Toankt TOÁN KỸ THUẬT

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG ===== ===== SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội HÀ NỘI - 2006 HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CHUYÊN NGÀNH Biên soạn : Ts LÊ BÁ LONG LỜI NĨI ĐẦU Tiếp theo chương trình tốn học đại cương bao gồm giải tích 1, tốn đại số Sinh viên chun ngành điện tử-viễn thơng cịn cần trang bị thêm cơng cụ tốn xác suất thống kê toán kỹ thuật Để đáp ứng nhu cầu học tập sinh viên chuyên ngành điện tử viễn thông Học viện, biên soạn tập giảng Toán kỹ thuật từ năm 2000 theo đề cương chi tiết môn học Học viện Qua trình giảng dạy chúng tơi thấy cần hiệu chỉnh bổ sung thêm để cung cấp cho sinh viên cơng cụ tốn học tốt Trong lần tái lần thứ hai tập giảng nâng lên thành giáo trình, nội dung bám sát đặc thù chuyên ngành viễn thông Chẳng hạn nội dung phép biến đổi Fourier sử dụng miền tần số f thay cho miền ω Dựa vào tính khai triển Laurent giới thiệu phép biến đổi Z để biểu diễn tín hiệu rời rạc hàm giải tích Tuy nhiên đặc thù phương thức đào tạo từ xa nên biên soạn lại cho phù hợp với loại hình đào tạo Tập giáo trình bao gồm chương Mỗi chương chứa đựng nội dung thiết yếu coi công cụ toán học đắc lực, hiệu cho sinh viên, cho kỹ sư sâu vào lĩnh vực viễn thông Nội dung giáo trình đáp ứng đầy đủ yêu cầu đề cương chi tiết môn học Học viện duyệt Trong chương chúng tơi cố gắng trình bày cách tổng quan để đến khái niệm kết Chỉ chứng minh định lý địi hỏi cơng cụ vừa phải khơng q sâu xa chứng minh định lý mà trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu chất định lý giúp người đọc dễ dàng vận dụng định lý Các định lý khó chứng minh dẫn đến tài liệu tham khảo khác Sau kết có ví dụ minh hoạ Cuối phần thường có nhận xét bình luận việc mở rộng kết khả ứng dụng chúng Tuy nhiên chúng tơi khơng q sâu vào ví dụ minh hoạ mang tính chun sâu viễn thơng hạn chế lãnh vực vượt khỏi mục đích tài liệu Thứ tự Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, đánh số theo loại chương Chẳng hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 ví dụ thứ hai định nghĩa chương 3… Nếu cần tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa hay cơng thức chúng tơi rõ số thứ tự ví dụ, định lý, định nghĩa tương ứng Các công thức đánh số thứ tự theo chương Hệ thống câu hỏi ôn tập tập chương có hai loại Loại trắc nghiệm sai nhằm kiểm tra trực tiếp mức độ hiểu học viên loại tập tổng hợp giúp học viên vận dụng kiến thức cách sâu sắc Vì nhận thức chúng tơi chun ngành Điện tử Viễn thơng cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót việc biên soạn tài liệu này, chưa đưa hết cơng cụ tốn học cần thiết cần trang bị cho cán nghiên cứu