TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 4 1

Chapter 4: Biến đổi Laplace ngược Chương 4: Nội dung 4.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược 4.2 Biến đổi Laplace ngược của hàm bản 4.3 Các tính chất của biến đổi Laplace ngược 4.4 Tích chập 4.5 Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược 4.6 Dùng MATLAB tìm biến đởi Laplace ngược Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 4.1: Định nghĩa biến đổi Laplace ngược:  Cho F(s) là ảnh Laplace với s thỏa điều kiện hội tụ, biến đởi ngược là tốn tử tìm hàm gớc f(t) chỉ t ≥ theo công thức: f(t)  L -1 c j st {F( s)}  F(s)e ds  2πj c j L{f (t)} f(t) time-domain for t ≥ F(s) s-domain -1 L {F(s)}  Như có thể viết: L {F(s)}  f(t).u(t)  f(t) -1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 4.2 Biến đổi Laplace ngược hàm bản: (Xem bảng gốc – ảnh tương ứng ở chương 3) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 4.3 Các tính chất của biến đổi Laplace ngược: 1) Tuyến tính : L {C1F1 (s)  C2 F2 (s)}  C1f1 (t)  C2f (t) -1 Example: Find the Inverse Laplace Transform of : 2 F(s)    s s 3 s 8 L {F(s)}   2e -1 3t  2e 8t Với s thỏa đkiện hội tụ và hàm gốc chính là viết tắt của: f (t)    2e3t  2e8t  u(t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2) Dời miền s :  at L {F(s  a)}  e f (t) -1 i Replace (s + a) by s ii Find f(t) = L–1{F(s)} iii L–1{F(s + a)} = e–atf(t) Example: Find the Inverse Laplace Transform of : s2 s2 F(s)   s  4s  13 ( s  2)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3) Dời miền thời gian: -1 L {F(s).e sT }  f (t  T).u(t  T) Example: Find the Inverse Laplace Transform of : e3s F(s)  s  2s  L {s2 2s5}  L { (s1)2 4}  L {s2 4}e  -1 -1 1 -1 t e3s L {s2 2s 5}  -1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 4) Biến đổi ngược của đạo hàm: L {F (s)}  (1) t f  t  -1 (n) n n i Find F(n)(s) ii Find L–1{F(n)(s)} iii f(t) = L–1{F(n)(s)}/[(– 1)ntn] Example: Find the Inverse Laplace Transform of : F(s)  ln s s1 L {F (s)}  L {  -1 ' -1 s Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM t }  1 e  s 1 5) Đổi thang : t L {F(ks)}  f   k k -1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 6) Biến đổi ngược của tích phân : L { -1  s f (t) F(u)du}  t Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10 d) Q(s) có nghiệm phức bợi r : i Viết P(s)/Q(s) dưới dạng chuẩn: Giả sử Q(s) = có nghiệm phức là nghiệm kép thì: P(s) Q(s)  [ss ]2 [s  s ]2  [s s ]2  K12 P(s) 1 K11 [s s1 ]  [s  s ]2  K12 K11 [s  s1 ] ii Tìm giá trị K12 sau đó đạo hàm tìm K11 K12  P(s) [s  s1 ]2 s s ; K11  d ds  P(s)   [s  s1 ]  s s1 iii Tìm biến đổi ngược: 1   P(s) Q(s)  | K12 | tet cos[t  K12 ]  | K11 | et cos[t  K11 ] Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 36  VD 4.5.7: Partial Fraction Method 1   768  ?  2  ( s  6s  25)   Ta có: s1  3  j4 s2  s1  3  j4 K12 K11 K12 K11 768     2 2 ( s  6s  25) ( s  s1 ) ( s  s1 ) ( s  s2 ) ( s  s2 )  Áp dụng công thức: K12     12180o 768 ( s  s2 )2 s  s        24te cos(4t 180 )  6e K11  d ds 1 768 768 ( s  s2 )2 s  s ( s  s  25)  768*2 ( s  s2 )3 s  s 3t Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  3  90o o 3t cos(4t  90 ) o 37 5) Công thức khai triển Heaviside : Let F(s) = P(s)/Q(s) a) Q(s) has n simple zeros: s1, s2, …, sn n f(t)   Ki e si t i 1  P( s )  P( s ) Ki  lim  ( s  si )   s  si Q( s )   Q '( s) s  si Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 38 b) Q(s) has s1 multiple zero rth-order: K1,1 K1,2 K1,r Kn K r 1 P( s )        r Q(s) (s  s1 ) (s  s1 ) (s  s1 ) s  sr 1 s  sn r k K1,k d  (r  k )! ds r  k  P( s ) r  Q( s) ( s  s1 )    s  s1 ;k 1r For finding the original function we use:   r 1 s1t L   t e r   ( s  s1 )  (r  1)! 