TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 12 1

Chapter 12: Ánh xạ bảo giác (Conformal Mapping) Chương 12: Nội dung 12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi 12.2 Ánh xạ bảo giác 12.3 Phép Biến đổi song tuyến tính 12.4 Biến nửa mặt phẳng thành đĩa đơn vị 12.5 Một số ánh xạ bảo giác thường dùng khác Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi : Khái niệm:  Hàm phức w = f(z) xác định một phép biến đổi giữa một điểm hay miền D mp z và một điểm hay miền D’ (gọi là ảnh) mp w y y1 z-plane v z1 D x1 x Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM w-plane D’ u w1 = f(z1) Tìm ảnh của một điểm hay một tập hợp:  Ảnh của điểm z1 là w1 = f(z1) chỉ cần thế vào hàm phức  Ảnh của một miền hay tập (đường thẳng, đường tròn, …) liên quan đến tìm hàm ngược Qui trình: w = f(z) z = f–1(w) x + jy = f–1(u + jv) x = (u, v) y = (u, v) Ta thế: z theo w / hay z theo u, v / hay x,y theo u, v Vào các phương trình hay bất phương trình mô tả miền D mp z để nhận được phương trình hay bất phương trình mô tả miền D’ mp w Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 12.1.1: Ảnh của một điểm Tìm ảnh của các điểm A (z = – + j) và B (z = + j4) mặt phẳng w dưới phép biến đổi w = j2z + và minh họa bằng hình vẽ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  VD 12.1.2: Ảnh của đường thẳng Tìm ảnh của đường thẳng y = – x + mặt phẳng z qua phép biến đổi w = (1 + j)z + y  Hàm ngược: z = w/(1 + j) – 3/(1+j) x x + jy = (0,5 – j0,5)(u + jv) – 1,5 + j1,5 x = 0,5u + 0,5v – 1,5 y = 0,5v – 0,5u + 1,5  Ảnh của đường thẳng y = – x + sẽ là: 0,5v – 0,5u + 1,5 = – 0,5u – 0,5v + 1,5 + v=1  Ảnh của đường thẳng y = -x + mp z cũng là một đường thẳng mp w và có phương trình v = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  Lưu ý: Tìm ảnh của miền giữa các biên i Đoạn A’B’ có thể được xác định ta tìm thấy ảnh K’ (của điểm K đoạn AB) nằm đoạn A’B’ K K’ ii Ảnh của miền D được xác định ta dùng điểm thử và xác định vị trí ảnh của nó : nằm bên hay bên ngoài D’ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  VD 12.1.3: Ảnh của đĩa hở (miền) Tìm ảnh của đĩa hở D = {z: |z + + j| < 1} qua phép biến đổi w = (3 – j4)z + + j2 ?  Hàm ngược: z = (3/25 + j4/25)w – (2/5 + j6/5)  Thế vào bất pt mô tả miền D mp z, ta có: |(3/25 + j4/25)w – (2/5 + j6/5) + + j| < |w + – j3| <  Ảnh của miền D là đĩa hở tâm (-1,3), bán kính là |w – (– + j3)| < j3 -1 D Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM D’ -j -1  VD 12.1.4: Ảnh của đĩa hở (miền) Tìm ảnh của đĩa hở D = {z: |z – 1| < 1} qua phép biến đổi nghịch đảo w = 1/z ?  