chuyên ngành điện tử viễn thơng Chúng tơi mong đóng góp nhà chun mơn để chúng tơi hồn thiện tốt tập tài liệu Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới PGS.TS Lê Trọng Vinh, TS Tô Văn Ban, đọc thảo cho ý kiến phản biện quý giá đặc biệt tới KS Nguyễn Chí Thành người giúp tơi biên tập hoàn chỉnh tài liệu Chương 1: Hàm biến số phức Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thơng bạn bè đồng nghiệp khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tập tài liệu Hà Nội 5/2006 Tác giả Chương 1: Hàm biến số phức CHƯƠNG I: HÀM BIẾN SỐ PHỨC PHẦN GIỚI THIỆU Giải tích phức phận tốn học đại có nhiều ứng dụng kỹ thuật Nhiều tượng vật lý tự nhiên đòi hỏi phải sử dụng số phức mô tả Trong chương tìm hiểu vấn đề giải tích phức: Lân cận, giới hạn, hàm phức liên tục, giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent… Để nghiên cứu vấn đề thường liên hệ với kết ta đạt hàm biến thực Mỗi hàm biến phức w = f ( z ) = f ( x + iy ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) tương ứng với hai hàm thực hai biến u ( x, y ) , v( x, y ) Hàm phức f ( z ) liên tục u ( x, y ) , v( x, y ) liên tục f ( z ) khả vi u ( x, y ) , v( x, y ) có đạo hàm riêng cấp thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại …Mỗi chuỗi số phức tương ứng với hai chuỗi số thực có số hạng tổng quát phần thực phần ảo số hạng tổng quát chuỗi số phức cho Sự hội tụ hay phân kỳ xác định hội tụ hay phân kỳ hai chuỗi số thực Từ tính chất đặc thù hàm biến phức có cơng thức tích phân Cauchy Đó công thức liên hệ giá trị hàm phức điểm với tích phân dọc theo đường cong kín bao quanh điểm Trên sở cơng thức tích phân Cauchy ta chứng minh kết quả: Mọi hàm phức giải tích có đạo hàm cấp, khai triển hàm phức giải tích thành chuỗi Taylor, hàm giải tích hình vành khăn khai triển thành chuỗi Laurent Bằng cách tính thặng dự hàm số điểm bất thường cô lập ta áp dụng để tính tích phân phức tích phân thực, tính hệ số khai triển Laurent phép biến đổi Z ngược Dựa vào tính khai triển Laurent ta xây dựng phép biến đổi Z.Phép biến đổi Z cho phép biểu diễn dãy tín hiệu số rời rạc hàm giải tích Để học tốt chương học viên cần xem lại kết giải tích thực NỘI DUNG 1.1 SỐ PHỨC 1.1.1 Dạng tổng quát số phức Số phức có dạng tổng quát z = x + iy , x, y số thực; i = −1 x phần thực z , ký hiệu Re z y phần ảo z , ký hiệu Im z Khi y = z = x số thực; x = z = iy gọi số ảo Số phức x − iy , ký hiệu z , gọi số phức liên hợp với số phức z = x + iy Chương 1: Hàm biến số phức Hai số phức z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 phần thực phần ảo chúng z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ; ⎧ x = x2 z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ y1 = y2 (1.1) Tập hợp tất số phức ký hiệu 1.1.2 Các phép toán Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 , ta định nghĩa: a) Phép cộng: Số phức z = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) gọi tổng hai số phức z1 z2 , ký hiệu z = z1 + z2 b) Phép trừ: Ta gọi số phức − z = − x − iy số phức đối z = x + iy Số phức z = z1 + (− z2 ) = ( x1 − x2 ) + i ( y1 − y2 ) gọi hiệu hai số phức z1 z2 , ký hiệu z = z1 − z2 c) Phép nhân: Tích hai số phức z1 z2 số phức ký hiệu định nghĩa biểu thức: z = z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) d) Phép chia: Nghịch đảo số phức z = x + iy ≠ số phức ký hiệu (1.2) hay z −1 , thỏa z mãn điều kiện zz −1 = Vậy z −1 = x '+ iy ' ⎧ xx '− yy ' = x −y , y'= ⇒ x' = ⎨ x +y x + y2 ⎩ yx '+ xy ' = (1.3) x x + y1 y2 y1x2 − x1 y2 Số phức z = z1z2−1 = gọi thương hai số phức z1 + i x22 + y22 x22 + y22 z z2 , ký hiệu z = ( z2 ≠ ) z2 Ví dụ 1.1: Cho z = x + iy , tính z , z z ( ) Giải: z = ( x + iy ) = x − y + i ( xy ) , z z = x + y Ví dụ 1.2: Tìm số thực x, y nghiệm phương trình ( x + y )(1 + i ) − ( x + 2i )( + i ) = − 11i Giải: Khai triển đồng phần thực, phần ảo hai vế ta ⎧2 x + y + = ⇒ x = −3, y = ⎨ ⎩4 x + y − = −11 Chương 1: Hàm biến số phức ⎧ z + iw = Ví dụ 1.3: Giải hệ phương trình ⎨ ⎩2 z + w = + i Giải: Nhân i vào phương trình thứ cộng vào phương trình thứ hai ta ( + i ) z = + 2i ⇒ z= + 2i (1 + 2i )( − i ) + 3i , = = 2+i 5 3+i ⎛ −1 + 3i ⎞ ⇒ w = i ( z − 1) = i ⎜ ⎟=− ⎝ ⎠ Ví dụ 1.4: Giải phương trình z + z + = Giải: z + z + = ( z + 1) + = ( z + 1) − ( 2i ) = ( z + − 2i )( z + + 2i ) 2 Vậy phương trình có hai nghiệm z1 = −1 + 2i , z2 = −1 − 2i 1.1.3 Biểu diễn hình học số phức, mặt phẳng phức Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , có véc tơ đơn vị hai trục tương ứng JG JG i j Mỗi điểm M mặt phẳng hoàn y toàn xác định tọa độ ( x; y ) thỏa JJJJG JG JG mãn OM = x i + y j M y JJG j Số phức z = x + iy hoàn toàn xác định phần thực x phần ảo y O Vì người ta đồng điểm có tọa độ ( x; y ) với số phức z = x + iy , lúc mặt phẳng JJG i x x gọi mặt phẳng phức y 1.1.4 Dạng lượng giác số phức Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn JJG Oxy , ta chọn Ox làm trục cực điểm M ( x; y ) có tọa độ cực JJG JJJJG r = OM , ϕ = Ox, OM ( ) ( r;ϕ ) M y xác định JJG j O ⎧ x = r cos ϕ thỏa mãn ⎨ ⎩ y = r sin ϕ r ϕ JJG i x x Ta ký hiệu gọi z = r = OM = x + y (1.4) Argz = ϕ + k 2π , k ∈ (1.5) mô đun argument số phức z = x + iy Chương 1: Hàm biến số phức Góc ϕ số phức z = x + iy ≠ xác định theo công thức sau ⎧⎪tg ϕ = y/x ⎨ ⎪⎩cos ϕ = x/ x + y (1.6) Giá trị Argz nằm − π π gọi argument chính, ký hiệu arg z Vậy −π < arg z ≤ π Từ cơng thức (1.4) ta có z = x + iy = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1.7) gọi dạng lượng giác số phức Sử dụng khai triển Maclaurin chứng minh cơng thức Euler eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ eiϕ + e −iϕ cos ϕ = , Do eiϕ − e −iϕ sin ϕ = 2i (1.8) (1.9) Từ (1.7)-(1.8) ta viết số phức dạng mũ z = z eiϕ (1.10) Các tính chất số phức ⎛z ⎞ ƒ z1 + z2 = z1 + z2 ; z1z2 = z1 z2 ; ⎜ ⎟ = ⎝ z2 ⎠ ƒ Re z = z+z z−z ; Im z = z∈ 2i ⎧⎪ z1 = z2 ƒ z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩⎪ arg z1 = arg z2 ƒ zz = z , z1 z2 (1.11) ⇔ z = z (1.12) ⎧⎪ z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩⎪ Argz1 = Argz2 + k 2π (1.13) z z z z z = = , = z2 z z zz z (1.14) z z1 = , z2 z2 (1.15) ƒ z1z2 = z1 z2 , z1 + z2 ≤ z1 + z2 ⎛z ⎞ ƒ Arg ( z1z2 ) = Argz1 + Argz2 , Arg ⎜ ⎟ = Argz1 − Argz2 ⎝ z2 ⎠ (1.16) ⎧⎪ x ≤ z z ≤ x + y ƒ z = x + iy ⇒ ⎨ ⎪⎩ y ≤ z (1.17) Chương 1: Hàm biến số phức Ví dụ 1.5: a) Tập số phức z thỏa mãn z − = tương ứng với tập điểm có khoảng cách đến I (2; 0) 3, tập hợp đường trịn tâm I bán kính b) Tập số phức z thỏa mãn z − = z + tương ứng với tập điểm cách A(2;0) B(−4;0) đường trung trực đoạn AB có phương trình x = −1 1.1.5 Phép nâng lũy thừa, công thức Moivre Lũy thừa bậc n số phức z số phức z n =  " z zz n lÇn Từ cơng thức (1.15)-(1.16) ta có cơng thức Moivre: zn = z n ( cos nϕ + i sin nϕ ) , Argz = ϕ + k 2π (1.18) Đặc biệt, z = ta có ( cos ϕ + i sin ϕ ) n = ( cos nϕ + i sin nϕ ) ( Ví dụ 1.6: Tính −1 + 3i Giải: ( −1 + 3i ) 10 ) 10 (1.18)' 10 ⎡ ⎛ 2π 2π ⎞ ⎤ = ⎢ ⎜ cos + i sin ⎟ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎝ 20π 20π ⎞ ⎛ = 210 ⎜ cos + i sin ⎟ 3 ⎠ ⎝ 2π 2π ⎞ 10 ⎛ ⎞ ⎛ i ⎟⎟ = −29 + i 329 = 210 ⎜ cos + i sin ⎟ = ⎜⎜ − + 3 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ 1.1.6 Phép khai Số phức ω gọi bậc n z , ký hiệu ω = n z , ωn = z Nếu viết dạng lượng giác: z = r (cos ϕ + i sin ϕ) , ω = ρ(cos θ + i sin θ) z = ωn ⎧⎪ ρ n = r ⇔ ⎨ ⎪⎩ nθ = ϕ + k 2π , k ∈ ⎧ ρ=nr ⎪ ⇔ ⎨ ϕ + k 2π θ = ⎪ n ⎩ (1.19) Vì Argument số phức xác định sai khác bội số nguyên 2π nên với số phức z ≠ có n bậc n Các bậc n có mơ đun n r , Argument nhận ϕ k 2π giá trị θ = + ứng với k = 0, 1, , n − , nằm đỉnh n-giác nội tiếp n n y đường tròn tâm O bán kính n r z1 Ví dụ 1.7: Giải phương trình z + = i Giải: Nghiệm phương trình bậc π − = cos π + i sin π tương ứng là: z0 O z2 z3 x Chương 1: Hàm biến số phức z = cos π π 1+ i , + i sin = 4 z1 = iz = −1+ i z2 = − z0 = z = −iz = 2 (S ) , −1− i 1− i P • , ω y O x 1.1.7 Các khái niệm giải tích phức z • 1.1.7.1 Mặt cầu phức Trong 1.1.3 ta có biểu diễn hình học tập số phức cách đồng số phức z = x + iy với điểm M có tọa độ ( x; y ) mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Mặt khác