TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 11 1

Chapter 11: Ứng dụng của lý thuyết thặng dư Chương 11: Nội dung 11.1 Tính tích phân thực đặc biệt 11.2 Tính biến đổi Laplace ngược 11.3 Tính biến đởi Fourier ngược Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11.1 Tính tích phân thực đặc biệt: a) Tích phân dạng 1:  2 F(cos ,sin )d Với hàm F(cos, sin) = Phân thức hữu tỉ của cos và sin )  Đặt z = ej, ta có sin = (z – z–1)/2j ; cos = (z + z–1)/2; cos2 = (z2 + z–2)/2; … và dz = jzd  2 F(cos ,sin )d   2  |z| 1 F( z1  z 1 , z1 z 1 j2 ) dz jz   |z| 1 f (z)dz n F(cos ,sin )d  2j Res{f (z),z k } k 1 (zk = Các cực bên vòng tròn đơn vị) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Các bước tính tích phân dạng 1: B1 Tính f(z) từ hàm F(cos, sin); f(z) là Hàm Hữu Tỷ P(z)/Q(z)  z2 1 z2 1  f(z)  F  ,  jz  jz  2z B2 Xác định cực zk của f(z) nằm bên đường tròn đơn vị B3 Tính Thặng Dư tại mỡi cực đó B4 Tính tởng Thặng Dư rời nhân cho 2j Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 11.1.1: Tính tích phân thực dạng Tính : I 2 d  I  dz jz d 248cos  z 1 2z & cos   dz C jz[244 z 1 ] z 1 I  2j j   dz C j[24z 4z 8  4] j  dz [z 6z 1] C  (Điểm: z   2 nằm bên ngoài đường tròn đơn vị) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 11.1.2: Tính tích phân thực dạng Tính : I  I 2 4d 5 4sin  4dz C jz[5 z 1 ] j2z   d  4dz C [5 jz  2(z dz jz  1)] & sin    z 1 j2z 2dz C [z  2,5 jz 1]  Dùng Casio giải : z1 = -0,5j (inside) và z2 = -2j (outside) Res{ z2 2,5 jz1 ,z1}  I  2j 1,5 j  2( 0,5 j) 2,5 j  1,5 j 8 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM b) Tích phân thực dạng 2:    f (x)dx y  Xét chu tuyến (C) là biên nửa đường tròn ở nửa mp phức:  X z1  Theo tính chất tích phân phức: CR X –R z2 X z3 x R R C f (z)dz   f (x)dx   f (z)dz R CR  Cho R  ∞ ta có:   C f (z)dz   f (x)dx  lim  f (z)dz  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM R  CR  Tích phân thực dạng 2: (tiếp theo) y  Bổ đề Lemma: Gọi f(z) = P(z)/Q(z) là Hàm hữu tỷ thỏa mãn: bậc P  (bậc Q – 2) và Q(z) không có nghiệm thực thì: lim  f (z)dz  CR X X z1 z2 –R X z3 x R R  CR  Và ta CM được:    f (x)dx   n C f (z)dz  2j Res{f (z),z k } k 1 (zk = các cực của f(z) nằm ở nửa mp phức) ● Nếu f(x) là hàm chẳn, ta tính: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM    f (x)dx   f (x)dx   Các bước tính tích phân dạng 2: B1 Viết f(z) và chỉ cực zk của f(z) có Phần ảo Im(zk) > B2 Tính Thặng Dư tại mỡi cực đó B3 Tính Tởng Thặng Dư rời nhân cho 2j Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 11.1.3: Tính tích phân thực dạng Tính : I f (z)  z2  x2  1 x dx Có cực: z 1 1 4 ;1 34 ;1 54 ;1 74  Chỉ có cực ở nửa mp phức: z1  1 ;z  1 z12 Res{f ,z1 )  4z3  0.25  45 o 3 z22 Res{f ,z )  4z3  0.25  135o I  2j[0.25  45  0.25  135 ]  o Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM o  10 d) Chú ý: Nếu f(z) [dạng (b) và (c) ] có cực trục thực thì ta dùng:  C n n k 1 k 1 f (z)dz  2j Res{f (z),z k }  j Res{f (z),c} Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19 e) MATLAB tính tích phân thực: (i) Calculation I   2 d 248cos   x2 1/16*pi*2^(1/2) (ii) Calculation I    1 x dx 1/2*pi*2^(1/2) (iii) Calculation I    x sin x  x dx 9 pi*cosh(3)-pi*sinh(3) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM syms x; fx = 1/(24 - 8*cos(x)); ans = int(fx,0,2*pi); disp(ans); syms x; fx = (x^2)/(1 + x^4); ans = int(fx,-inf,inf); disp(ans); syms x; fx = (x*sin(x))/(x^2 + 9); ans = int(fx,-inf,inf); disp(ans); 20 11.2 Tính biến đổi Laplace ngược:  Dựa theo công thức: f(t)  c j j c j  st F(s)e ds   Chọn đường (C) ( tức là giá trị c) cho cực (pole) của F(s) nằm bên trái đường thẳng Re(s) = c (C) s X X s2 s X c  Dùng định lý thặng dư ta có tích phân:  c j c j  F(s)e ds  2j Res{F(s)e ,pole) st st f (t)   Res{F(s)e ,pole) st Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (Khi t > 0) 21 Các bước tìm Laplace ngược dùng thặng dư: B1 Tìm cực sk của F(s) B2 Tính Res{F(s).est; sk} = fk(t) f k (t)  Res{F(s).est ,s k }  lim{F(s).est (s  s k )} ssk B3 Tính Tởng : f (t)  n  fk (t) k 1 ! fk(t) là Thành Phần thứ k của