.25450 Res{f (z),17 / 4}  P Q' Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  4z3  1  21 /  0.25135 26  VD 10.4.8: Calculate Residue a) Res{ z2 z 2 4 ,2}  b) Res{ zz214 , j2}  12  j 14 c) Res{ z2 1 ,  j}  (cos1  jsin1) ez e z d) Re s{ z3 ,0}  j 2 j3 e) Res{ (z211)3 , j}    16 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27 10.5 Định lý thặng dư: Nếu hàm phức f(z) giải tích và bên đường kín C , ngoại trừ tại điểm bất thường z0, z1, …, zk bên (không phải trên) C, ta có:  n C f (z)dz  2j Res{f (z),z k } k 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (C hướng theo chiều CCW) 28 VD 10.5.1: Residue Theorem Compute a) C: |z| =  (5z 2) C (z 2)(z 4) dz = ? b) C: |z| = c) C: |z| = a) Khơng có điểm bất thường nào nằm bên C b) Chỉ có điểm z1 = nằm bên C c) Có hai điểm z1 = và z2 = nằm bên C Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29 VD 10.5.2: Định lý thặng dư Tính  C (z 1) dz (z 2) , biết C : (i) |z| = 0,5 (ii) |z| = (iii) |z – 1| = 0,5 (iv) |z – 2| =  Hàm f(z) có cực đơn z = và cực cấp z = 1 Res{f (z),1}  (211)! lim dzd (z  1)2 f (z)   lim dzd  (z12)   lim (z2)  1 z1 z1 z1 2)  1 Res{f (z),2}  lim  (z(z2)(z 1)  z2  i f(z) không có cực nào bên C(0: ½):  C f (z)dz  ii f(z) có cực z = & z = bên C(0: 3) :  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM C f (z)dz  2j.[(1)  (1)]  30 VD 10.5.2: (tiếp theo) Tính  (z  1) (z 2) C dz , biết C : (i) |z| = 0,5 (ii) |z| = (iii) |z – 1| = 0,5 (iv) |z – 2| =  Hàm f(z) có cực đơn: z = và cực cấp 2: z = 1 Res{f (z),1}  (211)! lim dzd (z  1)2 f (z)   lim dzd  (z12)   lim (z2)  1 z1 z1 z1 2)  1 Res{f (z),2}  lim  (z(z2)(z  1)  z2  iii f(z) có cực z = bên C(1: ½) :  C f (z)dz  2j.[(1)]  2j iv f(z) có cực z = & z = bên C(2: 3) :  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM C f (z)dz  2j.[(1)  (1)]  31