ta dựng mặt cầu ( S ) có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy O, điểm z thuộc mặt phẳng Oxy tương ứng với điểm ω giao điểm tia Pz mặt cầu ( S ) , P điểm cực bắc ( S ) Vậy điểm mặt phẳng Oxy xác định điểm mặt cầu ( S ) ngoại trừ điểm cực bắc P Ta gán cho điểm cực bắc số phức vô ∞ Tập hợp số phức gọi tập số phức mở rộng thêm số phức vô Như toàn mặt cầu ( S ) biểu diễn hình học tập số phức mở rộng Quy ước: z = ∞ ( z ≠ 0) , z∞ = ∞ ( z ≠ 0) , z + ∞ = ∞ , ∞ − z = ∞ 1.1.7.2 Lân cận, miền a Lân cận Khái niệm ε − lân cận z ∈ định nghĩa hoàn toàn tương tự với ε − lân cận , hình trịn có tâm điểm bán kính ε { Bε ( z ) = z ∈ N − lân cận ∞ ∈ : { B N (∞ ) = z ∈ z − z0 < ε } (1.23) z > N ∪ {∞} } (1.23)’ b Điểm trong, tập mở Giả sử E tập điểm mặt phẳng phức mặt cầu phức Điểm z gọi điểm E tồn lân cận z nằm hoàn toàn E Tập gồm điểm gọi tập mở 10 Phụ lục ∞ −u e 4t x(u ) du X πt ∫0 14 s ∞ s ∫ J (2 ut ) x(u) du 15 16 n∞ n − t u J n (2 ut ) x(u ) du ⎛1⎞ f⎜ ⎟ s n +1 ⎝ s ⎠ ∫ ⎛ 1⎞ f ⎜s + ⎟ s⎠ s2 +1 ⎝ ∫ J (2 u(t − u) ) x(u) du x(t ) 18 π ∞ u 19 ∞ −3 − s u e 4u X (u ) du ∫ t x(u ) ∫ Γ(u + 1) du f (ln s ) s ln s n P( s) Q( s) 20 ⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝s⎠ t 17 ( s) P(a ) ∑ Q' (ak )e ak t k =1 k 231 Bậc P(s) < bậc Q(s), Q(s) có nghiệm đơn a1 , , a n Phụ lục PHỤ LỤC D: Biến đổi Laplace hàm thường gặp ∞ X ( s ) = ∫ e − ist x(t )dt TT Ảnh biến đổi Laplace X (s ) Hàm gốc x(t ) 1 s sn sα 10 11 12 t α −1 Γ(α ) ; α >0 s−a t n −1 (n − 1)! ; n = 1, 2, 3, ( s − a) n e at ; n = 1, 2, 3, t n −1 at e ( n − 1)! ; α >0 t α −1 at e Γ(α ) ( s − a )α s +a sin at a s cos at s2 + a2 e bt sin at a ( s − b) + a s−b ( s − b) + a ebt cos at 2 s −a sh at a s ch at s2 − a2 232 Phụ lục 13 14 e bt sh at a ( s − b) − a s −b ( s − b) − a e bt ch at 15 (s sin at − at cos at ) 2 ) t sin at 2a ) sin at + at cos at 2a + a2 ) cos at − at sin at ) t cos at ) 2 ) tsh at 2a ) sh at + at ch at 2a ) ch at + at sh at 2 t ch at +a 2a s 16 17 18 19 (s +a s2 (s +a s3 (s s2 − a2 (s + a2 20 (s −a atch at − sh at 2a s 21 22 23 24 (s −a s2 (s −a s3 (s −a s2 + a2 (s − a2 ) 25 (s + a2 (3 − a 2t ) sin at − 3at cos at ) 8a 233 Phụ lục s 26 27 28 29 30 31 32 33 34 (s + a2 t sin at − at cos at ) 8a s2 (s + a2 (1 + a 2t ) sin at − at cos at ) 8a s3 (s + a2 ) 3t sin at + at cos at 8a ) (3 − a 2t ) sin at + 5at cos at 8a ) (8 − a 2t ) cos at − at sin at s4 (s + a2 s5 (s + a2 3s − a (s + a2 t sin at 2a ) s − 3a s (s +a 2 t cos at ) s − 6a s + a (s +a ) t cos at t sin at 24a s3 − a s (s + a2 ) 35 (s − a2 (3 + a 2t ) sh at − 3at ch at ) 8a s 36 37 38 (s − a2 at ch at − t sh at ) 8a s2 (s − a2 at ch at + (a 2t − 1) sh at ) 8a s3 (s − a2 3t sh at + at ch