f(t); sở hữu bởi sk Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 22 VD 11.2.1: Tính biến đổi Laplace ngược F(s)  s2 4 Tìm f(t) biết:  Có cực phức đơn : s = ± j2 Residue{F(s)e , j2}  st e j2 t j2 e j2 t 2(  j2) Residue{F(s)e ,  j2}  st  c+j c-j F(s)e ds   (enclosed Residues)  st 1 {F(s)}  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM e j2 t e j2 t j4  sin(2t) sin(2t) 23 VD 11.2.2:Dùng MATLAB Tìm f(t) biết: F(s)  s2 3s2  Có cực thực , đơn : s = – và – syms t; b = [0 1]; a = [1 2]; [res,poles,mk,nail,thumb]=resid2rhit(b,a); Sum_res = 0; for n=1:length(thumb) if thumb(n)==1 Sum_res = Sum_res + res(n)*exp(poles(n)*t); end end pretty(Sum_res); exp(-t) - exp(-2 t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 24 VD 11.2.3: Dùng Res cho nghiệm thực bội F(s)  (s4)(s2)2 Tìm f(t) biết:  Có cực thực , đơn : s = – và thực kép s = – e4 t Residue{F(s)e ,  4}  ( 42)2  e4 t Residue{F(s)e ,  2}  lim   st  f (t)   d 1! s2 ds st e4 t  test (s  4) te2 t Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM est (s  4)  est  (s4)2     lim   s2  s 2  test (s  4) est te2 t (s  4)     e2 t e2 t 25 11.3 Tính biến đổi Fourier ngược: f(t)  Công thức:  2   jt F()e d y i Khi t > 0:  Dùng đường (C) là nửa đường tròn kín ở nửa mặt phẳng phức    CR X X z1 z2 X z3 –R x R {F().e }d  2j Res{F(z).e ,z k } jt     jzt {F().e }d  j Res{F(z).e ,z k } jt jzt (zk = cực ở nửa mặt phẳng phức) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 26 ii Khi t < : y –R  Dùng đường (C) là nửa đường tròn kín ở nửa dưới mặt phẳng phức Do chiều (C) là CW nên:    X z1 R x X X z2 z3 CR {F().e jt }d  2j Res{F(z).e jzt ,z k }     {F().e }d   j Res{F(z).e ,z k } jt jzt (zk = cực ở nửa dưới mặt phẳng phức)  Kết luận: f (t)   j Res{F()e ,pole) jt Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM + j: t > – j: t < 27 Các bước tìm Fourier ngược dùng thặng dư: B1 Tìm cực k của F() B2 Tìm Res{F().ejt; k} = fk(t) jt f k (t)  Res{F().e , k } B3a Khi t > ta tính Tởng : (các k = ở nửa mp phức) B3b Khi t < ta tính Tởng : (các k = ở nửa dưới mp phức) n f (t)  j  fk (t) k 1 n f (t)   j  fk (t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM k 1 28 VD 11.3.1: Biến đổi Fourier ngược 1 F()  2  j56  Tìm f(t) biết: 1 ( j 2)( j3) B1 Các điểm cực của F() : 1 = j2 ; 2 = j3 B2 Tính Res{ } : jt  e j( j2) t (  j2)  j2 ( j 2)( j3) jt  e j( j3) t (  j3)  j3 ( j 2)( j3) Res{F()e , j2}  lim Res{F()e , j3}  lim   e2 t j   e3t j B3 Tính tổng: Khi t > : f(t)  j{  e2 t j  e3t j } e 3t e 2t Khi t < : f(t) = không có cực ở nửa dưới mp phức Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29 VD 11.3.2: Biến đổi Fourier ngược Tìm f(t) biết: F()  (42 )(92 ) B1 Q() = (4+ 2)(9+ 2) = 0, có: 1 = j2 ; 2 = – j2; 3 = j3; 4 = – j3 B2 Tính Res{ } : jt Residue{F()e , j2}  e j( j2) t j4(94) jt Residue{F()e ,  j2}  jt Residue{F()e , j3}  jt e j(  j2) t  j4(94) e j( j3) t (49)( j6) Residue{F()e ,  j3}   e2 t j20   e3t  j30 e j(  j3) t (49)(  j6) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM e2 t  j20  e3t j30 30 VD 11.3.2: Biến đổi Fourier ngược (tiếp theo) F()  (42 )(92 ) Tìm f(t) biết: B3 Tính tổng: Khi t > : f(t)  j{ e2 t j20  e3t  j30 } 20 e 2t  e3t 30 Khi t < : f(t)   j{ e2 t  j20  e3t j30 }  201 e2t  301 e3t Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31 VD 11.3.3: Dùng biến đổi Fourier ngược Cho R = 3, L = 1H, C = 0,5F, e(t) = (t), dùng biến đổi Fourier tìm iL(t) ?  Chuyển mạch sang miền :  Có IL(): IL ()  ( j1)(jj2) Cực: 1 = j2 ; 2 = j3  Dùng biến đổi Fourier ngược dùng thặng dư: Res{IL().ejt, j1} = Res{IL().ejt, j2} =  Khi t < 0: iL(t) = và t > 0: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM iL(t) = [2e–2t – e–t ] A ) 32 VD 11.3.4: Dùng biến đổi Fourier ngược Cho R = 12, L = 2H, C = 0,1F, dùng biến đổi Fourier tìm uC(t) biết e(t) = et t < và e(t) = t > ?  Chuyển mạch sang miền  và tính E() :  Xác định UC():  Dùng biến đổi Fourier ngược dùng thặng dư: Res{UC().ejt, j1} = Res{UC().ejt, – j1} = Res{UC().ejt, j5} =  Khi t < 0: uC(t) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  Khi t > 0: uC(t) = 33