Hàm ngược: z = 1/w  Thế vào bất pt mô tả miền D: |1 – w| < |w| |(1 – u) – jv| < |u + jv| (1 – u)2 + v2 < u2 + v2  Ảnh của D là nửa mặt phẳng u > 1/2 u > 1/2 v y x u 1/2 D’ D  NX: Ảnh của một miền D thay đổi theo phép biến đổi Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Một số phép biến đổi đơn giản: (xem slides) i Phép dời: w = z + a Tịnh tiến miền đã cho theo hướng của a ii Phép xoay: w = ej.z = (cos + jsin)z Xoay miền đã cho theo CCW nếu  > và CW nếu  < iii Phép giãn: w = z Giãn miền đã cho iv Phép nghịch đảo: w = 1/z Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10 VD12.4.2: MATLAB vẽ phân bố thế Code chương trình vẽ phân bố thế: %Vidu 12_4_2 - Ve ho duong cong [X,Y] = meshgrid(-1.1:.02:1.1,0.01:.02:1.1); Z = -(220/pi)*atan((1 - X.^2 - Y.^2)./(2*Y)) + 110; [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:10:110]); %gia tri z tu -> 110, buoc 10V colormap cool; % End of program Thế điện  = 110 V Thế điện  = 100V Thế điện  = 90V Thế điện  = 80V Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 69 VD12.4.3: Biến ĐĐV  Nửa MP y =0 Tìm phân bố thế điện miền đường tròn đơn vị H1 ? x –1  Xem công thức phần 12.4.4 (phép biến đổi song tuyến tính biến đường tròn đơn vị thành nửa mặt phẳng trên), ta có phép biến đổi:  = 1V H1 wj H2  z 1 z 1 v để biến H1 thành H2 & ĐKB Giải bài toán đối xứng ở H2, ta có: u  = 1V  =   A  B      tan  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1  v u (V) 70 VD12.4.3: Biến ĐĐV  Nửa MP (tt) y =0 Tìm phân bố thế điện miền đường tròn đơn vị H1 ? x –1 Từ ánh xạ:  = 1V H1  x) w  j zz11  (1yj(1 x) jy (1 x )  y2  (1 x)2  y2  j (1 x)2  y2 2y H2 v Ta có phân bố thế miền D của H1: u  = 1V  =   tan    tan  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1   v u (V) 1 1 x  y2 2y  (V) 71 Giải ptrình Laplace ở nửa mp trên:  Giải bài toán ĐKB:   0;    x  , y  k (  x  x1 ) (x,0)   k1 (x1  x  )  Nghiệm có dạng: (x, y)  k1    Tổng quát tìm nghiệm của:  k  k1  Arg  z  x1  y  =  = k0  = k1 x1 (x, y)  k n   k n  j1 j1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM x2  = kn x xn  k j  Arg  z  x j  72  VD 12.4.4: Giải  = ở nửa mp  Giải ptrình Laplace và ĐKB: y  = =2  = –1 x =5  Áp dụng công thức nghiệm ptrình Laplace ở nửa mp trên: (x, y)   [2  (1)]Arg(z  0)  [(1)  5]Arg(z  3)   (x, y)   3 Arg(z  0)  6 Arg(z  3)  Viết theo biến x và y : (x, y)   tan  1   y x Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  tan 1   y x 3 73  Trường hợp đặc biệt: k0 = kn =  Ta có: (x, y)  n 1  j1 kj   Arg  z  x j1   Arg  z  x j     y  Biến đổi về: (x, y)  y     (t,0) 2  (x  t )  y  = dt =0  = k1 x1 x2 =0 x xn  Công thức tích phân Poisson: Nếu hàm thế biên có dạng (x, 0) = f(x) với f(x) liên tục từng đoạn miền - < x <  thì nghiệm bài toán Dirichlet ở nửa mp có dạng: (x, y)  y    f (t )  (x  t )  y Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM dt 74  VD 12.4.5: Công thức tích phân Poisson y  Giải ptrình Laplace và ĐKB:  =  Áp dụng công thức tích phân Poisson: (x, y)   y   y   t 2 1 (x  t )  y x 1 x s x 1 ds   s  y2 y   x 1 ds  s  y2 x y   x 1 (x, y)   tan  1    tan    y x 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1 y x 1 s 2 x 1 s  y y 2 ln  x =0 =x  Tính các tích phân ta có nghiệm: x  =0 dt x 1 –1 ds (x 1)2  y2 (x 1)2  y2  75  VD 12.4.6: Giải  = ở góc phần tư I y  Giải ptrình Laplace và ĐKB:  Dùng ánh xạ w = z2, đưa về nửa mp  = j v  = –1  = 10  = 20 u  = 20  = 10 x  = 10 (u, v)  10  1 [10  20]Arg(w  1)  1 [20  10]Arg(w  1) (u, v)  10  10  Arg(z  1)  10  Arg(z  1)  Viết theo biến x và y : (x, y)  10  10 tan 1  2xy x  y2 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM   10 tan 1  2xy x  y2 1  76 12.5 Phép biến đổi Schwarz-Christoffel Giới thiệu:  Một số bài toán Trường điện từ mà miền khảo sát là đa giác (kín hay hở)  Bài toán có thể giải ta ánh xạ miền khảo sát thành nửa của mp phức Vì ở trường hợp này, ta đã có dạng nghiệm tổng quát của phương trình Laplace  Các biến đổi này thuộc loại Schwarz-Christoffel  Tài liệu chi tiết cho phép biến đổi này: The first course in complex analysis by Dennis Zill Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 78 Giải ptrình Laplace ở đĩa hở đơn vị:  Nghiệm ptrình Laplace đĩa hở đơn vị với điều kiện biên Dirichlet () = f(ej) có dạng: (x, y)  2    1|z|2 f (e ) |e jt z|2 dt  jt 2    jt 1r f (e ) 1r 2r cos(t ) dt  Và ta hay dùng: 2 1 r   1r2 2r cos(t) dt  tan  1r tan 1r  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1    C t  79 Công thức Chwarz – Christoffel:  Luôn tồn tại một phép biến đổi bảo giác có dạng: f (z)  A  (z  x1 ) 1 1  (z  x ) 2 1  .(z  x n ) n 1  dz  B Biến nửa mặt phẳng phức thành miền bên của đa giác P có các đỉnh tại: w1, w2, …, wn và các góc trong: < 1, 2, …, n < 2 , đó x1 < x2 < … < xn và : f (x1 )  w1; f (x )  w ; ; f (x n 1)  w n 1; f ()  w n v y w1 w = f(z) x1 w4 x2 x3 x Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 4 1 w2 2 3 w3 u 80  Một số tích phân thông dụng:       1z z 1 1 dz  sin (z) dz  ( j)sin 1 (z) z z 1 dz  sin 1  z 1 dz  tan (z) z 1 1 dz   2tanh ( z  1) z 1 z  z dz  12 z  z  12 sin 1 (z) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 81  VD12.5.1: Phép bđổi Schwarz-Christoffel Xác định phép biến đổi Schwarz-Christoffel biến nửa mp thành dải u ≥0, – ≤ v ≤ hình vẽ j –j 2 u 1  Ta có: 1 = 2 = /2  Chọn: x1 = – ; x2 = 1, ta có đạo hàm của hàm phức: f '(z)  A(z  1) 1/2 (z  1) 1/2  f (z)   jAsin 1 (z)  B A z 1  Với w1 = f(x1) = – j và w2 = f(x2) = j , ta có:  1  j   jAsin (1)  B   jA( )  B 1  j   jAsin (1)  B   jA( )  B A   2 B0  Cuối cùng: w = f(z) = (j2/)sin–1(z) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 82  VD12.5.2: Phép bđổi Schwarz-Christoffel Xác định phép biến đổi Schwarz-Christoffel biến nửa mp thành đa giác hở hình vẽ 1 j 2 u  Ta có: 1 = 3/2; 2 = /2  Chọn: x1 = – ; x2 = 1, ta có đạo hàm của hàm phức: f '(z)  A(z  1)1/2 (z  1) 1/2  A (z2 1) z 1 f (z)  A  z   cosh 1 z   B    Với w1 = f(x1) = j và w2 = f(x2) = , ta có: j  A 0  cosh 1 (1)   B  Aj  B A  1  A 0  cosh 1 (1)   B  B B0  Cuối cùng ta có ánh xạ: f (z)  1  z   cosh 1 z    Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 83