at 8a ) 234 Phụ lục 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 s4 (s − a2 ) (3 + a 2t ) sh at + 5at ch at 8a ) (8 + a 2t ) ch at + at sh at s5 (s − a2 3s + a (s − a2 t sh at 2a ) s + 3a s (s −a 2 t ch at ) s + 6a s + a (s −a ) t ch at t sh at 24a s3 + a s (s − a2 ) ⎫ at at e at / ⎧ − cos + e − 3at / ⎬ sin ⎨ 2 3a ⎩ ⎭ s3 + a3 ⎫ at at e at / ⎧ + cos − e − 3at / ⎬ ⎨ sin 3a ⎩ 2 ⎭ s s3 + a3 ⎛ − at at ⎞ at / ⎜e ⎟ cos + e ⎜⎝ ⎟⎠ s2 s3 + a3 e − at / ⎧ 3at / at at ⎫ − sin − cos e ⎨ ⎬ 2 ⎭ 3a ⎩ s3 − a3 ⎫ at at e − at / ⎧ − cos + e 3at / ⎬ ⎨ sin 3a ⎩ 2 ⎭ s3 − a3 ⎛ at at ⎞ ⎜ e + 2e − at / cos ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ s2 s3 − a3 1 s + 4a 4a 235 {sin at ch at − cos at sh at} Phụ lục 52 53 54 55 56 57 58 59 60 s sin at sh at s + 4a 2a s2 {sin at ch at + cos at sh at} 2a s + 4a s3 s + 4a cos at ch at 1 s4 − a4 2a s s −a 2a s2 {sh at − sin at} {ch at − cos at} {sh at + sin at} 2a s4 − a4 s3 {ch at + cos at} 2a s4 − a4 e − bt − e − at s+a + s+b 2(b − a ) πt s s+a erf at a 61 s ( s − a) e at erf at a 62 s−a +b ⎧ ⎫ − be b t erfc(b t )⎬ e at ⎨ ⎩ πt ⎭ 63 64 s +a J (at ) I (at ) s −a n 65 ⎛ s2 + a2 − s⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; n > −1 s2 + a2 a n J n (at ) 236 Phụ lục n 66 ⎛ s − s2 − a2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; n > −1 s2 − a2 s2 +a2 ) eb ( s − 67 2 e−b s + a η (t − b) J (a t − b ) tJ1 ( at ) a s +a 69 (s + a ) s 70 74 75 76 77 78 tJ (at ) (s + a )3 s2 71 73 J (a t (t + 2b) ) s2 + a2 68 72 a n I n (at ) J (at ) − tJ1 ( at ) (s + a ) = s (e s − 1) s s (e − r ) es −1 s s (e − r ) = = e−s x(t ) = n , n ≤ t < n + 1, n = 0, 1, 2, s (1 − e − s ) e−s s (1 − re −s x(t ) = ) s (1 − re ∑ r k ; [t ] phần nguyên t k =1 − e− s −s [t ] x(t ) = r n , n ≤ t < n + 1, n = 0, 1, 2, ) e− s / a s cos at πt e− s / a sin at πa s3 e− s / a sα +1 α /2 ⎛t⎞ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ; α > −1 Jα (2 at ) a2 e 4t e−a s s − πt 237 Phụ lục a e−a s 79 a2 e 4t − πt 80 − e−a s s ⎛ a ⎞ erf ⎜ ⎟ ⎝2 t ⎠ 81 e−a s s ⎛ a ⎞ erfc ⎜ ⎟ ⎝2 t ⎠ 82 e−a s s ( s + b) 83 e −a / s sα +1 a ⎞ ⎛ e b(bt + a ) erfc ⎜ b t + ⎟ t⎠ ⎝ ∞ ; α > −1 πt a 2α +1 ∫u − u2 α e 4a t J 84 ⎛s+a⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ s+b⎠ e − bt − e − at t 85 ⎛⎜ s + a ⎞⎟ ln s ⎜⎝ a ⎟⎠ Ci (at ) 86 ⎛s+a⎞ ln⎜ ⎟ s ⎝ a ⎠ Ei (at ) − 87 88 89 γ + ln s 6s + 2(cos at − cos bt ) t (γ + ln s ) s 90 ln s s 91 ln s s 92 ln t ; γ số Euler s ⎛ s2 + a2 ⎞ ⎟ ln⎜ ⎜ s2 + b2 ⎟ ⎝ ⎠ π2 Γ(α + 1) − Γ(α + 1) s sα +1 2α ( u ) du ln t ; γ số Euler − (ln t + γ ) (ln t + γ ) − ; α > −1 t α ln t 238 π2 Phụ lục 93 ⎛a⎞ arctg ⎜ ⎟ ⎝s⎠ sin at t 94 ⎛a⎞ arctg ⎜ ⎟ s ⎝s⎠ Si (at ) 95 96 97 98 ea / s erfc s e s2 / 4a2 