Slide 1 Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 2 1 Tích phân Fourier 2 2 Phép biến đổi Fourier 2 3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier 2 4 Cá[.]
Chương Tích phân Fourier & biến đổi Fourier 2.1 Tích phân Fourier 2.2 Phép biến đổi Fourier 2.3 Ứng dụng tích phân Fourier biến đổi Fourier 2.4 Các hàm bất thường biến đổi Fourier chúng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Tích phân Fourier mũ phức f (t ) = +∞ ∫ C (ω )e jωt dω −∞ C (ω ) = 2π +∞ ∫ f (t)e − jω t dt −∞ F (ω ) = 2π C (ω ) Miền t: f(t) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 F F -1 Miền ω: F(ω) 2.2 Biến đổi Fourier Cặp biến đổi Fourier Biến đổi thuận = F (ω ) f (t ) ↔ F (ω ) +∞ F= { f (t)} ∫ f (t)e dt − jω t −∞ Biến đổi ngược f (t ) F= {F (ω )} 2π −1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 +∞ ∫ F (ω )e jω t dω −∞ Ví dụ e− at (t > 0) Tìm biến đổi Fourier phức hàm f(t) = 0 (t < 0) Dùng định nghĩa: +∞ Giải +∞ − ( aω)t +j e e dt = F(ω) ∫= f(t).e dt ∫= −(aω) +j −∞ − jωt a>0 − ( a + jω)t ∞ F(ω) = a +ω j Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Ví dụ tìm biến đổi Fourier eat (t < 0) a>0 f(t) − at e (t > 0) 2a F(ω) = aω+ -eat (t < 0) a>0 f(t) − at e (t > 0) −2 jω F(ω) = aω+ 2 f (t ) −1 2(1 − cos ω ) F(ω) = ω2 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2014 t Tính chất phép biến đổi Fourier Tính tuyến tính ◦ Nếu f1 (t ) ↔ F1 (ω ) ; f (t ) ↔ F2 (ω ) ◦ Thì a1 f1 (t ) + a2 f (t ) ↔ a1 F1 (ω ) + a2 F2 (ω ) (a1 , a2 : số) Tính đối xứng (đối ngẫu thời gian-tần số) f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ F (t ) ↔ 2π f (−ω ) f (t ) = 2π ∫ +∞ −∞ jωt F (ω )e dω ⇒ f (−t ) = 2π ∫ +∞ −∞ F (ω )e − jωt dω +∞ − jωt ⇒ 2π f (−ω ) = F ( t ) e dt ∫ −∞ Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2014 Tính chất phép biến đổi Fourier Đổi thang thời gian (co giãn, đồng dạng) a > 0: a < 0: +∞ = ∫ f (at )e dt − jωt −∞ +∞ +∞ a −∞ −j ( ωa ) x = ∫ f ( x)e dx −∞ a +∞ −j ( ωa ) x = ∫ f (at )e dt = ∫ f ( x)e dx −∞ − jωt −a a F ( ωa ) F ( ωa ) ω ⇒ f (at ) ↔ F a a Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Tính chất phép biến đổi Fourier f (t ) −1 2(1 − cos ω ) F(ω) = ω2 t f (t ) f1 (t ) f1 (t ) = f (t ) t 4(1 − cos ω ) F1 (ω) = ω2 −1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 −2 ( ) f (t ) = f 2t (1 − cos 2ω ) F2 (ω) = ω2 Tính chất phép biến đổi Fourier Dịch chuyển miền thời gian (dời thời gian) f (t − t0 ) ↔ e f1 (= t) f (t − t0 ) → F1 (ω ) = = ⇔ F1 (ω ) ∫ +∞ −∞ − jω ( x +t0 ) ∫ +∞ −∞ f ( x)= e dx e − jω t0 F (ω ) f1 (t )e − jωt0 ∫ − jωt +∞ −∞ dt = ∫ +∞ −∞ f (t − t0 )e − jωt dt f= ( x)e − jω x dx e − jωt0 F (ω ) Dịch chuyển miền tần số (dời tần số, điều chế AM) f (t )e jω0 t ↔ F (ω − ω0 ) f1 (t ) = f (t )e jω0t ⇒ F1 (ω ) =∫ +∞ −∞ f1 (t )e − jωt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 dt =∫ +∞ −∞ f (t )e − j (ω −ω0 ) t dt =F (ω − ω0 ) Tính chất phép biến đổi Fourier Cho biết Tìm G(ω) ? ωτ f (t ) ↔ F (ω ) = τ sin c τ 1 − g (t ) = f (t − ) ↔ G (ω ) = e g (t ) f (t ) τ τ 2 − jω τ τ t t ωτ τ sin c Tìm H(ω)=F{cos(ω0t)f(t)} e jω0t + e − jω0t h(t ) = f (t ) (ω − ω0 )τ h= (t ) ↔ H (ω ) sin c 2 τ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 (ω + ω0 )τ + sin c 10 Tính chất phép biến đổi Fourier n Đạo hàm miền t f (t ) 2π ∫ +∞ −∞ d f (t ) n ↔ ( jω ) F (ω ) n dt df (t ) F (ω )e dω = ⇒ dt jωt +∞ ( jω ) ∫−∞ F (ω )e jωt dω 2π F (ω ) Tích phân miền t ∫ f (τ ) dτ ↔ π F (0)δ (ω ) + jω −∞ t d F (ω ) t f (t ) ↔ j n dω n Đạo hàm miền ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 n n 11 Tính chất phép biến đổi Fourier Tích chập (convolution) f (t ) ↔ F (ω ) ; g (t ) ↔ G (ω ) +∞ ∫ f (t ) ∗ = g (t ) f (τ ) g (t − τ )dτ ↔ F (ω )G (ω ) −∞ 1 f (t ) g (t ) ↔ F (ω= ) ∗ G (ω ) 2π 2π +∞ ∫ F ( x)G(ω − x)dx −∞ Định lý Parseval +∞ ∫ −∞ f (t )dt ↔ 2π Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 +∞ ∫ F (ω ) dω −∞ 12 Biến đổi Fourier số hàm thông dụng δ ∆ (t ) Hàm Dirac δ(t) < t < ∆τ δ ∆ (t ) = ∆τ 0 otherwise ∆τ ∆τ δ (t ) = lim δ ∆ (t ) δ (t ) ∆τ → 0 ∞ t = δ (t ) = 0 t ≠ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 t +∞ ⇒ ∫ δ (t )dt = −∞ t 13 Biến đổi Fourier số hàm thông dụng f(t)=δ(t): = F (ω ) ∫ +∞ −∞ − jωt δ (= t )e dt ⇒ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 δ (t )dt ∫= −∞ δ (t ) ↔ δ (t ) +∞ ↔ t ω 14 Biến đổi Fourier số hàm thông dụng f(t)=1: F (ω ) = 2πδ (ω ) ⇒ f (t ) = 2π ⇒ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 2πδ (ω )e jωt dω = −∞ ↔ 2πδ (ω ) ∫ +∞ ↔ t 2πδ (ω ) ω 15 Biến đổi Fourier số hàm thông dụng t rect τ f(t) xung cổng đơn vị: r e ct ( ) = t τ +∞ t >τ / t u (t ) t u (t ) ↔ πδ (ω ) + jω d u (t ) = δ (t ) dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 17 u (t ) e − at u (t ) u (t ) = lim e − at u (t ) a →0 t a − jω ⇒ F (= ω ) lim ∫ e u (t )e = dt lim = lim a →0 −∞ a →0 a + jω a →0 a + ω +∞ − at − jωt a + a →0 a + ω jω ⇒ F (ω ) = πδ (ω ) + jω ⇒ F= (ω ) lim u (t ) ↔ πδ (ω ) + 1/ jω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Diện tích π a a a2 + ω ω 18 Biến đổi Fourier số hàm thông dụng Hàm dấu t >0 1 sgn(t ) = −1 t < sgn(t ) sgn( = t ) 2u (t ) − −1 t sgn(t ) ↔ 2πδ (ω ) + − 2πδ (ω ) jω sgn(t ) ↔ jω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 19 Các cặp biến đổi Fourier f(t) δ (t ) u (t ) sgn(t ) − at e u (t ) & e u (−t ) (a > 0) at e −a t (a > 0) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 F(ω) 2πδ (ω ) πδ (ω ) + jω jω 1 & a + jω a − jω 2a 1 = + 2 a +ω a − jω a + jω 20