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39 c) Q(s) has complex zeros: s1,2 =  ± i  P( s1 ) s1t  n si t f(t)  Re  e    Ki e  Q '( s1 )  i 3 K1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 40  VD 4.5.8: Heaviside Expansion   s 4 1    ?  (s  1)(s  2)(s  3)  A B C F ( s)    (s  1) (s  2) ( s  3)  Heaviside Formula: B  lim s 2 1  s2 4 ( s 1)( s 3)    s2 4 s 1 ( s  2)( s 3) A  lim C  lim s 3    2 s2 4 ( s 1)( s  2)   2s   t 2t 3t    e  e  e  ( s  1)( s  2)( s  3)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41  VD 4.5.9: Heaviside Expansion 1   100( s  3)    ?  ( s  6)( s  6s  25)   Heaviside Formula: K1  lim s 3 j 1  100( s 3) ( s  6)[ s ( 3 j 4)] F(s)  K1 K2 K3   [s  (3  j 4)] [ s  (3  j 4)] ( s  6) K3  lim s 6  100( s 3) ( s  s  25)   12   10  53.1 o   100( s  3) 3t o 6 t  20 e cos(4t  53.1 )  12e    ( s  6)( s  6s  25)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 42  VD 4.5.10: Heaviside Expansion 1 100( s  25)   ?    s( s  5)   Heaviside Formula:   K12  d (32) (3 2)! ds32 K11  d (31) (31)! ds31 1 K13 K12 K11 K4 F(s)     (s  5) (s  5) ( s  5) s K13    100( s  25) s s 5      100      100( s  25) s 100( s  25) s d (33) (33)! ds33 2500 s2 d ds s 5 2500 s2 K  20 5000 s3  400 s 5  20 100( s  25)  5t 5t 5t   200 t e  100 t e  20e +20    s( s  5)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43 6) Biến đổi ngược của hàm xung:  Ảnh Laplace của hàm xung thường có dạng: F(s)  G(s).f(k,est1 ,est1 , )  Chỉ cần tìm g(t), sau đó dựa tính chất biến đổi Laplace viết lại f(t)  Ví dụ: The graph of f(t) 3.5 ft(t) 2.5 1.5 0.5 0 Time (s) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 44 7) Biến đổi ngược của hàm tuần hoàn: Is Laplace Transform of a periodic function of period T = Use : 1 x F(s)    x  x  23e s  e2 s s 1e2s   e2 s  e4 s  [1  e2 s  e4 s  ] g(t)  2u(t )  3u(t 1)  u(t  2) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Vẽ g(t) và lặp lại để có f(t) 45 4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược: EX1: f(t)  1  s  63 s 134 (s+3)(s+4)(s+5)  syms t x s; Fs = sym('(7*s^2+63*s+134)/((s+3)*(s+4)*(s+5))'); ft = ilaplace(Fs); simple(ft); 4*exp(-3*t) + 6*exp(-4*t) - 3*exp(-5*t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 46 4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược: EX2: f(t)  1  s 3 s 1 (s+1)3 (s+2)2  syms t x s; Fs = sym('(s^2+3*s+1)/((s+1)^3*(s+2)^2)'); ft = ilaplace(Fs); simple(ft); - 1/2*t^2*exp(-t) + (3*exp(-t) + exp(-2*t))*t + 4*exp(-2*t) - 4*exp(-t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47 4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược: EX3: f(t)  1  2( s3) (s+1)(s2 +2s+5)  syms t x s; Fs = sym('2*(s+3)/((s+1)*(s^2+2*s+5))'); ft = ilaplace(Fs); simple(ft); exp(-t) - exp(-t)*cos(2*t) + exp(-t)*sin(2*t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 48 4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược: EX4: f(t)  1  s  e3 s s2  syms t x s; Fs = sym('2/s + exp(-3*s)/s^2'); ft = ilaplace(Fs); simple(ft); + Heaviside(t-3)*t - 3*Heaviside(t-3) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49 4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược: EX5: The graph of f(t) 3.5 2.5 ft(t) % File ex4_3.m syms t x s; Fs = sym('(1-exp(-2*s))*(1+exp(-4*s))/s^2'); ft = ilaplace(Fs); simple(ft); % Sketch vat over range -> 8s tinit = 0; tfinal = 8; N = 200 time = linspace(tinit,tfinal,N); out = linspace(0,1,N); for n=1:N % The t va doi sym ve numeric out(n)= vpa(subs(ft,'t',time(n)),4); end plot(time,out);grid on; xlabel('Time (s)'); ylabel('ft(t)'); title('The graph of f(t)'); 1.5 0.5 0 Time (s) (1+Heaviside(t-4)-Heaviside(t-2)-Heaviside(t-6))*t+2*Heaviside(t-2)-4*Heaviside(t-4)+6*Heaviside(t-6) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 50