es / 4a2 ( a/s e − at πt ) erfc ( s / 2a ) 2a − a t e erfc ( s / 2a ) s erf (at ) e as erfc s ( as π π (t + a ) ) t+a 99 e as Ei (as) 100 ⎧π ⎫ cos as ⎨ − Si (as )⎬ − sin as Ci ( as ) ⎩2 ⎭ a 101 ⎧π ⎫ sin as ⎨ − Si (as )⎬ + cos as Ci (as ) ⎩2 ⎭ 102 ⎧π ⎫ cos as ⎨ − Si (as )⎬ − sin as Ci ( as ) ⎩2 ⎭ s acrtg (t / a ) 103 ⎧π ⎫ sin as ⎨ − Si (as )⎬ + cos as Ci (as ) ⎩2 ⎭ s ⎛⎜ t + a ⎞⎟ ln ⎜⎝ a ⎟⎠ 104 ⎧π ⎫ ⎨ − Si ( as)⎬ + Ci (as ) ⎩2 ⎭ ⎛⎜ t + a ⎞⎟ ln t ⎜⎝ a ⎟⎠ 105 δ (t ) - hàm Dirac 106 e − as δ (t − a) t + a2 t t + a2 239 Phụ lục 107 e − as s η (t − a) 108 sh xs s sh as x ∞ (−1) n nπx nπt sin cos + ∑ a π n =1 n a a 109 sh xs s ch as (2n − 1)πt (2n − 1)πx ∞ (−1) n sin sin ∑ π n =12n − 2a 2a 110 ch xs s sh as t ∞ (−1) n nπx nπt cos sin + ∑ a π n =1 n a a 111 ch xs s ch as 112 sh xs s sh as 113 sh xs s ch as 1+ (2n − 1)πt (2n − 1)πx ∞ (−1) n cos cos ∑ π n =12n − 2a 2a xt 2a ∞ (−1) n nπx nπt sin cos + ∑ 2 a π n =1 n a a x+ 8a π (−1)n ∞ ∑ (2n − 1)2 sin n =1 (2n − 1)π x (2n − 1)π t cos 2a 2a 114 ch xs s sh as t 2a ∞ (−1) n nπ x ⎛ nπ t ⎞ + ∑ cos ⎜ − cos ⎟ a ⎠ a ⎝ 2a π n=1 n 115 ch xs s ch as 8a 116 117 t+ 119 ch x s s sh a s n =1 (2n − 1)π x (2n − 1)π t sin 2a 2a 2 (−1) n ne − n π ∑ a t / a2 sin n =1 ch x s ch a s 118 ∑ (2n − 1)2 cos 2π ∞ sh x s sh a s sh x s s ch a s π (−1)n ∞ π a ∞ ∑ − (2 n −1)2 π 2t (−1)n−1 (2n − 1)e 4a (2n − 1)π x n =1 ∞ ∑ a n=1 − (2 n−1)2 π 2t (−1) n−1 e 4a ∞ + ∑ a a n=1 240 cos nπx a sin − n2π 2t (−1)n e a 2a (2n − 1)π x cos 2a nπ x 2a Phụ lục 120 sh x s s sh a s 121 ch x s s ch a s 122 sh x s s sh a s 123 2 −n π t x (−1)n nπ x + ∑ e a sin a π n =1 n 2a ∞ π 2t −(2 n −1) (−1)n 1+ ∑ e 4a π n=1 2n − ∞ xt 2a + a π2 x2 − a2 ch x s s ch a s +t − 16a π (−1)n ∑ (1 − e n =1 n ∞ (−1)n ∞ ∑ n =1 (2n − 1) J (ix s ) s J (ia s ) a2 126 as 129 130 a2s2 + π ch ( as − 4a 2a −1 as ) 2 (a s + π )(1 − e 2a e − as s (1 − e − as ) − as a 2a 3a 4a t πa 2 (2n − 1)π x λ1 , λ2 , nghiệm dương J (λ ) = as ) πa 2a ∞ − λn t / a e J (λn x / a) x2 − a2 + t + 2a ∑ λn J1 (λn ) n =1 as th ( ) s 127 128 th ( cos nπ x λ1 , λ2 , nghiệm dương J (λ ) = J (ix s ) s J (ia s ) ) sin 2 125 2a − n 2π 2t − (2 n−1)2 π 2t e 4a (2n − 1)π x e − λn t / a J (λn x / a ) − 2∑ λn J1 (λn ) n =1 ∞ 124 cos a 2a 3a t a 2a 3a t a 2a 3a t ) 241 Phụ lục 131 132 133 134 135 e − as (1 − e − bs ) s η (t − a) − η (t − a − b) ∞ ∑ n [η (t − (n − 1)a ) − η (t − na )] s (1 − e − as ) n =1 ∞ e − s + e − 2s s (1 − e ∑ n [η (t − n) − η(t − (n + 1))] −s ) n=0 ∞ − e− s ∑ r n [η (t − n) − η (t − (n + 1))] s (1 − re − as ) n=0 πa(1 + e − as ) (η (t ) − η (t − a) )sin πt a2s + π a 242 Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Bá Long, Tài liệu hướng dẫn học tập môn xác