TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 6 1

Chapter 6: Ứng dụng biến đổi Laplace vào Giải tích mạch điện Chương 6: Nội dung 6.1 Giới thiệu phân tích mạch miền s 6.2 Chuyển mạch điện sang miền s 6.3 Các luật mạch dạng toán tử 6.4 Qui trình giải mạch dùng biến đổi Laplace 6.5 Hàm truyền đạt toán tử Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 6.1 Giới thiệu phân tích mạch miền s:  Giả sử cần tìm dòng mạch:  Ta viết PTVP : +_ R e(t) i(t) L inductor resistor di(t) R.i(t)  L  e(t) dt  Dùng biến đổi Laplace để tìm i(t) biết i(0)  Ở chương này ta tiếp cận theo cách đơn giản hơn, đó là: Chuyển mạch điện đã cho sang miền s và giải ở đó; Dùng biến đổi Laplace ngược suy tín hiệu ở miền thời gian i(t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 6.2 Chuyển mạch điện sang miền s :  Tất cả kết quả ở nhận được ta dùng biến đởi Laplace lên phương trình tốn của phần tử mạch 1) Resistor Model: Resistor u(t) U(s) u(t )  Ri(t )  U (s)  RI (s) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2) Inductor Models: u(t) di u(t )  L (t )  U (s)  L(sI (s)  i(0)) dt (sL= cảm kháng toán tử) U(s) U (s)  sL.I (s)  Li(0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM U(s) U ( s) i (0) I ( s)   sL s 3) Capacitor Models: t u (t )   i( x)dx  u (0) C0 (1/sC= dung kháng toán tử) U ( s)  u (0) I (s)  sC s Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM I (s)  sCU (s)  C.u(0) 4) a) b) Source Models: Independent sources eS (t)  ES (s) jS (t)  J S (s) Dependent sources e D (t)  k 4i C (t)  E D (s)  k I C (s) jD (t)  k 3u C (t)  J D (s)  k U C (s) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  VD 6.2.1: The s-domain Circuit Transform the circuit to s domain , assuming zero initial conditions ? If vc(0) = 2V and iL(0) = 3A ? u (t )  s 1H  sL  s 1 F   sC s Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 6.3 Các định luật mạch dạng toán tử: 1) Định luật Ohm dạng tốn tử: I(s)  Y(s).U(s) Với : Y  Z + U(s) - I(s) Z(s) Y(s) Z(s) : trở kháng , tổng trở toán tử Y(s) : dẫn nạp , tổng dẫn toán tử Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM () (S) () U(s)  Z(s).I(s)  Tính chất của Z(s) và Y(s) : Z(s) Y(s) tuân theo phép biến đổi tương đương điện trở điện dẫn VD 6.3.1: Tính mạch tốn tử dùng voltage & current divider VD 6.3.2: Tính mạch toán tử dùng biến đổi nguồn tương đương VD 6.3.3: Tính mạch tốn tử mợt ng̀n áp + trở kháng tốn tử nới tiếp & song song Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10 2) Các luật KCL (K1) và KVL (K2) ở miền s: Chuyển luật KCL và KVL từ miền thời gian sang miền s  Luaät KCL :   I ( s)  k (+ if leaving) node  Luaät KVL :  U (s)  k (+ if following the voltage drop) loop VD 6.3.4: Từ KCL, dẫn cơng thức tính mạch tốn tử hai nút VD 6.3.5: Từ KVL, dẫn công thức tính mạch tốn tử chỉ có mợt loop Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11 6.4 Qui trình Phân tích mạch dùng Laplace: Practical Circuit Difficult LT Easy Signal y(t) Inverse LT Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Transformed Circuit Using the methods for DC circuit Laplace Transform of signal Y(s) 12  VD 6.4.1: Dùng PP tương đương điện trở Given e(t) = 100.u(t) V, and iL(0) = 0, find iL(t), u(t) for t > using Laplace transform ? (Ans: 4(1 - e-1000t)A; 100 – 80e-1000t V ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13  VD 6.4.2: Dùng PP tương đương điện trở Find i1(t) in the circuit, assuming zero initial conditions ? Z s s (5  s) 5 s 3( s 5) Z  s 5 s 3 i1 (t )  I1  1/ s 1 Z ( s ) ( s 5 s 3)  s[ s2 8s 18] 1 {I1 (s)} Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 14  VD 6.4.3: Dùng PP giải mạch hai nút Given iL(0) = 0, determine i(t) transform ? for t > using Laplace (Ans: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  1/6(1e t ) A for 0t 1 0.50.3946 e ( t 1) ) A for 1t ) 15  VD 6.4.4: Dùng PP giải mạch một loop Given v(0) = 0, find v(t) for t > using Laplace transform ? (Ans: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  24(1e t ) V for 0t 1  ( t 1) 3014.83e ) V for 1t ) 16  VD 6.4.5: MATLAB Circuit Analysis Find 2(t) for t > ? (Ans: 2 = + 11,32.e-0,75t.cos(7t/4 – 110,7o) ) Transformed Circuit: Using MATLAB: % VD6.1: Giai mach dung Laplace, Example2, phan 6.4 syms t s Ys Js phi ; R = 2;L = 1;C = 5; % Thong so mach % Viet he phuong trinh the nut: Ys = [1/(L*s)+1/R+s*C -s*C; -s*C s*C+1/2]; Js = [(12/s)/(s*L); 4/s]; phi = inv(Ys)*Js; phi_t = ilaplace(phi); % Bien doi nguoc Laplace disp('The nut = ');pretty(phi_t(2)); % Ve thi ezplot(phi_t(2),[0,10]); % over range - 10s The nut = 1/2 1/2 1/2 exp(- 3/4 t) sin(1/4 t) + - exp(- 3/4 t) cos(1/4 t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17  VD 6.4.6: MATLAB Circuit Analysis Find: u(t) for t > ? Transformed Circuit: E(s) = 9(1 – e–0.3s)/s Using MATLAB: The page followed (Attention: with Heaviside() function , you can use subs() and vpa() to change syms onto Num , and then plot() Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 18  VD 6.4.6: MATLAB Circuit Analysis % VD6.2: Giai mach dung Laplace, Example3, phan 6.4 syms t s Ys Js phi ; % Thong so mach R1 = 6000; R2 = 4000; R3 = 8000; C = 100e-6; % Viet he phuong trinh the nut: Es = 9*(1 - exp(-0.3*s))/s; Ys = 1/R1 + 1/(R2+R3) + s*C; Js = Es/R1; phi = Js/Ys; Us = phi*R3/(R2+R3); % Bien doi nguoc Laplace ut = ilaplace(Us); disp('The output voltage= '); pretty(ut); % Sketch ut over range tinit = 0; tfinal = 2; N = 200 time = linspace(tinit,tfinal,N); out = linspace(0,1,N); for n=1:N % The t va doi sym ve numeric out(n)= vpa(subs(ut,'t',time(n)),5); end plot(time,out); xlabel('Time (s)'); ylabel('u(t), V'); title('The Output Voltage'); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (Ans: By hand u(t) = 4(1 – e-t/0,4) (0 < t < 0,3) 2,11.e-(t-0,3)/0,4 (t > 0,3) 19  VD 6.4.7: s-domain Circuit Analysis Tìm vo(t) biết điều kiện đầu = ?  Mạch miền s:  Ảnh Laplace: Vi(s) = … ; V0(s) = …  Nghiệm miền t: vo(t) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 20  VD 6.4.8: s-domain Circuit Analysis Tìm y(t), biết điều kiện đầu = 0, R = Ω, L = 0,2H và :  e(t)   x(t  2n); x(t)  u(t)  u(t  1) n 0  Mạch miền s:  Ảnh Laplace: X(s) = … ; E(s) = … ; Y(s) = …  Nghiệm miền t: y(t) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21  VD 6.4.9: s-domain Circuit Analysis Tìm v(t), biết điều kiện đầu = 0, R = Ω, C = 0,2F và :  e(t)   x(t  2n); x(t)  u(t)  u(t  1) n 0  Mạch miền s:  Ảnh Laplace: X(s) = … ; E(s) = … ; V(s) = …  Nghiệm miền t: v(t) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 22 6.5 Hàm truyền đạt toán tử: input x(t) X(s) Circuit Transfomed Circuit  H(s) is the ratio of the output Y(s) to the input X(s), assuming all initial conditions are zero Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM y(t) output Y(s) Y(s) H(s)  X(s) 23  Xác định H(s) : thường dùng PP i Dùng PP giải tích mạch điện trở ii Dùng định lý tỉ lệ của giải tích mạch iii Tốn tử hố PTVP mơ tả mạch hay hệ thống iv Biến đổi Laplace đáp ứng xung h(t) của mạch hay hệ thống Như nếu biết H(s), ta cũng có thể suy h(t) nhờ biến đởi Laplace ngược Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 24 VD 6.5.1: Transfer Function  We have: and  And the transfer function :  The unit impulse function : Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25