suất thống kê cho hệ đào tạo từ xa chuyên ngành điện tử viễn thông Vũ Gia Tê, Lê Bá Long, Giáo trình tốn chun ngành cho sinh viên hệ quy chun ngành điện tử viễn thơng Học viện Cơng Nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, 2006 Nguyễn Phạm Anh Dũng, Các hàm xác suất ứng dụng viễn thơng Trung Tâm Đào Tạo Bưu Chính Viễn Thơng 1, 1999 Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu lọc số NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2004 Nguyễn Duy Tiến (và tập thể), Các mơ hình xác suất ứng dụng, tập 1, 2, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 D L (Paul) Minh, Applied probability models, Duxbury, Thomson Learning 2001 A Angot, Compéments de mathématiques a l’usage des ingénieurs de l’eslektrotechnique et des tétécommunications Paris, 1957 A V Bitsadze, Equations of Mathematical Physics, Mir Publishers Moscow, 1980 P.J Buker, 1976 Proof of a conjecture on the interarrival-time distribution in an M/M/1 queue with feedback IEEE Transactions on Communications, COM-24, 575-576 10 L W Couch, II, Digital and Analog Communication Systems 6th ed, Prentice Hall, 2001 11 V Ditkine et A Proudnikov, Calcul opérationnel Dịch tiếng Pháp Djilali Embarex, Mir 1979 12 V Ditkine et A Proudnikov, Transformation intégrales et calcul opérationnel Dịch tiếng Pháp Djilali Embarex, Mir 1978 13 Charles Dixon, Applied Mathematics of science & Engineering John Wiley & Sons: London, New York, Sydney, Toronto 1980 14 J L Doob, 1953 Stochastic Processes Willey and Sons, New York 15 B.A Fukxơ B V SaBat, Hàm biến phức ứng dụng Bản dịch tiếng Việt Tràn Gia Lịch, Lê Văn Thành Ngô Văn Lược, NXB Khoa học Hà Nội, 1969 16 S Haykin, 1988 Digital communications John Willey and Sons 17 S Karlin, 1966 A first Course in Stochastic Processes Academic Press, New York and London 18 P Quinn; B Andrrews & H Parsons, 1991 Allocating telecommunications resources at L L Bean Inc., Interfaces, 21, 75-91 19 M R Spiegel, PhD, Theory and Problems of Laplace Transform Schaum's outline series Mc Graw - Hill Book company, Inc 1986 20 E J Savant JR, Fundamentals of the Laplace Transformation Mc Graw - Hill Book company, Inc 1962 243 Tài liệu tham khảo 21 C E Shannon, Mathematical Theory of Communication The Bell System Technical Journal 1948, Vol 27, pp 379 - 423, 623 - 656 22 R E Ziemer & R L.Peterson, Publishing Company, 1992 Introduction to digital communication, Macmillan 244 TOÁN CHUYÊN NGÀNH Mã số : 491TNC214 Chịu trách nhiệm thảo TRUNG TÂM ÐÀO TẠO BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG (Tài liệu ban hành theo Quyết định số : /QĐ-TTĐT1, ngày /07/2006 Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng)